Funciones de valor absoluto

Expresa la función $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos, indicando claramente los intervalos correspondientes a cada expresión algebraica.

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x \ge -4 \\ -x - 4 & \text{si } x < -4 \end{cases}$

Escribe su expresión analítica de forma compacta utilizando el valor absoluto.

Simplifica la expresión de la función $f(x) = 2x + |x - 4|$ escribiéndola como una función definida a trozos. A continuación, calcula la tasa de variación media en el intervalo $[2, 6]$.

Determina el dominio y el recorrido de la función $h(x) = |x| + 5$. Justifica tu respuesta basándote en las propiedades del valor absoluto.

Resuelve la ecuación $|2x - 8| = 0$ y explica qué representa geométricamente este resultado respecto a la gráfica de la función $f(x) = |2x - 8|$.

Determina las coordenadas exactas de los puntos de corte con los ejes cartesianos de la función $h(x) = |x - 3| - 5$.

Dada la siguiente gráfica de una función con valor absoluto, deduce su expresión analítica de la forma $y = |x - a|$.

En una simulación de billar, una bola rebota contra la banda situada en el eje de abscisas. La trayectoria de la bola sigue la función $y = 4 - |x - 3|$. Observa la representación y determina analíticamente las coordenadas del punto donde la bola alcanza su máxima separación de la banda y los puntos donde impactaría con el eje X.

Determina las coordenadas del vértice y los puntos de corte con los ejes de la función $f(x) = -|2x - 6| + 8$. ¿Las ramas de esta función se abren hacia las ordenadas positivas o negativas?

Calcula el valor numérico de la función $g(x) = |-x^2 + 4x|$ para los puntos $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ y $x = 5$.

Expresa como una función definida a trozos la función cuadrática con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 25|$.

Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos. Indica en qué intervalo o intervalos la parábola original $y = x^2 - 5x + 6$ ha sido reflejada respecto al eje de abscisas.

El margen de beneficio de una empresa, en miles de dólares, respecto a su objetivo anual se modeliza mediante la función $M(x) = |x^2 - 40x + 300|$, siendo $x$ el número de meses transcurridos. Expresa la función a trozos para identificar en qué periodos la empresa estuvo exactamente en el objetivo, por debajo de él (antes de aplicar el valor absoluto) o por encima.

Dada la función $f(x) = |x^2 - 2x + k|$, determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la gráfica de la función toca al eje de abscisas en un único punto. Para ese valor de $k$, expresa $f(x)$ sin utilizar el valor absoluto.

Expresa la función racional con valor absoluto $f(x) = \left| \frac{2x - 4}{x + 1} \right|$ como una función definida a trozos. A continuación, determina su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.

En un laboratorio, la desviación de la temperatura de una reacción química respecto a la temperatura ideal de $22^\circ\text{C}$ viene dada por la función $D(t) = |2t - 12|$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Expresa $D(t)$ como una función a trozos y determina en qué instante la desviación es nula.

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función con valor absoluto $f(x) = |3x - 2|$ y la función constante $g(x) = 7$.

Una máquina corta varillas de metal con una longitud objetivo de $250\text{ mm}$. La función de error de corte se define como $E(x) = |x - 250|$. Si el control de calidad exige que $E(x) \le 1.5$, plantea la inecuación correspondiente y determina el intervalo de longitudes válidas para las varillas.

El error de altitud de un dron de inspección durante una maniobra se modeliza mediante la suma de dos valores absolutos: $E(t) = |t^2 - 4t + 3| + |t - 2|$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Expresa la función $E(t)$ sin utilizar valores absolutos en el intervalo de tiempo $t \in [1, 3]$.

Halla analíticamente los puntos de intersección de las funciones $f(x) = |x + 1|$ y $g(x) = |2x - 5|$. Sugerencia: analiza los diferentes casos según el signo de las expresiones dentro del valor absoluto.

Halla el dominio de definición de la función irracional $h(x) = \sqrt{8 - |x^2 - 8|}$. Para ello, plantea y resuelve la inecuación con valor absoluto correspondiente.

La siguiente gráfica muestra una función con valor absoluto anidado de la forma $f(x) = ||x| - c|$. Observa los vértices y puntos de corte, deduce el valor de $c$ y escribe la expresión de la función a trozos para el intervalo $x \in [-4, 4]$.

En procesamiento de señales, una onda triangular invertida se puede modelizar con la función $S(t) = A - |B t - C|$. Determina los parámetros $A, B, C > 0$ sabiendo que la señal alcanza su valor máximo de $12\text{ V}$ en el instante $t = 5\text{ s}$, y que cruza el eje de abscisas (valor $0\text{ V}$) en los instantes $t = 2\text{ s}$ y $t = 8\text{ s}$.

La gráfica mostrada corresponde a la función $f(x) = |x^2 + bx + c|$. A partir de los puntos singulares observables (raíces y máximo local), plantea un sistema de ecuaciones y determina los valores de los parámetros $b$ y $c$.