Sistemas de tres ecuaciones lineales
En la cafetería de la escuela, tres grupos piden diferentes combos de pretzels suaves, jugos y galletas, y cada grupo paga un total distinto. Nadie publicó los precios. Eso son tres precios desconocidos y tres recibos. Con dos incógnitas bastaban dos ecuaciones. Con tres incógnitas necesitas tres ecuaciones y un método que mantenga ordenados los cálculos: la eliminación gaussiana.
¿Qué es un sistema de tres ecuaciones?
Estos son los recibos de la cafetería. Sea $x$ el precio de un pretzel, $y$ el de un jugo y $z$ el de una galleta. Cada recibo da una ecuación.
El grupo A pagó $\$9$, el grupo B pagó $\$10$ y el grupo C pagó $\$13$. Resolveremos este sistema al final de la página.
También puedes trabajar al revés: elige primero la solución y construye el sistema a su alrededor.
Compruebe si la terna $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ es solución del siguiente sistema. Justifique su respuesta. $3x + y - z = 0$ $x - 2y + z = 5$ $2x + y + z = 3$
Compruebe si la terna $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ es solución del siguiente sistema. Justifique su respuesta.
$3x + y - z = 0$
$x - 2y + z = 5$
$2x + y + z = 3$
Escriba un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya única solución sea la terna $x = 2$, $y = 0$, $z = -1$.
Escriba un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya única solución sea la terna $x = 2$, $y = 0$, $z = -1$.
Forma escalonada y sustitución hacia atrás
Algunos sistemas son fáciles de resolver por su forma.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra escalonado, utilizando el método de sustitución hacia atrás: $x + 2y - z = 4$ $3y + z = 5$…
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra escalonado, utilizando el método de sustitución hacia atrás:
$x + 2y - z = 4$
$3y + z = 5$
$2z = 4$
Eliminación gaussiana
La mayoría de los sistemas no empiezan en forma escalonada. La eliminación gaussiana convierte cualquier sistema en uno escalonado equivalente.
¿Por qué estas operaciones conservan las soluciones? Si dos cantidades son iguales, sumar cantidades iguales a ambos lados las mantiene iguales. Nunca creas ni pierdes una solución.
Cuando una ecuación tiene fracciones, elimínalas primero multiplicando toda la ecuación por el denominador común. Por ejemplo, $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 2$ multiplicada por $6$ da $3x + 2y + z = 12$.
Aplique el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones: $x - y + z = 2$ $2x + y - z = 1$ $x + 2y + z = 7$
Aplique el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
$x - y + z = 2$
$2x + y - z = 1$
$x + 2y + z = 7$
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales que contiene coeficientes fraccionarios. Simplifique las ecuaciones antes de aplicar el método de Gauss:…
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales que contiene coeficientes fraccionarios. Simplifique las ecuaciones antes de aplicar el método de Gauss:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z = 1$
$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 2$
$\frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} = 3$
Atajos: sumas de pares y cambio de variable
A veces a cada ecuación le falta una incógnita distinta. Entonces sumar las tres ecuaciones es más rápido que una eliminación completa.
Otro truco es un cambio de variable. Si las incógnitas aparecen solo como $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$, $\frac{1}{z}$, sea $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$. El sistema se vuelve lineal en $u$, $v$, $w$.
Resuelva el siguiente sistema donde en cada ecuación falta una incógnita: $x + y = 5$ $y + z = 7$ $x + z = 6$
Resuelva el siguiente sistema donde en cada ecuación falta una incógnita:
$x + y = 5$
$y + z = 7$
$x + z = 6$
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineal realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):…
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineal realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$
$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 7$
$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 6$
Una solución, infinitas o ninguna
Cuando terminas de eliminar, la última ecuación te dice qué tipo de sistema tienes.
Si las tres ecuaciones resultan ser múltiplos de una sola, por ejemplo $x + y + z = 6$, dos incógnitas son libres. Sea $y = s$ y $z = t$ para obtener $(6 - s - t,\ s,\ t)$.
