La distribución normal
Jayden sacó 84 en un examen de unidad en el que la media de la clase fue 72 y la desviación estándar fue 8. Su prima Emma sacó 640 en una sección de un examen de práctica en el que las puntuaciones tienen una media de 500 y una desviación estándar de 100. ¿Cuál de las dos puntuaciones es más impresionante? No puedes comparar 84 con 640 directamente, así que necesitas una vara de medir común. Al terminar esta página la tendrás.
La curva en forma de campana
La estatura de los estudiantes de 11.º grado, el tiempo que tarda un food truck en preparar un pedido, las puntuaciones de un examen estandarizado: cuando mides muchos individuos, los valores suelen acumularse alrededor de un promedio y disminuir de forma simétrica a ambos lados. Esa forma es la curva en forma de campana (bell curve).
Primero, un repaso de cómo funcionan las variables continuas. Una curva de densidad $f(x)$ describe una variable aleatoria continua $X$. La probabilidad de que $X$ caiga en un intervalo es el área bajo la curva sobre ese intervalo, y el área total siempre es $1$. Un solo punto no tiene ancho, así que $P(X = a) = 0$. Por eso $P(X \le a)$ y $P(X < a)$ son el mismo número.
Dada la siguiente función de densidad de una variable aleatoria continua $X$, que representa el tiempo de espera en minutos para que un servidor de videojuegos asigne…
Dada la siguiente función de densidad de una variable aleatoria continua $X$, que representa el tiempo de espera en minutos para que un servidor de videojuegos asigne una partida:
$$f(x) = \begin{cases} k & \text{si } 0 \le x \le 4 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$$Calcula el valor de la constante $k$ para que el área bajo la función sea igual a $1$ y halla gráficamente la probabilidad de que un jugador espere menos de $2$ minutos.
La curva de densidad más importante de la estadística es la curva normal.
Usa los deslizadores para ver qué hace cada parámetro. La media $\mu$ desplaza la campana a la izquierda y a la derecha. La desviación estándar $\sigma$ la hace más alta y angosta, o más baja y ancha.
Cómo leer la tabla z: colas izquierda y derecha
Toda distribución normal se puede convertir en una curva de referencia: la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, con media $0$ y desviación estándar $1$. Sus áreas están tabuladas.
La tabla normal estándar da el área a la izquierda de $z$, es decir, $P(Z < z)$. Para leerla, separa $z$ en su primer decimal (la fila) y su segundo decimal (la columna). Para $z = 1.15$, ve a la fila $1.1$ y a la columna $0.05$. En una TI-84 el mismo número es normalcdf(-1E99, 1.15).
Aquí tienes algunos valores para los ejemplos de esta página.
| z | 0 | 0.50 | 0.67 | 0.84 | 0.88 | 0.98 | 1.00 | 1.15 | 1.28 | 1.50 | 1.645 | 1.96 | 2.00 | 2.58 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P(Z < z) | 0.5000 | 0.6915 | 0.7486 | 0.7995 | 0.8106 | 0.8365 | 0.8413 | 0.8749 | 0.8997 | 0.9332 | 0.9500 | 0.9750 | 0.9772 | 0.9951 |
Utilizando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, obtén las siguientes probabilidades directas: a) $P(Z < 1,45)$ b) $P(Z \le 0,38)$ c) $P(Z < 2,01)$
Utilizando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, obtén las siguientes probabilidades directas:
- a) $P(Z < 1,45)$
- b) $P(Z \le 0,38)$
- c) $P(Z < 2,01)$
En una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, aprovecha las propiedades de simetría de la campana de Gauss para calcular las siguientes probabilidades: a)…
En una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, aprovecha las propiedades de simetría de la campana de Gauss para calcular las siguientes probabilidades:
- a) $P(Z > 0,82)$
- b) $P(Z \ge 1,96)$
- c) $P(Z > 2,5)$
Recuerda que $P(Z > k) = 1 - P(Z \le k)$.
