Parámetros de una distribución bidimensional
Marcus anota su práctica durante cinco semanas: las horas que practicó cada semana y los tiros libres que encestó de 20 en la competencia de los viernes. Los puntos de su diagrama de dispersión (scatter plot) suben hacia la derecha. Pero ¿qué tan fuerte es ese patrón y cuánto debe confiar en una predicción para la próxima semana? En esta sección conviertes la gráfica en números que puedes calcular, comparar y usar para predecir.
El punto medio y los parámetros marginales
Cuando tienes datos pareados $(x_i, y_i)$ de $n$ individuos, puedes estudiar cada variable por separado. Estos son los parámetros marginales: la media $\bar{x}$ y la desviación estándar $\sigma_x$ de $X$, y lo mismo para $Y$.
Una nota sobre la notación: aquí dividimos entre $n$, tratando los datos como el grupo completo. Muchos problemas escriben las desviaciones estándar como $\sigma_x, \sigma_y$ y otros como $s_x, s_y$. En esta sección significan lo mismo. (En Estadística AP las versiones muestrales dividen entre $n-1$, pero la correlación $r$ y la pendiente de regresión salen exactamente iguales.)
Dada la siguiente tabla de valores que representa el número de seguidores en una red social en miles ($X$) y los ingresos por publicidad en dólares ($Y$) de 5…
Dada la siguiente tabla de valores que representa el número de seguidores en una red social en miles ($X$) y los ingresos por publicidad en dólares ($Y$) de 5 influencers:
| $X$ (seguidores) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| $Y$ (ingresos) | 100 | 150 | 250 | 300 | 450 |
Calcule las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$.
Un grupo de amigos analiza la relación entre las horas que pasan jugando a un videojuego a la semana ($X$) y la puntuación obtenida en el último torneo ($Y$). Los datos…
Un grupo de amigos analiza la relación entre las horas que pasan jugando a un videojuego a la semana ($X$) y la puntuación obtenida en el último torneo ($Y$). Los datos de cuatro de ellos son: $(2, 150)$, $(4, 300)$, $(6, 450)$ y $(8, 500)$.
Calcule las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de esta distribución bidimensional y represéntelo en un diagrama de dispersión junto con los puntos anteriores.
Un estudio sociológico analiza la relación entre el número de horas semanales que los adolescentes dedican a la lectura por placer ($X$) y su puntuación en un test de…
Un estudio sociológico analiza la relación entre el número de horas semanales que los adolescentes dedican a la lectura por placer ($X$) y su puntuación en un test de comprensión lectora ($Y$). Los datos de una muestra de 5 estudiantes se recogen en la siguiente tabla:
| Horas ($X$) | 2 | 4 | 5 | 8 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|
| Puntuación ($Y$) | 62 | 70 | 75 | 88 | 95 |
- a) Calcule las medias marginales $\bar{x}$ e $\bar{y}$.
- b) Determine las desviaciones típicas marginales $\sigma_x$ y $\sigma_y$.
- c) Represente el centro de gravedad de la distribución en un diagrama de dispersión.
Covarianza
Las medias y las desviaciones estándar describen cada variable por separado. Para medir cómo se mueven $X$ y $Y$ juntas, usa la covarianza.
¿Por qué mide "moverse juntas"? Traza rectas por el punto medio. Un punto en la parte superior derecha (o inferior izquierda) cumple $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) > 0$. Un punto en la parte superior izquierda (o inferior derecha) da un producto negativo. La covarianza es el promedio de esos productos.
La mayoría de los puntos están en los cuadrantes "+", así que $\sigma_{xy} > 0$. El signo te dice la dirección de la relación:
-
$\sigma_{xy} > 0$: $X$ y $Y$ tienden a aumentar juntas.
-
$\sigma_{xy} < 0$: cuando una aumenta, la otra tiende a disminuir.
-
$\sigma_{xy} \approx 0$: no hay tendencia lineal.
