Desigualdades con valor absoluto

El valor absoluto como distancia

El valor absoluto $|x - a|$ es la distancia entre $x$ y $a$ en la recta numérica. No importa de qué lado de $a$ estés. Esta idea convierte cada desigualdad con valor absoluto en desigualdades ordinarias.

Mueve el control deslizante para desplazar la gráfica de $y = |x - a|$ y compárala con la recta horizontal $y = 3$. La desigualdad $|x - a| < 3$ es verdadera donde la V está por debajo de la recta.

Primero despeja el valor absoluto

Las traducciones anteriores solo funcionan cuando el valor absoluto está solo en un lado. Si hay algo sumado, multiplicado o restado, deshazlo primero con operaciones inversas.

1. Despeja la expresión con valor absoluto $|u|$.

2. Reescribe con "y" ($|u| < k$) o con "o" ($|u| > k$).

3. Resuelve las desigualdades lineales que resulten.

Dos datos ayudan. Primero, $|-u| = |u|$, así que $|-x + 6| = |x - 6|$. Segundo, si multiplicas o divides ambos lados por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte.

Cuando no hay solución o sirve cualquier número

Como $|u| \ge 0$ siempre, algunas desigualdades se resuelven con solo pensar en los signos.

Tolerancias y márgenes de error

El uso más común del valor absoluto en la vida real es la tolerancia: una medida debe estar cerca de un valor objetivo, con un error máximo permitido.

Sistemas de desigualdades con valor absoluto

Un sistema significa que todas las condiciones deben cumplirse a la vez. Resuelve cada desigualdad por separado y quédate solo con los números que están en ambos conjuntos solución: la intersección. Dibujar ambas soluciones en rectas numéricas apiladas hace fácil ver dónde se traslapan.

Las intersecciones también responden preguntas de "¿está garantizado?". Si de una máquina solo se sabe que su temperatura cumple una desigualdad, y una regla de seguridad exige otra, verifica si todo valor permitido cumple también la regla. Si el intervalo permitido se sale de lo que pide la regla, no está garantizado.

Expresiones cuadráticas y racionales dentro de las barras

Cuando la expresión dentro de las barras es cuadrática o racional, el método no cambia: traduce a una desigualdad compuesta y luego resuelve cada parte con las herramientas de ese tipo.

Expresiones racionales. Si la variable está en un denominador, primero anota qué valores de $x$ hacen $0$ el denominador y exclúyelos. Por ejemplo, si el denominador es $|x + 2|$, entonces $|x + 2| > 0$ para todo $x \ne -2$, así que puedes multiplicar ambos lados por esa expresión sin invertir el signo.

Parámetros. Un parámetro como $a$ se trata como un número. Solo lleva control de su signo: si $a > 0$, entonces $\sqrt{a^2} = a$.

Una expresión con variable en el lado derecho

A veces el "número" $k$ es en realidad una expresión como $x + 1$. Las mismas traducciones siguen funcionando:

Cuando una parte es una desigualdad cuadrática, resuélvela factorizando y probando intervalos, igual que en la sección de desigualdades cuadráticas. Para $|x^2 - 4x| > 3x$ obtienes $x^2 - 4x > 3x$ o $x^2 - 4x < -3x$. Resuelve cada una y toma la unión.

Dos valores absolutos

Hay tres buenas estrategias. Elige la que se ajuste al problema.

Estrategia 1: piensa en distancias

$|x - 2| < |x + 4|$ dice "$x$ está más cerca de $2$ que de $-4$". Los puntos que están a igual distancia de ambos están en su punto medio, $\dfrac{2 + (-4)}{2} = -1$. Todo lo que queda a la derecha del punto medio está más cerca de $2$.

Así, la solución de $|x - 2| < |x + 4|$ es $x > -1$, es decir, $(-1, \infty)$.

Estrategia 2: elevar al cuadrado ambos lados

Tanto $|A|$ como $|B|$ nunca son negativos, así que $|A| < |B| \iff A^2 < B^2$ (y lo mismo para $\le$, $\ge$, $>$). Elevar al cuadrado elimina las barras porque $|A|^2 = A^2$.

Esto también sirve para fracciones como $\left|\dfrac{2x - 1}{x + 2}\right| \ge 1$. Como $x \ne -2$, es lo mismo que $|2x - 1| \ge |x + 2|$. Eleva al cuadrado ambos lados, resuelve y, al final, quita $x = -2$ de la respuesta si está en ella.

Estrategia 3: separar en los puntos críticos

Para sumas como $|x - 1| + |x - 3|$ no hay atajo elevando al cuadrado. En cambio, corta la recta numérica en los valores donde cada expresión dentro de las barras es $0$. En cada tramo los signos son fijos, así que puedes quitar las barras.

La imagen de las distancias coincide: la suma de las distancias de $x$ a $-1$ y a $2$ es al menos $3$, y llega a $5$ cuando $x$ está a $1$ unidad más allá de cada extremo.

Problemas de reto: parámetros, rapidez y expresiones definidas por partes

Contener un intervalo

$|x - k| \le r$ tiene el conjunto solución $[k - r, k + r]$. Para que este intervalo quede dentro de $[p, q]$, ambos extremos deben estar en $[p, q]$: $k - r \ge p$ y $k + r \le q$. Resuelve ambas para $k$ e intersecta.

Rapidez y distancia recorrida

La rapidez nunca es negativa, por eso a menudo es un valor absoluto. En una gráfica de rapidez contra tiempo, la distancia recorrida es el área entre la gráfica y el eje del tiempo.

Una expresión definida por partes dentro de las barras

Si una expresión como $d(x) = |x + 1| - |x - 3|$ está dentro de otro valor absoluto, primero reescribe $d(x)$ sin barras en cada tramo (separa en los puntos críticos, como en la Estrategia 3). En $x < -1$ vale $-4$; en $-1 \le x \le 3$ vale $2x - 2$; en $x > 3$ vale $4$. Luego resuelve $|d(x)| \le 2$ en cada tramo y quédate solo con las soluciones dentro de ese tramo. Aquí resulta solo el tramo $[-1, 3]$, donde $|2x - 2| \le 2$ significa $0 \le x \le 2$. La solución es $[0, 2]$.

Resumen

De vuelta al termostato: $|T - 72| \le 3$ da $[69, 75]$, así que el cuarto se mantiene entre $69^\circ$F y $75^\circ$F.