Probabilidades entre dos valores z
Las áreas entre dos valores son una diferencia de dos áreas a la izquierda: toma todo lo que está a la izquierda del valor mayor y quita todo lo que está a la izquierda del valor menor.
Halla la probabilidad de que una variable normal estándar $Z$ se encuentre en los siguientes intervalos: a) $P(0,5 < Z < 1,5)$ b) $P(1 \le Z \le 2,33)$ Ilustra el inciso…
Halla la probabilidad de que una variable normal estándar $Z$ se encuentre en los siguientes intervalos:
- a) $P(0,5 < Z < 1,5)$
- b) $P(1 \le Z \le 2,33)$
Ilustra el inciso a) dibujando un esquema de la curva normal y sombreando el área correspondiente.
Dada una variable aleatoria $Z$ que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$, utiliza la tabla de probabilidades para calcular: a) $P(Z < 1,45)$ b) $P(Z > 0,82)$…
Dada una variable aleatoria $Z$ que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$, utiliza la tabla de probabilidades para calcular:
- a) $P(Z < 1,45)$
- b) $P(Z > 0,82)$
- c) $P(Z \le -1,24)$
- d) $P(-0,5 < Z < 1,72)$
Puntuaciones z: estandarizar
Una tabla para cada posible $\mu$ y $\sigma$ sería interminable. En cambio, estandarizamos: convertimos $X$ en el número de desviaciones estándar que lo separan de la media.
Una $z$ positiva significa que $x$ está por encima de la media, y una $z$ negativa significa que está por debajo. El número te dice a cuántas desviaciones estándar está.
Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media $\mu = 50$ y desviación estándar $\sigma = 10$. Realiza el proceso de estandarización para…
Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media $\mu = 50$ y desviación estándar $\sigma = 10$. Realiza el proceso de estandarización para calcular la probabilidad $P(X < 65)$.
Indica claramente el valor de la variable transformada $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ antes de buscar en la tabla.
Las calificaciones de un examen de Matemáticas Aplicadas siguen una distribución normal con una media de $6,2$ puntos y una desviación estándar de $1,5$ puntos. Si…
Las calificaciones de un examen de Matemáticas Aplicadas siguen una distribución normal con una media de $6,2$ puntos y una desviación estándar de $1,5$ puntos. Si elegimos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que su nota sea superior a $7$.
El tiempo que tarda una empresa de mensajería en entregar un paquete en una ciudad determinada sigue una distribución normal $N(30, 5)$, donde el tiempo se mide en…
El tiempo que tarda una empresa de mensajería en entregar un paquete en una ciudad determinada sigue una distribución normal $N(30, 5)$, donde el tiempo se mide en minutos. Calcula la probabilidad de que un paquete tarde en entregarse entre $25$ y $35$ minutos.
Probabilidades normales en situaciones reales
Cuando un problema te da $\mu$ y $\sigma$, la rutina siempre es la misma.
El tiempo que los adolescentes de una escuela secundaria dedican diariamente a jugar a videojuegos sigue una distribución normal de media $\mu = 110$ minutos y una…
El tiempo que los adolescentes de una escuela secundaria dedican diariamente a jugar a videojuegos sigue una distribución normal de media $\mu = 110$ minutos y una desviación típica $\sigma = 25$ minutos. Si seleccionamos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:
- a) Juegue más de dos horas al día.
- b) Juegue entre 90 y 130 minutos.
- c) Juegue menos de 60 minutos.
Las notas obtenidas por los estudiantes de 11.º grado en un examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales siguen una distribución $N(6,4; 1,5)$. a) ¿Qué…
Las notas obtenidas por los estudiantes de 11.º grado en un examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales siguen una distribución $N(6,4; 1,5)$.
- a) ¿Qué porcentaje de estudiantes ha obtenido una nota superior a 7?
