Ejercicios: Sistemas de ecuaciones

Observa la representación gráfica de las dos rectas que forman un sistema de ecuaciones. Determina, sin realizar cálculos algebraicos, cuál es la solución del sistema y clasifícalo en Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.

Traduce al lenguaje algebraico la siguiente situación y plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, indicando claramente qué representa cada variable:

"En una cafetería, un grupo de amigos ha pagado $11 \text{ €}$ por $2$ refrescos y $3$ bolsas de patatas. Otro grupo ha pagado $13 \text{ €}$ por $4$ refrescos y $1$ bolsa de patatas".

Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema, aprovechando que una de las incógnitas ya se encuentra despejada en la primera ecuación:

$\begin{cases} y = 3x \\ 2x + y = 10 \end{cases}$

Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones. Fíjate que la incógnita $x$ ya está despejada en ambas expresiones:

$\begin{cases} x = 5 - y \\ x = 2y - 1 \end{cases}$

Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema. Observa que los coeficientes de la incógnita $y$ son iguales pero de signo contrario, por lo que puedes sumar las ecuaciones directamente:

$\begin{cases} 4x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$

Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla de valores para las dos ecuaciones del sistema. Después, indica cuál es la solución común observando los resultados:

Sistema: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

$x$	$y$ (Ecuación 1)	$y$ (Ecuación 2)
$1$
$2$
$3$
$4$

En una tienda de videojuegos se venden mandos y juegos de segunda mano. Marcos ha comprado un mando y un juego por $50 \text{ €}$. Si el precio del juego es el triple que el del mando, ¿cuánto cuesta cada artículo?

Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método que prefieras.

Dos amigos, Lucía y Marcos, están acumulando puntos en su videojuego favorito para desbloquear una nueva recompensa. Las misiones de sigilo se representan por la incógnita $x$ y las misiones de asalto por la incógnita $y$. El sistema de ecuaciones que describe los objetivos que deben cumplir hoy es el siguiente:

$$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases}$$

Comprueba de forma numérica si el par de valores $(x = 3, y = 2)$ es la solución del sistema. A la vista de la siguiente gráfica, indica si los amigos han conseguido encontrar el punto exacto donde se cumplen ambas condiciones (misiones totales y puntos acumulados).

Observa la siguiente representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y responde a las cuestiones planteadas:

1. a) Indica las coordenadas del punto de corte $P$ de ambas rectas.
2. b) ¿Qué representa ese punto en relación con el sistema de ecuaciones?
3. c) Clasifica el sistema según el número de soluciones que presenta.

$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$

Explica brevemente por qué lo es o por qué no, verificando ambas igualdades.

En la organización de un evento de E-sports, se han vendido un total de 250 entradas. Existen dos tipos de localidades: las "Gamer", que cuestan $15\ €$, y las "Pro", que cuestan $25\ €$. Si la recaudación total ha sido de $4\ 700\ €$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuántas entradas de cada tipo se han vendido utilizando el método de sustitución.

Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en el patio del instituto. El arquitecto ha establecido que el perímetro total debe ser de $56$ metros. Además, para que haya espacio suficiente para las canastas, el largo de la zona debe ser $4$ metros menor que el triple del ancho.

Calcula las dimensiones de la zona de juegos planteando un sistema de ecuaciones y resolviéndolo por el método de igualación.

Dos conocidos streamers están comparando sus años de experiencia en la plataforma. La suma de sus edades actuales es de $44$ años. Dentro de $10$ años, la edad del mayor será exactamente el doble de la edad que el menor tiene en la actualidad.

Plantea un sistema de ecuaciones lineales y averigua la edad actual de cada uno.

En una tienda de productos a granel, queremos preparar una mezcla especial de $20\ kg$ de frutos secos que salga a un precio de $8,50\ €/kg$. Para ello, utilizaremos anacardos que cuestan $10\ €/kg$ y cacahuetes que cuestan $6\ €/kg$.

Aplica el método de reducción para averiguar cuántos kilogramos de anacardos y cuántos de cacahuetes debemos mezclar.

Observa la siguiente representación gráfica de dos funciones lineales que forman un sistema de ecuaciones.

1. a) Identifica las ecuaciones de ambas rectas a partir de sus puntos de corte y su pendiente.
2. b) Determina gráficamente la solución del sistema.
3. c) Clasifica el sistema según su número de soluciones (SCD, SCI o SI).

Un número de dos cifras tiene una propiedad curiosa: la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Si restamos $27$ a dicho número, obtenemos el número resultante de invertir el orden de sus cifras.

Traduce el enunciado a un sistema de ecuaciones (recuerda expresar el número en forma polinómica: $10x + y$) y halla de qué número se trata.

Dos ciclistas, Paula y Sergio, recorren una pista circular de $400$ metros. Si corren en sentidos opuestos, se cruzan cada $20$ segundos. Si corren en el mismo sentido, Paula (que es más rápida) adelanta a Sergio cada $100$ segundos.

Sabiendo que el espacio recorrido es igual a la velocidad por el tiempo ($e = v \cdot t$), plantea un sistema de ecuaciones para calcular la velocidad de cada ciclista en metros por segundo.

Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención a la simplificación de las fracciones y al signo negativo que precede a los paréntesis:

$$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} - \frac{5(1 - x)}{4}$$

Estudia el discriminante de la siguiente ecuación de segundo grado y determina para qué valor del parámetro $k$ la ecuación tiene una única solución real (solución doble). Una vez hallado $k$, resuelve la ecuación:

$$x^2 - 12x + k = 0$$

Una empresa de mensajería utiliza drones y furgonetas para sus repartos. Sabemos que el doble del número de drones excede en 4 unidades al triple del número de furgonetas. Además, si compraran 2 drones más y perdieran una furgoneta, tendrían el triple de drones que de furgonetas. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y halla cuántos vehículos de cada tipo tiene la empresa.

En un laboratorio de química se quieren mezclar dos soluciones salinas. La primera tiene una concentración del $15\%$ de sal y la segunda del $40\%$. Si se necesitan obtener exactamente $20$ litros de una mezcla con una concentración del $30\%$, ¿cuántos litros de cada solución se deben utilizar? Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones.

Halla las dimensiones de un marco rectangular de madera sabiendo que su perímetro es de $60\text{ cm}$ y que su área es de $216\text{ cm}^2$. Para resolverlo, deberás plantear un sistema donde una de las ecuaciones sea de segundo grado o resolverlo mediante una ecuación de segundo grado usando la relación entre la suma y el producto de las raíces.

Dos ciclistas, Ana y Boris, participan en una carrera de larga distancia. Boris sale de la meta a una velocidad constante de $24\text{ km/h}$. Media hora más tarde, Ana sale en su persecución a una velocidad de $32\text{ km/h}$.

1. a) ¿Cuánto tiempo tardará Ana en alcanzar a Boris?
2. b) ¿A qué distancia de la línea de meta se producirá el encuentro?

Sugerencia: Utiliza el sistema de ecuaciones basado en la fórmula $e = v \cdot t$.

Halla un número de dos cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es $12$ y que, si se invierte el orden de dichas cifras, el número resultante es $18$ unidades mayor que el número original.

Nota: Recuerda que un número de cifras $xy$ se escribe algebraicamente como $10x + y$.

Observa la representación gráfica de las rectas $r$ y $s$ que forman un sistema de ecuaciones.

1. a) Identifica las ecuaciones de ambas rectas a partir de sus puntos de corte con los ejes.
2. b) Determina, analíticamente y mediante el gráfico, si el sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible.
3. c) Halla el punto de intersección $(x, y)$.