Indique, sin realizar cálculos, qué signo espera que tenga la covarianza $\sigma_{xy}$ en las siguientes situaciones. Justifique su respuesta basándose en la relación…
Indique, sin realizar cálculos, qué signo espera que tenga la covarianza $\sigma_{xy}$ en las siguientes situaciones. Justifique su respuesta basándose en la relación entre las variables:
- a) $X$: Velocidad de un carro, $Y$: Tiempo tardado en recorrer una distancia fija.
- b) $X$: Horas de estudio de un idioma, $Y$: Número de palabras conocidas en ese idioma.
- c) $X$: Talla de calzado de una persona, $Y$: Su calificación en el examen de Historia.
En un estudio sobre el rendimiento físico, se mide el número de pulsaciones en reposo ($X$) y el tiempo en segundos que se tarda en recuperar el ritmo normal tras un…
En un estudio sobre el rendimiento físico, se mide el número de pulsaciones en reposo ($X$) y el tiempo en segundos que se tarda en recuperar el ritmo normal tras un esfuerzo ($Y$). Se sabe que la suma de los productos de las variables es $\sum x_i y_i = 15200$, el número de individuos es $n = 10$, y las medias son $\bar{x} = 70$ y $\bar{y} = 20$.
Utilice la fórmula simplificada $\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{n} - \bar{x} \bar{y}$ para calcular la covarianza. ¿Qué indica el signo del resultado sobre la relación entre las pulsaciones y el tiempo de recuperación?
Una plataforma de streaming quiere comprobar si existe relación entre la duración de una serie (en número de temporadas, $X$) y la calificación media de los usuarios…
Una plataforma de streaming quiere comprobar si existe relación entre la duración de una serie (en número de temporadas, $X$) y la calificación media de los usuarios (sobre 10 puntos, $Y$). Se dispone de los siguientes parámetros tras analizar 50 series:
$\sum x_i = 150 \quad \sum y_i = 325 \quad \sum x_i^2 = 580 \quad \sum y_i^2 = 2200 \quad \sum x_i y_i = 940$
- a) Calcule la covarianza $\sigma_{xy}$.
- b) Interprete el resultado obtenido en el contexto del problema: ¿tienden las series más largas a tener mejores o peores calificaciones?
Cambio de unidades: qué pasa con los parámetros
¿Qué pasa si Marcus cambia de horas a minutos, o si un maestro suma 5 puntos extra a todos los exámenes? Cada variable se transforma con un cambio lineal $X' = aX + b$ y $Y' = cY + d$.
Ahora la correlación. Como $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x \sigma_y}$, en los datos transformados el factor $a c$ del numerador se divide entre $|a||c|$ del denominador. Por eso $r$ no cambia cuando $a$ y $c$ son positivos, y solo cambia de signo si exactamente uno de $a, c$ es negativo.
| Transformación | Medias | Desv. estándar | Covarianza | $r$ |
|---|---|---|---|---|
| Sumar una constante | se desplazan | igual | igual | igual |
| Multiplicar por $k > 0$ | $\times k$ | $\times k$ | $\times k$ (por esa variable) | igual |
Se sabe que la relación entre el gasto en calefacción ($Y$, en dólares) y la temperatura media exterior ($X$, en $^\circ C$) durante el invierno sigue una distribución…
Se sabe que la relación entre el gasto en calefacción ($Y$, en dólares) y la temperatura media exterior ($X$, en $^\circ C$) durante el invierno sigue una distribución bidimensional con coeficiente de correlación $r = -0,85$. La temperatura media ha sido de $8$ $^\circ C$ con una desviación típica de $3$ $^\circ C$, mientras que el gasto medio ha sido de $\$150$ con una varianza de $400\,\$^2$.
Si para el próximo año se prevé un cambio climático que hará que todas las temperaturas suban $2$ $^\circ C$ y el precio del gas se incremente de forma que todos los gastos se multipliquen por $1,2$:
- a) ¿Cómo afectarán estos cambios al nuevo coeficiente de correlación? Justifica tu respuesta sin realizar cálculos exhaustivos.