- b) Si para aprobar se necesita al menos un 5, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante repruebe?
- c) En una clase de 30 estudiantes, ¿cuántos se espera que tengan una nota entre 5 y 8?
Usar la tabla en sentido inverso
A veces conoces el área y necesitas el valor de $z$. Ahora buscas el área en el cuerpo de la tabla y lees $z$ en los bordes de filas y columnas. En una TI-84, usa invNorm(área).
Algunos problemas llaman al valor desconocido la abscisa $k$: eso solo significa su posición en el eje horizontal, el valor de $z$.
Dada una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, utiliza la tabla de forma inversa para encontrar el valor de la abscisa $k$ en los siguientes casos: a)…
Dada una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, utiliza la tabla de forma inversa para encontrar el valor de la abscisa $k$ en los siguientes casos:
- a) $P(Z < k) = 0,9452$
- b) $P(Z \le k) = 0,9750$
- c) $P(Z < k) = 0,5000$
En la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, halla el valor de la abscisa $k$ en cada uno de los siguientes casos: a) $P(Z < k) = 0,9418$ b) $P(Z > k) = 0,1075$…
En la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, halla el valor de la abscisa $k$ en cada uno de los siguientes casos:
- a) $P(Z < k) = 0,9418$
- b) $P(Z > k) = 0,1075$
- c) $P(Z < k) = 0,2236$
- d) $P(-k < Z < k) = 0,95$
Intervalos simétricos
"El $90\%$ central" o "valores a cierta distancia de la media" describen un intervalo $-k < Z < k$ centrado en $0$.
En una envasadora de refrescos, el contenido de las latas sigue una distribución normal de media $33$ oz fl y desviación típica $0,5$ oz fl. a) Calcula la probabilidad…
En una envasadora de refrescos, el contenido de las latas sigue una distribución normal de media $33$ oz fl y desviación típica $0,5$ oz fl.
- a) Calcula la probabilidad de que una lata contenga menos de $32,2$ oz fl.
- b) Determina el intervalo de valores, simétrico respecto a la media, en el que se encuentra el $90 \%$ del contenido de las latas.
Sea $Z$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$. Calcula el valor de la constante positiva $a$ tal que se cumpla la siguiente…
Sea $Z$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$. Calcula el valor de la constante positiva $a$ tal que se cumpla la siguiente igualdad:
$$P(|Z| \le a) = 3 \cdot P(Z > a)$$Razona gráficamente tu respuesta utilizando las propiedades de simetría de la campana de Gauss.
Percentiles: de una probabilidad a un valor
"¿Qué puntuación necesitas para estar en el $10\%$ superior?" pide lo contrario de leer una probabilidad: te dan un área y debes hallar el valor $x$.
Probabilidades condicionales
A veces te dan información sobre el valor antes de hacer la pregunta: "Dado que el pedido tardó más de $7$ minutos, ¿cuál es la probabilidad de que tardara más de $10$?" Usa $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \text{ y } B)}{P(B)}$.
Para acceder a un programa técnico universitario muy demandado, se realiza una prueba cuya puntuación sigue una distribución $N(72, 12)$. Si solo hay cupos para el…
Para acceder a un programa técnico universitario muy demandado, se realiza una prueba cuya puntuación sigue una distribución $N(72, 12)$. Si solo hay cupos para el $25 \%$ de los candidatos con mejores notas:
- a) ¿Cuál es la puntuación mínima necesaria para obtener un cupo?
- b) Si un estudiante ha obtenido $80$ puntos, ¿está dentro del grupo de seleccionados? Razona la respuesta calculando su percentil.
El tiempo de reacción de los jugadores en un torneo profesional de e-sports sigue una distribución normal $N(180, 25)$, donde el tiempo se mide en milisegundos. La…
El tiempo de reacción de los jugadores en un torneo profesional de e-sports sigue una distribución normal $N(180, 25)$, donde el tiempo se mide en milisegundos. La organización del torneo quiere clasificar a los jugadores en tres categorías según su rapidez:
-
Categoría Élite: el $5\%$ de los jugadores más rápidos.