Triangule el siguiente sistema mediante el método de Gauss e indique si es un Sistema Incompatible (SIN): $x + y + z = 1$ $2x + y - z = 0$ $3x + 2y = 5$
Triangule el siguiente sistema mediante el método de Gauss e indique si es un Sistema Incompatible (SIN):
$x + y + z = 1$
$2x + y - z = 0$
$3x + 2y = 5$
Aplique el método de Gauss al siguiente sistema y compruebe que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI) al obtener una ecuación del tipo $0 = 0$:…
Aplique el método de Gauss al siguiente sistema y compruebe que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI) al obtener una ecuación del tipo $0 = 0$:
$x - y + 2z = 3$
$-2x + 2y - 4z = -6$
$3x - 3y + 6z = 9$
Resuelva el siguiente sistema compatible indeterminado y exprese sus infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$: $x + 2y - z = 4$ $2x - y + 3z = 3$…
Resuelva el siguiente sistema compatible indeterminado y exprese sus infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:
$x + 2y - z = 4$
$2x - y + 3z = 3$
$3x + y + 2z = 7$
Sistemas con un parámetro
A veces una letra como $k$, $m$ o $a$ está escondida en el sistema, y debes decidir cómo depende el resultado de ella. Haz la eliminación como siempre, pero conserva la letra y fíjate en los valores que hacen que un coeficiente sea $0$.
| Situación | Resultado |
|---|---|
| $a \ne 1$ | una solución |
| $a = 1$ y $b = 3$ | infinitas |
| $a = 1$ y $b \ne 3$ | ninguna |
Encuentre los valores del parámetro $k$ para los que el siguiente sistema es incompatible: $x + y - z = 2$ $2x - y + z = 1$ $3x + y - z = k$
Encuentre los valores del parámetro $k$ para los que el siguiente sistema es incompatible:
$x + y - z = 2$
$2x - y + z = 1$
$3x + y - z = k$
Halle los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea Compatible Indeterminado: $x - y + 2z = 1$ $2x + ay - z = 3$…
Halle los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea Compatible Indeterminado:
$x - y + 2z = 1$
$2x + ay - z = 3$
$3x + y + bz = 4$
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$. Indique para qué valores de $m$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible…
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$. Indique para qué valores de $m$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.
$x + y + z = 1$
$x + my + z = m$
$x + y + m^{2}z = m^{2}$
Planos en el espacio
Una ecuación lineal con tres incógnitas, como $x + y + z = 6$, se grafica como un plano en el espacio 3D. Resolver el sistema significa hallar los puntos que están en los tres planos. Tres planos pueden cortarse en un solo punto, compartir toda una recta o no tener ningún punto en común.
La figura muestra los planos vistos desde el extremo de una recta: tres rectas que pasan por un punto significan que los planos comparten una recta, y un triángulo significa que cada dos planos se cortan, pero ningún punto está en los tres.
| Posición de los planos | Soluciones |
|---|---|
| Se cortan en exactamente un punto | una |
| Comparten una recta | infinitas, un parámetro |
| Los tres son el mismo plano | infinitas, dos parámetros |
| Ningún punto está en los tres (por ejemplo, dos planos paralelos) | ninguna |
La recta de soluciones tiene una ecuación paramétrica. En nuestro ejemplo anterior, las soluciones $(7 - 3t,\ t,\ 2t - 1)$ se pueden escribir como $(7, 0, -1) + t(-3, 1, 2)$: un punto de la recta más $t$ veces un vector de dirección.
Por ejemplo, $P = (1, 1, 0)$ y $Q = (3, 0, 0)$ cumplen $x + 2y - z = 3$. Entonces $R = (3 - 2\lambda,\ \lambda,\ 0)$ y $(3 - 2\lambda) + 2\lambda - 0 = 3$ para todo $\lambda$. El mismo patrón funciona con cualquier ecuación, y eso es lo que debe mostrar una demostración general.
Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observe la siguiente representación gráfica donde tres planos se intersecan a…
Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observe la siguiente representación gráfica donde tres planos se intersecan a lo largo de una única recta, formando un haz de planos.
Dado el sistema:
$\pi_{1}: x + 2y - z = 3$
$\pi_{2}: 2x - y + z = 1$
$\pi_{3}: 4x + 3y - z = k$
Calcule el valor de $k$ para que los tres planos se corten en una única recta (Sistema Compatible Indeterminado con un grado de libertad) y exprese la ecuación paramétrica de dicha recta de intersección.