- b) Calcula la nueva covarianza entre la temperatura y el gasto tras aplicar ambas transformaciones.
- c) Halla la nueva recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
El coeficiente de correlación $r$
Cómo leerlo (guía aproximada):
-
$r$ cercano a $1$: relación lineal positiva fuerte.
-
$r$ cercano a $-1$: relación lineal negativa fuerte.
-
$r$ cercano a $0$: relación lineal débil o inexistente.
-
$r = \pm 1$ exactamente: todos los puntos están sobre una recta.
Relacione cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal ($r$) con su nube de puntos correspondiente, razonando brevemente su respuesta:…
Relacione cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal ($r$) con su nube de puntos correspondiente, razonando brevemente su respuesta:
-
$r = 0,95$
-
$r = -0,80$
-
$r = 0,05$
Una nutricionista estudia la relación entre los gramos de azúcar ($X$) y las kilocalorías ($Y$) de cinco tipos de barras energéticas. Ha obtenido los siguientes…
Una nutricionista estudia la relación entre los gramos de azúcar ($X$) y las kilocalorías ($Y$) de cinco tipos de barras energéticas. Ha obtenido los siguientes parámetros marginales:
-
Media de azúcar: $\bar{x} = 12$ g
-
Media de energía: $\bar{y} = 210$ kcal
-
Desviaciones típicas: $\sigma_x = 3$ g y $\sigma_y = 25$ kcal
-
Covarianza: $\sigma_{xy} = 60$
Calcule el coeficiente de correlación lineal ($r$) e interprete si existe una relación fuerte entre ambas variables.
Observe la siguiente nube de puntos que representa la relación entre la inversión en publicidad de 8 pequeñas empresas y sus ganancias mensuales (ambas en miles de…
Observe la siguiente nube de puntos que representa la relación entre la inversión en publicidad de 8 pequeñas empresas y sus ganancias mensuales (ambas en miles de dólares).
- a) Justifique, sin realizar cálculos, si el signo de la covarianza será positivo o negativo.
- b) Elija razonadamente cuál de los siguientes valores podría ser el coeficiente de correlación de Pearson ($r$): $-0,85$; $0,12$; $0,91$; $1,5$.
- c) ¿Qué ocurriría con el valor de $r$ si decidiéramos expresar los datos en dólares en lugar de en miles de dólares?
Coeficiente de determinación
Al revés: si conoces $r^2$, entonces $r = \pm\sqrt{r^2}$, y eliges el signo según la dirección de la relación (el signo de $\sigma_{xy}$ o de la pendiente).
Si el coeficiente de determinación de una distribución bidimensional es $R^2 = 0,81$, calcule el valor del coeficiente de correlación $r$ (suponiendo que la relación es…
Si el coeficiente de determinación de una distribución bidimensional es $R^2 = 0,81$, calcule el valor del coeficiente de correlación $r$ (suponiendo que la relación es directa) y explique qué porcentaje de la variación de la variable $Y$ queda explicada por la variable $X$.
En un entrenamiento de básquetbol, se registra la distancia a la canasta en pies ($X$) y el número de canastas encestadas de cada 10 intentos ($Y$) para un grupo de…
En un entrenamiento de básquetbol, se registra la distancia a la canasta en pies ($X$) y el número de canastas encestadas de cada 10 intentos ($Y$) para un grupo de jugadores. Los datos resumen son:
$\bar{x} = 4,5 \text{ m} \quad \sigma_x = 1,2 \text{ m}$
$\bar{y} = 6 \text{ aciertos} \quad \sigma_y = 1,8 \text{ aciertos}$
$\sigma_{xy} = -1,944$
- a) Calcule el coeficiente de correlación de Pearson e interprete su fuerza y sentido.
- b) Calcule el coeficiente de determinación $r^2$ y explique qué porcentaje de la variación de los aciertos queda explicado por la distancia a la canasta.