-
Categoría Amateur: el $75\%$ de los jugadores con tiempos intermedios.
-
Categoría Principiante: el resto de los jugadores (los más lentos).
Calcula los tiempos de reacción que delimitan cada una de estas categorías.
Una empresa de mensajería utiliza una flota de camionetas eléctricas cuya autonomía de batería se distribuye de forma normal con una media de $210$ millas y una…
Una empresa de mensajería utiliza una flota de camionetas eléctricas cuya autonomía de batería se distribuye de forma normal con una media de $210$ millas y una desviación típica de $35$ millas. El gerente de logística decide renovar las baterías de aquellas camionetas que se encuentren en el percentil $12$ de menor autonomía para evitar incidencias en las rutas.
- a) Determina la autonomía máxima por debajo de la cual se renovarán las baterías.
- b) Si se selecciona una camioneta al azar y se sabe que su autonomía es superior a la media, ¿cuál es la probabilidad de que su autonomía supere las $260$ millas?
Cómo hallar una media o una desviación estándar desconocidas
A veces la pieza que falta es $\mu$ o $\sigma$. Sigues estandarizando, pero ahora despejas el parámetro. Usa una probabilidad para hallar $z_0$ con la búsqueda inversa y luego resuelve la ecuación lineal.
Se sabe que el peso de los recién nacidos en un hospital sigue una distribución normal. Si el $15,87 \%$ de los bebés pesa menos de $2,8$ libras y la desviación típica…
Se sabe que el peso de los recién nacidos en un hospital sigue una distribución normal. Si el $15,87 \%$ de los bebés pesa menos de $2,8$ libras y la desviación típica de la población es de $0,4$ libras, calcula el peso medio de los recién nacidos en ese hospital.
Un estudio sobre la duración de la batería de un nuevo modelo de smartphone indica que su vida útil sigue una distribución normal con una media de $32$ horas. Si se ha…
Un estudio sobre la duración de la batería de un nuevo modelo de smartphone indica que su vida útil sigue una distribución normal con una media de $32$ horas. Si se ha comprobado que solo el $2,28 \%$ de los teléfonos tiene una batería que dura menos de $26$ horas:
- a) Halla la desviación típica de esta distribución.
- b) ¿Cuál es la probabilidad de que un teléfono elegido al azar dure más de $35$ horas?
Una fábrica produce paquetes de café cuyo peso teórico es de $500$ onzas. Debido a la maquinaria, el peso real sigue una distribución normal con una desviación típica de…
Una fábrica produce paquetes de café cuyo peso teórico es de $500$ onzas. Debido a la maquinaria, el peso real sigue una distribución normal con una desviación típica de $12$ onzas. Por normativa de consumo, se considera "fuera de peso" cualquier paquete que pese menos de $485$ onzas o más de $525$ onzas.
Calcula cuál debe ser el peso medio ($\mu$) al que se debe ajustar la máquina de llenado para que la probabilidad de que un paquete sea "fuera de peso" por exceso (más de $525$ oz) sea exactamente del $2,5\%$. Con esa nueva media, ¿qué porcentaje de paquetes pesará menos del mínimo legal de $485$ oz?
Dos incógnitas: μ y σ a la vez
Si un problema te da dos datos de probabilidad y no conoces ni $\mu$ ni $\sigma$, cada dato produce una ecuación $x = \mu + z_0\sigma$. Entonces tienes un sistema de dos ecuaciones lineales, que puedes resolver por eliminación.
En una prestigiosa academia de música, se ha observado que las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en la prueba de solfeo siguen una distribución normal…
En una prestigiosa academia de música, se ha observado que las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en la prueba de solfeo siguen una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el $15\%$ de los aspirantes obtuvo una puntuación superior a $82$ puntos, mientras que solo el $10\%$ de los estudiantes no logró superar la puntuación mínima de $45$ puntos.
