Ejercicios: División de polinomios

Divide el siguiente polinomio entre el monomio dado, simplificando cada uno de los términos resultantes:

En toda división de polinomios se cumple la relación $P(x) = d(x) \cdot c(x) + r(x)$. Si al dividir un polinomio entre $d(x) = x + 3$ hemos obtenido un cociente $c(x) = x - 1$ y un resto $r(x) = 5$, ¿cuál es el polinomio dividendo $P(x)$?

Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la siguiente división:

Utiliza la regla de Ruffini para realizar la división del polinomio $P(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ entre el binomio $d(x) = x + 1$. Indica claramente cuál es el cociente $C(x)$ y el resto $R$.

Sin realizar la división larga ni usar Ruffini, calcula el valor del resto de la siguiente operación utilizando el Teorema del Resto:

Calcula el valor de la letra $k$ para que la división sea exacta (es decir, que el resto sea $0$):

El área de un estudio de grabación rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 3x^2 + 15x$. Si sabemos que el ancho del estudio mide $3x$ metros, ¿cuál es la expresión algebraica que representa el largo del estudio?

Comprueba si el número $a = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + x - 3$ realizando la división por Ruffini y observando el resto obtenido. Justifica tu respuesta basándote en el resultado de la operación.

Utiliza el algoritmo de la división para hallar el cociente $C(x)$ y el resto $R(x)$ de la siguiente operación entre polinomios. Recuerda ordenar y completar los términos del dividendo antes de comenzar:

$(6x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 1) : (3x^2 - x + 2)$

Aplica la Regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de la división del polinomio $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 10$ entre el binomio $(x + 3)$. Indica claramente cuál es el valor del resto obtenido.

Sin realizar la división, utiliza el Teorema del Resto para averiguar si el número $x = 2$ es raíz del polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 - x + 6$. Justifica tu respuesta indicando si la división de $P(x)$ entre $(x - 2)$ es exacta o no.

Halla el valor del parámetro $k$ para que la división del polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 4x - 8$ entre el binomio $(x - 2)$ tenga un resto igual a $10$.

El área de una pista de pádel rectangular viene dada por el polinomio $A(x) = 2x^2 + 11x + 12$. Si sabemos que el ancho de la pista mide $(x + 4)$ metros, determina la expresión algebraica que representa el largo de la misma.

Reconstruye el polinomio dividendo $D(x)$ sabiendo que, al dividirlo entre $d(x) = x^2 - 1$, se obtiene como cociente $C(x) = x + 5$ y como resto $R(x) = 3x - 2$. Utiliza la propiedad fundamental de la división: $D(x) = d(x) \cdot C(x) + R(x)$.

Un equipo de jóvenes programadores está diseñando un nivel de un videojuego donde el volumen de una caja de suministros es $V(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$. Si la base de la caja tiene un área de $A(x) = x^2 - 4x + 4$, ¿cuál es la expresión de la altura de la caja? ¿Qué valor toma la altura si $x = 5$ unidades?

Comprueba si el binomio $(x + 1)$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 - 1$. Para ello, puedes usar tanto la división larga, como Ruffini o el Teorema del Factor. Explica qué significa que un binomio sea "factor" de otro polinomio en relación con el resto de la división.

Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - ax^3 + bx^2 + x - 6$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$. Pista: utiliza el Teorema del Resto para plantear un sistema de ecuaciones.

Una empresa de logística utiliza cajas de cartón cuyo volumen en centímetros cúbicos viene dado por el polinomio $V(x) = 2x^3 + 9x^2 + 7x - 6$. Si sabemos que el área de la base de la caja es $B(x) = 2x^2 + 5x - 3$, calcula el polinomio que representa la altura $H(x)$ de la caja.

Al dividir un polinomio $P(x)$ entre $Q(x) = x^2 - 4$, obtenemos como cociente $C(x) = x^2 + 2x - 3$ y como resto $R(x) = 5x + 1$. Reconstruye el polinomio original $P(x)$ y exprésalo en su forma estándar (ordenado de mayor a menor grado).

Determina el valor de $k$ para que el resto de la división $(2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12) : (x + 2)$ sea igual al resto de la división $(x^3 + 2x^2 - x + 10) : (x - 3)$.

Calcula el cociente y el resto de la siguiente división utilizando la Regla de Ruffini. Presta atención, ya que el divisor no tiene coeficiente principal igual a 1:

Recuerda que para usar Ruffini el divisor debe ser del tipo $(x - a)$. ¿Cómo podrías transformar $2x - 1$ para que tenga esa forma?

El beneficio total de una tienda de videojuegos tras vender $x$ unidades de un nuevo lanzamiento viene expresado por el polinomio $B(x) = x^3 + 15x^2 + 54x$. Si el beneficio por cada videojuego vendido es constante y se representa por el binomio $(x + 6)$, realiza la división para hallar el polinomio que representa el número total de clientes que han comprado el juego, asumiendo que cada cliente compró el mismo número de copias.

Se quiere diseñar una valla publicitaria rectangular cuya superficie total está definida por $S(x) = x^4 - 16$. Si sabemos que uno de sus lados mide $L(x) = x^2 + 4$, calcula el polinomio que representa el otro lado. A continuación, indica si el área es divisible por $(x - 2)$ y justifica tu respuesta sin realizar la división larga.

Considera el polinomio $P(x) = 3x^3 - kx^2 + 12x - 4$.

1. Calcula el valor de $k$ para que $x = 2$ sea una raíz del polinomio.

2. Una vez hallado $k$, utiliza la Regla de Ruffini para dividir $P(x)$ entre $(x - 2)$ y comprueba que el resto es cero.

3. ¿Es el cociente obtenido un polinomio de segundo grado mónico? (Un polinomio es mónico si su coeficiente principal es 1).