Ejercicios: Características de una función

Para que una relación sea considerada una función, a cada valor de la variable independiente ($x$) le debe corresponder, como máximo, un único valor de la variable dependiente ($y$).

Observa la siguiente gráfica y razona si representa una función o no utilizando la "regla de la recta vertical".

El dominio de una función es el conjunto de valores que toma la variable $x$, mientras que el recorrido (o imagen) es el conjunto de valores que toma la variable $y$.

Observa la gráfica de la siguiente función (representada por el segmento naranja) y escribe su dominio y su recorrido utilizando intervalos.

Decimos que una función es continua si podemos dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. Si presenta saltos o interrupciones, se llama discontinua.

La siguiente gráfica muestra el precio del aparcamiento en un centro comercial según las horas transcurridas. Indica si la función es continua o discontinua y, en caso de ser discontinua, señala en qué valores de $x$ se producen los saltos.

Una función es creciente si al aumentar la $x$, aumenta la $y$. Es decreciente si al aumentar la $x$, disminuye la $y$.

Marcos está haciendo una ruta de senderismo. La siguiente gráfica representa la altitud a la que se encuentra en cada momento. Identifica los intervalos de tiempo (eje $x$) en los que Marcos está subiendo (función creciente) y aquellos en los que está bajando (función decreciente).

Los máximos son los puntos más altos de una zona de la gráfica, y los mínimos son los puntos más bajos.

En un videojuego, la energía de un personaje varía según la gráfica mostrada. Indica las coordenadas $(x, y)$ de los puntos que representan un máximo relativo y un mínimo relativo en esta aventura.

Una función es periódica si su gráfica se repite exactamente igual cada cierto intervalo, llamado periodo.

La señal de un monitor cardíaco se comporta de forma repetitiva. Observa la gráfica y determina cuánto vale el periodo (la distancia en el eje $x$ necesaria para completar un ciclo completo).

Las funciones pueden presentar simetría. Una función es par si es simétrica respecto al eje $y$ (como un espejo). Es impar si es simétrica respecto al origen de coordenadas $(0,0)$.

Determina qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) tienen las siguientes dos gráficas:

Marta utiliza un patinete eléctrico para ir al instituto. La siguiente gráfica muestra el porcentaje de batería restante en función de la distancia recorrida en kilómetros.

Analiza la gráfica y responde:

1. a) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función?
2. b) ¿Es una función creciente o decreciente? ¿Qué significa esto en el contexto del problema?
3. c) ¿En qué punto corta la gráfica al eje $y$ (ordenada en el origen) y qué representa?

La siguiente gráfica muestra la evolución del porcentaje de batería de un teléfono inteligente a lo largo de un día, desde que el usuario se despierta a las $08:00$ hasta que lo pone a cargar por la noche.

A partir de la gráfica, analiza las siguientes características:

1. Indica los intervalos de tiempo en los que la función es decreciente y qué significa en este contexto.

2. ¿Existe algún intervalo donde la función sea constante? Si es así, indícalo y propón una situación real que explique por qué la batería no disminuye en ese tiempo.

3. Determina el valor máximo y el valor mínimo de la batería en el intervalo observado.

Un canal de YouTube analiza el número de "Me gusta" que recibe un vídeo durante las primeras $12$ horas tras su publicación. La función viene representada por la siguiente gráfica:

Observando la gráfica, responde:

1. Identifica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

2. Indica las coordenadas aproximadas de los máximos y mínimos relativos.

3. ¿Cuál es el máximo absoluto de la función en este periodo? Explica la diferencia entre este punto y un máximo relativo.

Un sensor de presión en una máquina industrial registra un ciclo repetitivo cada pocos segundos. La presión $P$ (en bares) depende del tiempo $t$ (en segundos) según la siguiente gráfica:

Basándote en la información visual:

1. Explica razonadamente por qué esta función es periódica.

2. Si los picos de presión máxima ocurren en $t = 2s$, $t = 10s$ y $t = 18s$, ¿cuál es el valor del periodo $T$?

3. ¿Qué presión registrará el sensor en el instante $t = 82s$?

