Ejercicios: Perpendicularidad y paralelismo

Imagina que tienes una caja de zapatos (forma de ortoedro) sobre tu mesa. Si nos fijamos en las aristas de la tapa:

1. a) Indica dos aristas que sean paralelas entre sí.
2. b) Indica dos aristas que sean perpendiculares y se corten en un vértice.

En el gimnasio del instituto, una de las columnas verticales (recta $r$) se encuentra con el suelo (plano $\pi$).

1. a) ¿Qué posición relativa tienen la columna y el suelo?
2. b) Si trazamos cualquier línea en el suelo que pase por la base de la columna, ¿qué ángulo formará con ella?

Dos aviones vuelan por el cielo. El avión A vuela hacia el Norte a $10.000$ metros de altura. El avión B vuela hacia el Este a $8.000$ metros de altura. Sabiendo que sus trayectorias no se cortan ni son paralelas:

1. a) ¿Cómo se llama a la posición relativa de estas dos trayectorias en el espacio?
2. b) ¿Son estas rectas coplanarias? Explica por qué.

Observa las paredes de tu habitación.

1. a) ¿Qué posición relativa tienen dos paredes opuestas?
2. b) ¿Cómo se llama la recta que se forma cuando dos paredes contiguas se cortan?

Al abrir un libro de matemáticas y dejarlo apoyado sobre la mesa, las dos páginas forman un ángulo diedro.

1. a) Si abrimos el libro totalmente hasta que quede plano sobre la mesa, ¿cuánto mide ese ángulo diedro?
2. b) Si el libro está entreabierto y las páginas forman un ángulo de $90^\circ$, ¿cómo son los planos de las dos páginas entre sí?

Observa el siguiente cubo e identifica:

1. a) Una arista que sea paralela al plano de la base inferior.
2. b) Una arista que sea perpendicular al plano de la base inferior.

Imagina una portería de fútbol. Vamos a analizar sus postes como rectas:

1. a) ¿Qué posición relativa tienen los dos postes verticales?
2. b) ¿Qué posición relativa tiene el larguero (poste horizontal) respecto a cada uno de los postes verticales?

Imagina que el suelo de tu habitación es el plano $\pi$ y una de las paredes laterales es el plano $\beta$. Si instalas un cable de fibra óptica que recorre la esquina donde se juntan el techo y la pared frontal (recta $r$):

1. a) ¿Cómo es la recta $r$ respecto al plano del suelo $\pi$?
2. b) ¿Cuál es la posición relativa de la recta $r$ respecto al plano de la pared lateral $\beta$?
3. c) Si trazamos una línea vertical en la pared lateral (recta $s$), ¿se cortarán las rectas $r$ y $s$? Justifica si son perpendiculares.

Una puerta giratoria de un centro comercial tiene tres hojas de cristal iguales que se cortan en un eje vertical central.

1. a) ¿Qué nombre recibe cada una de las tres regiones del espacio delimitadas por dos hojas consecutivas?
2. b) Si el ángulo diedro entre la primera y la segunda hoja es de $120^\circ$, y las tres hojas están distribuidas de forma simétrica, ¿cuánto miden los otros dos ángulos diedros?
3. c) Si una mosca se posa exactamente en el eje central, ¿a cuántas caras de los ángulos diedros pertenece?

Considera un prisma recto de base hexagonal regular. Analiza la relación entre sus elementos:

1. a) ¿Cuántas caras laterales son perpendiculares a la base inferior?
2. b) ¿Cuántos pares de caras laterales son paralelos entre sí?
3. c) Si trazamos la diagonal de una cara lateral y la arista básica de la base opuesta, ¿en qué posición relativa se encuentran las rectas que las contienen?

Un foco de luz puntual se sitúa en el centro de la base de un cono recto de radio $R = 5$ cm y altura $H = 12$ cm. El foco emite un rayo de luz que es perpendicular a una de las generatrices del cono.

1. a) ¿Es posible que dicho rayo atraviese la superficie lateral del cono?
2. b) Calcula la distancia desde el foco hasta el punto de la generatriz donde el rayo sería perpendicular. Para ello, visualiza el triángulo rectángulo que forma la sección axial del cono.

Se tiene una esfera de radio $13$ cm. Un plano $\pi_1$ corta a la esfera a una distancia de $5$ cm de su centro, generando un círculo $C_1$. Un segundo plano $\pi_2$, perpendicular al primero, corta también a la esfera pasando por su centro.

1. a) Describe la posición relativa de la recta intersección de ambos planos respecto a la esfera.
2. b) ¿Cuál es la distancia mínima entre el borde del círculo $C_1$ y el plano $\pi_2$? Ayúdate de un dibujo de la sección circular para razonar la respuesta.