Una plataforma de streaming analiza la relación entre el número de seguidores de un "streamer" (variable $X$, en miles) y los ingresos mensuales por suscripciones…
Una plataforma de streaming analiza la relación entre el número de seguidores de un "streamer" (variable $X$, en miles) y los ingresos mensuales por suscripciones (variable $Y$, en dólares). Se conocen los siguientes datos sumatorios tras estudiar a $20$ creadores de contenido:
$\sum x_i = 400$
$\sum y_i = 60.000$
$\sum x_i^2 = 12.000$
$\sum y_i^2 = 250.000.000$
$\sum x_i y_i = 1.500.000$
Calcula:
- a) La covarianza $s_{xy}$ y las desviaciones típicas marginales $s_x$ y $s_y$.
- b) El coeficiente de correlación lineal. ¿Qué porcentaje de la variación de los ingresos queda explicado por el número de seguidores?
- c) Un streamer decide invertir en publicidad para aumentar su base de seguidores de $25.000$ a $35.000$. Según el modelo lineal, ¿en cuánto se estima que incrementarán sus ingresos mensuales?
Las dos rectas de regresión
La recta de mejor ajuste (line of best fit) te permite predecir. En realidad hay dos, y cuál uses depende de lo que quieras predecir.
Al revés. Si conoces una pendiente y una varianza, puedes recuperar la covarianza: $\sigma_{xy} = m_{yx}\,\sigma_x^2$ (o $m_{xy}\,\sigma_y^2$). Luego $r = \dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}$.
¿Qué tan confiable es una predicción? Es más confiable cuando $|r|$ está cerca de $1$ y cuando $x$ está dentro del rango de los datos. Predecir muy fuera de ese rango (extrapolación) es arriesgado, porque el patrón podría no continuar.
De vuelta con Marcus: el patrón es fuerte ($r \approx 0.92$) y alrededor del $85\%$ de la variación en sus tiros libres se explica por sus horas de práctica. Cada hora extra de práctica se asocia con unos $1.6$ tiros más encestados, y $4.5$ horas predicen unos $11$ encestados.
Se ha estudiado la relación entre el gasto semanal en alimentación de una familia ($X$) y sus ingresos semanales ($Y$), ambos en dólares. Se han obtenido los siguientes…
Se ha estudiado la relación entre el gasto semanal en alimentación de una familia ($X$) y sus ingresos semanales ($Y$), ambos en dólares. Se han obtenido los siguientes datos:
$\bar{x} = 180, \quad \sigma_x^2 = 900, \quad \bar{y} = 600, \quad \sigma_y^2 = 2500, \quad \sigma_{xy} = 1200$
- a) Halle la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
- b) Si una familia gasta $\$250$ en alimentación, ¿cuáles serían sus ingresos estimados según el modelo?
- c) ¿Es fiable esta predicción? Justifique su respuesta calculando el coeficiente de correlación.
Se analiza la relación entre el precio de un boleto de avión ($X$) y la antelación con la que se compra en días ($Y$). Se sabe que la correlación es $r = -0,82$. Si las…
Se analiza la relación entre el precio de un boleto de avión ($X$) y la antelación con la que se compra en días ($Y$). Se sabe que la correlación es $r = -0,82$.
Si las desviaciones típicas son $\sigma_x = 45 \text{ \$}$ y $\sigma_y = 12 \text{ días}$, y las medias son $\bar{x} = 150 \text{ \$}$ y $\bar{y} = 25 \text{ días}$:
- a) Calcule la covarianza de la distribución.
- b) Calcule la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ para estimar el precio del boleto en función de los días de antelación.
- c) ¿Qué precio se estimaría para un boleto comprado con 40 días de antelación?
En una muestra de 100 viviendas, se estudia la superficie en $m^2$ ($X$) y el consumo eléctrico mensual en $kWh$ ($Y$). Se conoce la siguiente información: El centro de…
En una muestra de 100 viviendas, se estudia la superficie en $m^2$ ($X$) y el consumo eléctrico mensual en $kWh$ ($Y$). Se conoce la siguiente información:
-
El centro de gravedad es $G(90, 350)$.
