Resolver ecuaciones cuadráticas
Jayden lanza un globo de agua hacia arriba desde la azotea de un edificio de 48 pies. Su altura después de $t$ segundos es $h = -16t^2 + 32t + 48$. ¿Cuánto tarda en caer al suelo? Esa es una ecuación cuadrática, y ya sabes resolverlas. En Matemáticas Integradas III vas más allá. Dirás cuántas soluciones tiene una ecuación sin resolverla, leerás información directamente de los coeficientes y convertirás ecuaciones de aspecto complicado en ecuaciones cuadráticas.
La forma estándar y la fórmula cuadrática
¿De dónde sale la fórmula? Es lo que obtienes al completar el cuadrado en $ax^2+bx+c=0$ y despejar $x$, así que funciona para toda ecuación cuadrática. Si el trinomio se factoriza fácilmente, factorizar es más rápido. Si no, la fórmula siempre funciona.
Gráficamente, las soluciones son las intersecciones con el eje $x$ de la parábola $y=ax^2+bx+c$. Mueve los controles deslizantes y observa dónde cruza el eje $x$.
Muchas ecuaciones llegan disfrazadas. Primero multiplica, y luego junta todo en un lado.
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Desarrolle las expresiones, simplifique y resuelva la ecuación de segundo grado resultante: $(x - 2)(x + 3) = 2x - 6$
Desarrolle las expresiones, simplifique y resuelva la ecuación de segundo grado resultante:
$(x - 2)(x + 3) = 2x - 6$
Ecuaciones cuadráticas incompletas: sin fórmula
Cuando $b=0$ o $c=0$ hay caminos más rápidos que la fórmula.
Si obtienes $x^2=-4$, no hay solución real, porque ningún número real elevado al cuadrado es negativo. (En Matemáticas Integradas III también verás que las soluciones complejas son $\pm 2i$.)
Encuentre las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común: $3x^2 - 12x = 0$
Encuentre las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común:
$3x^2 - 12x = 0$
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita: $2x^2 - 18 = 0$
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:
$2x^2 - 18 = 0$
El discriminante: ¿cuántas soluciones?
La expresión bajo el radical, $b^2-4ac$, decide cuántas soluciones reales hay antes de que calcules nada.
El segundo ejemplo sugiere un hecho general. Fíjate en lo que hacen los signos de $a$ y $c$ en $-4ac$.
Sin llegar a resolver la ecuación, determine el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante: $5x^2 - 3x + 2 = 0$
Sin llegar a resolver la ecuación, determine el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante:
$5x^2 - 3x + 2 = 0$
Determine el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Determine el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.
Demuestre algebraicamente que la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a \neq 0$) siempre tiene dos soluciones reales y distintas si los coeficientes $a$ y…
Demuestre algebraicamente que la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a \neq 0$) siempre tiene dos soluciones reales y distintas si los coeficientes $a$ y $c$ tienen signos opuestos (es decir, si se cumple que $a \cdot c < 0$).
Suma y producto de las raíces
Funcionan en ambos sentidos. Puedes leer la suma y el producto de una ecuación sin resolverla, o construir una ecuación a partir de sus soluciones:
$$x^2-(x_1+x_2)\,x+x_1x_2=0$$Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcule la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcule la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.
Escriba una ecuación de segundo grado en la forma $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a=1$) sabiendo que sus soluciones son $x_1 = 4$ y $x_2 = -3$.
Escriba una ecuación de segundo grado en la forma $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a=1$) sabiendo que sus soluciones son $x_1 = 4$ y $x_2 = -3$.
Sean $x_1$ y $x_2$ las raíces de la ecuación $3x^2 - 5x + 1 = 0$. Sin calcular de forma explícita el valor de $x_1$ y $x_2$, utilice las propiedades de las raíces para…
Sean $x_1$ y $x_2$ las raíces de la ecuación $3x^2 - 5x + 1 = 0$. Sin calcular de forma explícita el valor de $x_1$ y $x_2$, utilice las propiedades de las raíces para hallar el valor exacto de la expresión $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.
Raíces y forma factorizada
Si $r_1$ y $r_2$ son las raíces de $ax^2+bx+c$, entonces
$$ax^2+bx+c=a(x-r_1)(x-r_2)$$Cada raíz da un factor, y el coeficiente principal $a$ se queda al frente. Mueve los controles deslizantes para ver que la parábola $y=a(x-b)(x-c)$ siempre cruza el eje en $b$ y $c$.
Si conoces una raíz, sustitúyela. Una raíz hace verdadera la ecuación, así que la sustitución te da el parámetro desconocido.
Halle las raíces del polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ y utilícelas para escribir el polinomio factorizado.
Halle las raíces del polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ y utilícelas para escribir el polinomio factorizado.
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcule el valor del parámetro…
En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcule el valor del parámetro $m$ y halle la otra solución.
Ecuaciones con un parámetro
A veces los coeficientes contienen una letra, como $k$. Te piden cuántas soluciones hay para cada valor de esa letra. Primero verifica si el coeficiente principal puede ser cero. Si puede, la ecuación no es cuadrática para ese valor. Después, estudia el signo de $D$.
En el control de abajo, el deslizador $a$ hace el papel de $k$ en el ejemplo. Observa qué pasa en $a=0$ y en $a=3$.
Discuta el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Discuta el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.
Ecuaciones de forma cuadrática y racionales
Muchas ecuaciones no son cuadráticas a primera vista, pero se vuelven ecuaciones cuadráticas después de una sustitución o después de eliminar los denominadores.