Demuestre algebraicamente que si un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas admite dos soluciones distintas, por ejemplo $S_{1} = (1, 0, 0)$ y…
Demuestre algebraicamente que si un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas admite dos soluciones distintas, por ejemplo $S_{1} = (1, 0, 0)$ y $S_{2} = (0, 1, 0)$, entonces admite infinitas soluciones. Para ello, compruebe que cualquier combinación lineal de la forma $S = \lambda S_{1} + (1-\lambda)S_{2}$ también es solución del sistema.
Cómo pasar de palabras a ecuaciones
La mayoría de los usos reales de los sistemas con tres incógnitas empiezan como un párrafo. Una buena rutina:
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Nombra las tres incógnitas (con unidades).
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Encuentra tres datos independientes en el problema y escribe una ecuación para cada uno.
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Resuelve el sistema.
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Comprueba con las palabras originales y verifica que la respuesta tenga sentido (por ejemplo, que no haya edades negativas).
| Palabras | Parte de la ecuación |
|---|---|
| "la suma de tres números es $12$" | $x + y + z = 12$ |
| "$A$ es el doble de $B$" | $A = 2B$ |
| "$A$ es $30$ más que $B$" | $A = B + 30$ |
| "$A$ y $B$ juntos" | $A + B$ |
| "la media de $A$ y $C$ es $B$" | $B = \frac{A + C}{2}$, o $2B = A + C$ |
| "los ángulos de un triángulo suman $180^\circ$" | $A + B + C = 180$ |
La suma de tres números es $12$. El primero más el segundo suman $7$. El segundo más el tercero suman $9$. Plantee un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y…
La suma de tres números es $12$. El primero más el segundo suman $7$. El segundo más el tercero suman $9$. Plantee un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y determine el valor de dichos números.
La edad de un abuelo, su hijo y su nieto suman $120$ años. El abuelo tiene exactamente el doble de años que el hijo. Además, el hijo es $30$ años mayor que el nieto.…
La edad de un abuelo, su hijo y su nieto suman $120$ años. El abuelo tiene exactamente el doble de años que el hijo. Además, el hijo es $30$ años mayor que el nieto. Determine la edad de cada uno de ellos planteando un sistema de tres ecuaciones.
En un triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores $A$, $B$ y $C$ es $180^{\circ}$. El ángulo $A$ es igual a la suma de los ángulos $B$ y $C$. Además, el ángulo $B$…
En un triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores $A$, $B$ y $C$ es $180^{\circ}$. El ángulo $A$ es igual a la suma de los ángulos $B$ y $C$. Además, el ángulo $B$ es el doble del ángulo $C$. Plantee un sistema de tres ecuaciones y determine la medida de los tres ángulos.
Precios, puntos y tasas
Muchos problemas tratan de contar artículos que tienen cada uno un valor: precios, puntos, piezas por hora. El patrón es "cantidad de artículos por valor de cada artículo", todo sumado.
Los problemas de tasas siguen el mismo patrón. "Las máquinas A y B juntas hacen $50$ piezas por hora" significa $A + B = 50$. Si las tres máquinas se agrupan en pares de esta manera, el truco de la suma de pares visto antes lo resuelve rápido.
En una cafetería se venden tres tipos de sándwiches: de jamón, de queso y de tortilla. Un grupo de amigos pide $3$ de jamón, $2$ de queso y $1$ de tortilla, pagando…
En una cafetería se venden tres tipos de sándwiches: de jamón, de queso y de tortilla. Un grupo de amigos pide $3$ de jamón, $2$ de queso y $1$ de tortilla, pagando $\$14$. Otro grupo pide $2$ de jamón, $1$ de queso y $3$ de tortilla, pagando $\$13$. Un tercer grupo pide $1$ de jamón, $3$ de queso y $2$ de tortilla, pagando $\$15$. Plantee y resuelva un sistema para calcular el precio de cada tipo de sándwich.