-
La varianza de la superficie es $400$.
-
La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,6x + 296$.
- a) ¿Cuál es el valor de la covarianza $\sigma_{xy}$?
- b) Sabiendo que la desviación típica del consumo es $\sigma_y = 15$, calcule el coeficiente de correlación.
- c) Si una vivienda tiene una superficie de $120 \text{ m}^2$, calcule el residuo (error de predicción) si el consumo real observado fue de $375 \text{ kWh}$.
Cómo leer $r$ y el punto medio a partir de las dos rectas
A veces un problema te da las dos ecuaciones y nada más. Aun así puedes obtener mucha información.
Un agricultor observa que la producción de su cosecha de naranjas depende de las horas de sol recibidas durante la etapa de maduración. Las rectas de regresión obtenidas…
Un agricultor observa que la producción de su cosecha de naranjas depende de las horas de sol recibidas durante la etapa de maduración. Las rectas de regresión obtenidas de datos históricos son:
Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 12$
Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,92y - 4$
- a) Determine el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribución.
- b) Calcule el coeficiente de correlación de Pearson a partir de las pendientes de las dos rectas de regresión.
En un estudio sobre el mercado inmobiliario en una ciudad costera, se han obtenido las ecuaciones de las dos rectas de regresión que relacionan el precio de venta de los…
En un estudio sobre el mercado inmobiliario en una ciudad costera, se han obtenido las ecuaciones de las dos rectas de regresión que relacionan el precio de venta de los apartamentos, $Y$ (en cientos de miles de dólares), con su superficie, $X$ (en pies cuadrados):
-
Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,012x + 0,5$
-
Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 65y - 20$
Determina razonadamente:
- a) El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.
- b) El coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$, e interpreta su signo y su fuerza.
- c) Si un apartamento tiene una superficie de $120$ $m^2$, ¿cuál sería su precio estimado? ¿Es esta estimación confiable? Justifica tu respuesta utilizando el coeficiente de determinación.
Casos especiales y el ángulo entre las rectas
Como ambas pendientes salen de la misma covarianza, conviene conocer algunos datos sobre las rectas.
El último dato es la clave de una pregunta común. Dibujada en el mismo plano $xy$, la recta de $X$ sobre $Y$ tiene pendiente $\dfrac{1}{m_{xy}} = \dfrac{\sigma_y^2}{\sigma_{xy}}$, no $m_{xy}$. Para que las rectas fueran perpendiculares se necesitaría $\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\cdot\dfrac{\sigma_y^2}{\sigma_{xy}} = \dfrac{\sigma_y^2}{\sigma_x^2} = -1$, lo cual es imposible porque ambas son positivas. La única salida es una recta horizontal y una vertical, lo que significa $\sigma_{xy} = 0$ y $r = 0$.
El ángulo $\theta$ entre dos rectas con pendientes $m_1$ y $m_2$ cumple
$$\tan\theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|$$Mueve $a$ en la gráfica de abajo. Hace el papel de $r$ para datos estandarizados (ambas dispersiones iguales a 1): las rectas son $y = ax$ y $x = ay$, es decir, $y = x/a$.
Dada una distribución bidimensional, se ha comprobado que las desviaciones típicas de ambas variables son iguales ($s_x = s_y$). a) Demuestre algebraicamente que, en…
Dada una distribución bidimensional, se ha comprobado que las desviaciones típicas de ambas variables son iguales ($s_x = s_y$).
- a) Demuestre algebraicamente que, en este caso, el coeficiente de correlación lineal coincide con la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
- b) Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,6x + 2$, ¿cuál es el coeficiente de determinación?
- c) ¿Cuál sería la pendiente de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ en estas condiciones?