En una empresa de mensajería, el coste de enviar un paquete depende de su peso. Sin embargo, la tarifa cambia bruscamente al superar ciertos tramos de peso. Observa la gráfica de la función coste:

Responde a las siguientes cuestiones sobre la continuidad:

1. ¿Es esta función continua? Justifica tu respuesta describiendo qué ocurre en los puntos $x = 2kg$ y $x = 5kg$ (representados por los saltos en la gráfica).

2. Indica el dominio y el recorrido de esta función según el dibujo.

3. Si un paquete pesa exactamente $2kg$, ¿cuál es su coste? Fíjate en los puntos rellenos y vacíos para decidir.

Un arquitecto diseña un arco decorativo para la entrada de un museo cuya forma sigue una función simétrica. El eje de simetría coincide con el eje de ordenadas $Y$.

Analiza la simetría de la función:

1. Explica la diferencia entre una función par y una función impar. ¿De qué tipo es esta función?

2. Si sabemos que el punto $(-3, 0)$ pertenece a la gráfica, ¿qué otro punto podemos asegurar que pertenece a ella por simetría?

3. Indica el punto de corte con el eje de abscisas (eje $X$) y el punto de corte con el eje de ordenadas (eje $Y$) para esta estructura.

Se está llenando un depósito de agua con una bomba que vierte un caudal constante. A los $10$ minutos, se detiene la bomba durante $5$ minutos para revisar una válvula, y luego se reanuda el llenado más lentamente.

1. Esboza una gráfica que represente la altura del agua en función del tiempo.

2. Identifica si la función resultante es continua o discontinua.

3. Indica los intervalos de tiempo en los que la función es creciente y el intervalo en el que es constante.

Dada la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$, realiza un estudio de sus características principales:

1. Calcula los puntos de corte con el eje $X$ (resolviendo la ecuación $f(x) = 0$) y con el eje $Y$ (calculando $f(0)$).

2. Halla las coordenadas del vértice sabiendo que la abscisa se calcula con la fórmula $x = \frac{-b}{2a}$. ¿Es un máximo o un mínimo absoluto?

3. Indica el intervalo donde la función es decreciente.

La temperatura de un horno industrial varía durante un proceso de fundición. Se enciende, sube hasta su temperatura de trabajo, se mantiene estable y luego se enfría rápidamente al abrir la compuerta.

A partir de la gráfica anterior, responde:

1. ¿Cuál es el dominio de la función (tiempo total del proceso)?

2. ¿Cuál es el máximo absoluto de temperatura y en qué intervalo de tiempo se mantiene?

3. ¿En qué momento se abre la compuerta del horno? Razona tu respuesta basándote en la monotonía de la función.

Un sistema de gestión de energía inteligente para una vivienda bioclimática regula el encendido de la calefacción según la temperatura exterior. La función $f(x)$ representa el gasto en euros por hora en función de la temperatura $x$ en grados centígrados:

$$f(x) = \begin{cases} -0,5x + 8 & \text{si } x < 10 \\ 3 & \text{si } 10 \le x < 20 \\ 0,1x^2 - 4x + 7 & \text{si } x \ge 20 \end{cases}$$

Analiza las siguientes características de la función:

1. a) Determina el dominio y el recorrido de la función para el intervalo de temperaturas $[-10, 30]$.
2. b) Estudia la continuidad. ¿Existen puntos de discontinuidad? Si es así, indica de qué tipo son y su significado en el contexto del ahorro energético.
3. c) Halla los intervalos de monotonía (crecimiento y decrecimiento).

Un dron de vigilancia forestal despega para realizar una inspección. Su altura $h$ en metros respecto al tiempo $t$ en minutos viene dada por la gráfica adjunta. La misión dura exactamente 60 minutos.

1. a) Indica los intervalos donde la función es constante y explica qué está haciendo el dron en esos momentos.
2. b) Identifica todos los máximos y mínimos relativos y absolutos.
3. c) Si el dron necesita una altura mínima de $10$ metros para detectar calor, ¿en qué intervalos de tiempo es efectiva su misión?
4. d) ¿Es una función periódica? Razona tu respuesta basándote en la forma de la gráfica.