Calcula el valor de la media ($\mu$) y de la desviación típica ($\sigma$) de esta distribución de puntuaciones.
El volumen de refresco que una máquina expendedora vierte en vasos de $330$ oz fl sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se ha comprobado que el $95\%$ de los…
El volumen de refresco que una máquina expendedora vierte en vasos de $330$ oz fl sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se ha comprobado que el $95\%$ de los vasos contienen una cantidad de refresco comprendida entre $318$ oz fl y $338$ oz fl.
Determina el valor de la media ($\mu$) y de la desviación típica ($\sigma$) del volumen de refresco vertido por la máquina, suponiendo que el intervalo dado es simétrico respecto a la media.
La aproximación normal a la binomial
Una publicación en redes sociales se vuelve viral con probabilidad $0.004$. De $2{,}500$ publicaciones, ¿qué tan probable es que exactamente $12$ sean virales? Calcular $\binom{2500}{12}(0.004)^{12}(0.996)^{2488}$ es complicado, y sumar muchos términos así es peor. Cuando $n$ es grande, el histograma binomial parece una campana, así que podemos usar una curva normal en su lugar.
La binomial cuenta números enteros, pero la curva normal es continua. La barra del entero $k$ cubre el intervalo de $k - 0.5$ a $k + 0.5$, así que movemos $0.5$ para incluir o excluir la barra completa. Esto se llama corrección por continuidad.
| Pregunta binomial | Pregunta normal (con corrección) |
|---|---|
| $P(X = k)$ | $P(k - 0.5 < X' < k + 0.5)$ |
| $P(X \le k)$ | $P(X' < k + 0.5)$ |
| $P(X < k)$ | $P(X' < k - 0.5)$ |
| $P(X \ge k)$ | $P(X' > k - 0.5)$ |
| $P(X > k)$ | $P(X' > k + 0.5)$ |
| $P(a \le X \le b)$ | $P(a - 0.5 < X' < b + 0.5)$ |
Aquí $X'$ es la variable normal con $\mu = np$ y $\sigma = \sqrt{npq}$.
En una red social de microblogging, la probabilidad de que un mensaje publicado se convierta en "viral" (más de $10.000$ compartidos) es de $0,004$. Un analista de datos…
En una red social de microblogging, la probabilidad de que un mensaje publicado se convierta en "viral" (más de $10.000$ compartidos) es de $0,004$. Un analista de datos estudia una muestra aleatoria de $2.500$ mensajes publicados en un día.
Utilizando la aproximación de la distribución binomial a la normal (con la corrección de continuidad correspondiente), calcula la probabilidad de que en esa muestra:
- a) Haya exactamente $12$ mensajes virales.
- b) Haya entre $8$ y $15$ mensajes virales (ambos inclusive).
Se sabe que el peso de los bebés recién nacidos en una región sigue una distribución normal de media $3,25$ libras y desviación típica $0,6$ libras. Una clínica privada…
Se sabe que el peso de los bebés recién nacidos en una región sigue una distribución normal de media $3,25$ libras y desviación típica $0,6$ libras. Una clínica privada considera que un recién nacido tiene "bajo peso" si su peso es inferior a $2,5$ libras.
- a) Si en un mes nacen $150$ bebés en esa región, ¿cuál es la probabilidad de que más de $35$ de ellos tengan bajo peso? (Emplea la aproximación normal).
- b) ¿Cuál debería ser el peso máximo para que solo el $5\%$ de los bebés con mayor peso de la región fueran considerados en una categoría de "seguimiento especial"?
De vuelta al principio. La puntuación z de $1.5$ de Jayden supera la de $1.4$ de Emma, así que, en relación con sus grupos, a Jayden le fue un poco mejor. Estandarizar convirtió dos puntuaciones de escalas distintas en una misma vara de medir.