Las ecuaciones racionales funcionan igual una vez que eliminas los denominadores. Multiplica cada término por el denominador común y excluye cualquier valor que haga cero un denominador.
Resuelva la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:…
Resuelva la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:
$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$
Resuelva la siguiente ecuación con fracciones algebraicas operando hasta reducirla a una ecuación de segundo grado: $\frac{x+1}{x-2} + \frac{3x}{x+2} = 4$
Resuelva la siguiente ecuación con fracciones algebraicas operando hasta reducirla a una ecuación de segundo grado:
$\frac{x+1}{x-2} + \frac{3x}{x+2} = 4$
Modelos con funciones cuadráticas: altura y ganancia
Cuando una función cuadrática modela una situación, una pregunta sobre ella se convierte en una ecuación. Para altura $=17$, iguala la función a $17$. Para "toca el suelo", iguala la altura a $0$. Para el "punto de equilibrio", iguala la ganancia a $0$. Luego pasa todo a un lado y resuelve. Por último, descarta las soluciones que no tengan sentido en el contexto, como un tiempo negativo.
La ganancia funciona igual. Si la ganancia en miles de dólares es $P(x)=-x^2+10x-16$ para $x$ cientos de artículos, el punto de equilibrio es $P(x)=0$. Entonces $x^2-10x+16=0$ da $(x-2)(x-8)=0$, así que la empresa llega al punto de equilibrio con 200 y con 800 artículos.
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en pies respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos, viene…
En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en pies respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos, viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determine en qué instante o instantes el cohete se encuentra exactamente a $17$ pies de altura.
Una empresa de tecnología fabrica discos duros externos. La ganancia mensual, en miles de dólares, al vender $x$ cientos de unidades se modela mediante la función…
Una empresa de tecnología fabrica discos duros externos. La ganancia mensual, en miles de dólares, al vender $x$ cientos de unidades se modela mediante la función cuadrática $B(x) = -2x^2 + 24x - 54$. ¿Cuántas unidades deben venderse para que la ganancia sea nula (punto de equilibrio)?
Problemas de área: plantea y resuelve
Un plan confiable: haz un dibujo, nombra la incógnita, escribe el área en términos de ella, iguálala al área dada y resuelve.
Un arquitecto está diseñando un panel solar rectangular para el techo de un edificio industrial. Por restricciones de diseño, la base del panel debe medir exactamente…
Un arquitecto está diseñando un panel solar rectangular para el techo de un edificio industrial. Por restricciones de diseño, la base del panel debe medir exactamente $3$ pies más que su altura. Si el área total del panel debe ser de $28 \text{ m}^2$, plantee una ecuación de segundo grado y calcule sus dimensiones.
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin…
Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin contar la fotografía) es de $216 \text{ cm}^2$, plantee una ecuación y halle el ancho del marco.
Problemas con triángulos rectángulos
Cuando aparece un ángulo recto, piensa en el teorema de Pitágoras, $a^2+b^2=c^2$. Cuando un rectángulo está dentro de un triángulo, piensa en triángulos semejantes. Ambos llevan a ecuaciones cuadráticas.
En un problema de movimiento, recuerda que distancia = tasa $\times$ tiempo. Dos objetos que se mueven en ángulo recto uno respecto al otro son los catetos de un triángulo rectángulo, y la distancia entre ellos es la hipotenusa.
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus…
En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus vértices sobre la hipotenusa. Si el área del rectángulo debe ser exactamente de $12 \text{ cm}^2$, plantee una ecuación de segundo grado y halle las dimensiones posibles del rectángulo.
Dos drones de vigilancia parten simultáneamente de una misma base. El primer dron vuela en línea recta hacia el norte a una velocidad constante de $v \text{ km/h}$, y el…
Dos drones de vigilancia parten simultáneamente de una misma base. El primer dron vuela en línea recta hacia el norte a una velocidad constante de $v \text{ km/h}$, y el segundo vuela hacia el este a una velocidad de $v + 5 \text{ km/h}$. Después de $2$ horas de vuelo, la distancia en línea recta que los separa es de $50 \text{ km}$. Plantee una ecuación cuadrática y determine la velocidad de cada dron.
Problemas de números, costos y razones
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantee una ecuación de segundo grado y resuelva para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de…
El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantee una ecuación de segundo grado y resuelva para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja posible?
Un grupo de amigos decide alquilar un velero para el fin de semana por un costo total de $\$360…
Un grupo de amigos decide alquilar un velero para el fin de semana por un costo total de $\$360$, que acuerdan pagar a partes iguales. En el último momento, dos de los amigos no pueden asistir, lo que obliga al resto del grupo a pagar $\$9$ más cada uno para cubrir el costo total. Plantee una ecuación que se reduzca a segundo grado para determinar cuántos amigos conformaban el grupo original.
La proporción áurea se obtiene al dividir un segmento de longitud $L$ en dos partes $x$ e $y$ (con $x > y$) de tal forma que la relación entre el segmento total y la…
La proporción áurea se obtiene al dividir un segmento de longitud $L$ en dos partes $x$ e $y$ (con $x > y$) de tal forma que la relación entre el segmento total y la parte mayor sea igual a la relación entre la parte mayor y la menor. Si fijamos la longitud de la parte menor como $y = 1$, plantee la ecuación de segundo grado resultante para $x$ y halle el valor exacto del número áureo $\Phi$.