Se está diseñando un sensor de luz para un invernadero automático. La intensidad lumínica $I$ (en lux) sigue un patrón que se repite cada 24 horas. Sabemos que a las 0:00 h (tiempo $t=0$) la intensidad es de $0$ lux, y alcanza su máximo de $1200$ lux a las 12:00 h.

1. a) Si la función es simétrica respecto a la recta $t=12$ dentro de cada ciclo de 24 horas, ¿qué intensidad habrá a las 18:00 h si a las 6:00 h es de $450$ lux?
2. b) Sabiendo que la función es periódica con periodo $T=24$, calcula el valor de la intensidad lumínica para los tiempos $t=30$, $t=54$ y $t=108$ horas.
3. c) ¿Podría ser esta una función impar? Razona la respuesta analizando el recorrido de la intensidad (que no puede ser negativo).

Considera un triángulo cuya base está fija en el segmento de los ejes cartesianos que va desde $(0,0)$ hasta $(10,0)$. El tercer vértice del triángulo se mueve a lo largo de la parábola $y = -x^2 + 10x$.

1. a) Halla la expresión analítica de la función $A(x)$ que representa el área del triángulo en función de la abscisa $x$ del tercer vértice.
2. b) ¿Cuál es el dominio de definición de esta función para que el área sea un valor positivo?
3. c) Calcula las coordenadas del vértice de la función área e indica si representa un máximo o un mínimo absoluto. ¿Qué altura tiene el triángulo en ese punto?

El nivel de ruido en decibelios ($dB$) en las cercanías de un aeropuerto se puede modelar mediante la función $R(t) = \frac{80t}{t^2 + 4}$, donde $t$ es el tiempo en minutos desde que despega un avión.

1. a) Determina los puntos de corte de la función con los ejes. ¿Qué significado tiene el punto $(0,0)$ en este contexto?
2. b) Utilizando una tabla de valores, estudia la tendencia de la función cuando el tiempo $t$ se hace muy grande. ¿Existe alguna asíntota?
3. c) ¿Es la función par, impar o ninguna de las dos? Demuéstralo analíticamente calculando $R(-t)$.

Dos atletas, Alba y Bruno, compiten en una carrera de 10 km. La distancia recorrida por Alba sigue la función $d_A(t) = 0,4t$, mientras que la de Bruno es $d_B(t) = 0,01t^2$ (donde $t$ es el tiempo en minutos).

1. a) Representa ambas funciones en los mismos ejes para el intervalo de tiempo necesario hasta que ambos lleguen a la meta.
2. b) ¿En qué momento exacto Bruno alcanza a Alba? Indica las coordenadas del punto de corte e interpreta su significado.
3. c) Estudia el crecimiento de la función diferencia $g(t) = d_A(t) - d_B(t)$. ¿En qué momento la distancia entre Alba y Bruno es máxima?

Un biólogo estudia la población de una especie de insectos en un laboratorio. La población $P$ (en miles) varía según la temperatura $T$ de la sala (en $ºC$) siguiendo la función:

$$P(T) = \frac{T^2 - 16}{T - 5}$$

1. a) Calcula el dominio de esta función. ¿Para qué temperatura el modelo deja de tener sentido físico?
2. b) Halla los puntos de corte con el eje de abscisas. ¿Qué significan esos valores para la población de insectos?
3. c) ¿Existen intervalos de la variable independiente donde la función no sea continua? Justifica si el biólogo debe evitar alguna temperatura específica.

La velocidad de una reacción química depende de la concentración de un reactivo $x$. La función que describe esta relación es $v(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$.

1. a) Estudia el recorrido de la función. ¿Puede la velocidad ser negativa? ¿Puede superar el valor $1$?
2. b) Analiza las simetrías de la función. Si es simétrica, explica qué implica esto respecto a concentraciones positivas y negativas del reactivo.
3. c) ¿Es una función acotada? Observa su comportamiento cuando $x$ aumenta indefinidamente y describe su asíntota horizontal.