En un partido de baloncesto, un jugador ha anotado un total de $15$ canastas, consiguiendo $31$ puntos. Sabiendo que el número de canastas de dos puntos es el triple que…
En un partido de baloncesto, un jugador ha anotado un total de $15$ canastas, consiguiendo $31$ puntos. Sabiendo que el número de canastas de dos puntos es el triple que el de canastas de tres puntos, y que también ha anotado tiros libres (que valen un punto), plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas canastas de cada tipo ha encestado.
Tres máquinas A, B y C fabrican piezas en una industria. Trabajando juntas, la máquina A y la B fabrican $50$ piezas por hora. La máquina B y la C fabrican juntas $70$…
Tres máquinas A, B y C fabrican piezas en una industria. Trabajando juntas, la máquina A y la B fabrican $50$ piezas por hora. La máquina B y la C fabrican juntas $70$ piezas por hora. Finalmente, la máquina A y la C fabrican juntas $60$ piezas por hora. Calcule cuántas piezas por hora fabrica cada máquina individualmente.
Planteamientos más difíciles: dígitos, mezclas, respuestas enteras
Algunos problemas requieren un poco más de traducción.
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Dígitos. Un número de tres dígitos con dígito de las centenas $c$, de las decenas $d$ y de las unidades $u$ vale $100c + 10d + u$. Invertido, es $100u + 10d + c$. "El dígito de las decenas es la media de los otros" significa $2d = c + u$.
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Mezclas. Convierte los porcentajes a decimales. Si tres aleaciones contienen $10\%$, $30\%$ y $20\%$ de plata y usas $x$, $y$, $z$ libras, la plata es $0.10x + 0.30y + 0.20z$ libras. Escribe una ecuación para cada metal o para el peso total.
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Respuestas enteras. A veces solo tienes dos ecuaciones. El sistema es dependiente, y el contexto (los artículos no pueden ser fracciones ni negativos) determina los valores permitidos del parámetro.
La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el número original. Además, la…
La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el número original. Además, la cifra de las decenas es la media aritmética de las cifras de las centenas y de las unidades. Encuentre el número original. (Nota: Un número de tres cifras $c$, $d$, $u$ tiene un valor de $100c + 10d + u$).
Una empresa de transportes adquiere tres tipos de vehículos: furgonetas, camiones ligeros y camiones pesados. Se sabe que el número total de vehículos adquiridos es…
Una empresa de transportes adquiere tres tipos de vehículos: furgonetas, camiones ligeros y camiones pesados. Se sabe que el número total de vehículos adquiridos es $30$. El costo de cada furgoneta es de $\$20.000$, el de cada camión ligero $\$30.000$ y el de cada camión pesado $\$50.000$. Si la inversión total ha sido de $\$850.000$, plantee el sistema y demuestre que es un Sistema Compatible Indeterminado. Luego, encuentre todas las soluciones enteras posibles sabiendo que la empresa ha comprado al menos un vehículo de cada tipo.
Se dispone de tres aleaciones de plata, cobre y zinc. La primera contiene un $10\%$ de plata, un $70\%$ de cobre y un $20\%$ de zinc. La segunda contiene un $30\%$ de…
Se dispone de tres aleaciones de plata, cobre y zinc. La primera contiene un $10\%$ de plata, un $70\%$ de cobre y un $20\%$ de zinc. La segunda contiene un $30\%$ de plata, un $40\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. La tercera contiene un $20\%$ de plata, un $50\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. Queremos obtener $100$ libras de una nueva aleación que contenga exactamente un $22\%$ de plata y un $52\%$ de cobre. Plantee el sistema de ecuaciones para calcular cuántas libras de cada aleación debemos mezclar y resuélvalo.
De vuelta a la cafetería: el sistema era $2x + y + z = 9$, $x + 2y + 3z = 10$, $3x + y + 2z = 13$. Elimina $x$: $2R_2 - R_1$ da $3y + 5z = 11$, y $2R_3 - 3R_1$ da $-y + z = -1$. Elimina $y$: $3R_3 + R_2$ da $8z = 8$, así que $z = 1$. Entonces $y = z + 1 = 2$, y $2x + 2 + 1 = 9$ da $x = 3$. Un pretzel cuesta $\$3$, un jugo $\$2$ y una galleta $\$1$.