Un sociólogo estudia la relación entre la edad de emancipación de los jóvenes ($X$) y el nivel de renta per cápita de su región ($Y$). Al representar la nube de puntos,…
Un sociólogo estudia la relación entre la edad de emancipación de los jóvenes ($X$) y el nivel de renta per cápita de su región ($Y$). Al representar la nube de puntos, observa que el centro de gravedad es $G(28, 1400)$. Una de las rectas de regresión es $y = -50x + 2800$. Sabiendo que la varianza de la edad es $s_x^2 = 9$ y la varianza de la renta es $s_y^2 = 360.000$:
- a) Calcula la covarianza $s_{xy}$ y el coeficiente de correlación lineal.
- b) Obtén la ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.
- c) Determina el ángulo que forman ambas rectas de regresión. ¿Permite este ángulo, por sí solo, afirmar que la correlación es fuerte? Justifícalo comparándolo con el valor de $r$.
Dos variables $X$ e $Y$ tienen desviaciones típicas marginales $s_x = 4$ y $s_y = 6$. Se sabe que las dos rectas de regresión son perpendiculares entre sí. a) ¿Cuál es…
Dos variables $X$ e $Y$ tienen desviaciones típicas marginales $s_x = 4$ y $s_y = 6$. Se sabe que las dos rectas de regresión son perpendiculares entre sí.
- a) ¿Cuál es el valor de la covarianza $s_{xy}$ y del coeficiente de correlación $r$?
- b) ¿Qué implica este resultado para la capacidad predictiva del modelo lineal?
- c) Si añadiéramos un nuevo punto $(x, y)$ a la distribución que coincidiera exactamente con el centro de gravedad, ¿cambiaría el valor del coeficiente de correlación? Razone la respuesta.
Tablas de frecuencias conjuntas y datos agrupados
Cuando muchos individuos comparten los mismos valores, los datos se presentan como una tabla de doble entrada (two-way table) de frecuencias conjuntas $n_{ij}$: cuántos individuos tienen $X = x_i$ y $Y = y_j$.
-
Los totales de las filas forman la distribución marginal de $X$; los totales de las columnas forman la distribución marginal de $Y$.
-
Ambos conjuntos de totales suman $N$, el total general. Si falta un número, réstalo del total de su fila o columna.
-
Si las variables están agrupadas en intervalos, usa los puntos medios de las clases (el punto medio de $[0, 5)$ es $2.5$).
En una academia de idiomas se ha observado la relación entre las horas semanales de estudio personal ($X$) y la puntuación en el examen final ($Y$) de un grupo de…
En una academia de idiomas se ha observado la relación entre las horas semanales de estudio personal ($X$) y la puntuación en el examen final ($Y$) de un grupo de alumnos. La tabla de frecuencias conjuntas es la siguiente, donde se han perdido tres valores ($a, b, c$):
| $X \setminus Y$ | $40$ | $60$ | $80$ | Total $n_i$ |
|---|---|---|---|---|
| $2$ | $4$ | $2$ | $0$ | $a$ |
| $5$ | $1$ | $b$ | $3$ | $10$ |
| $8$ | $0$ | $1$ | $5$ | $c$ |
| Total $n_j$ | $5$ | $9$ | $8$ | $22$ |
- a) Calcula los valores de $a, b$ y $c$.
- b) Determina la distribución marginal de la variable $Y$ y calcula su media y su varianza.
- c) Calcula la media de la puntuación en el examen ($Y$) condicionada a que los alumnos estudian $5$ horas semanales ($X=5$).
Se ha realizado una encuesta sobre el número de libros leídos al año ($X$) y la puntuación en un test de comprensión lectora ($Y$). Los resultados se agrupan en la…
Se ha realizado una encuesta sobre el número de libros leídos al año ($X$) y la puntuación en un test de comprensión lectora ($Y$). Los resultados se agrupan en la siguiente tabla:
| $X \setminus Y$ | $[0, 20)$ | $[20, 40)$ | $[40, 60)$ |
|---|---|---|---|
| $[0, 5)$ | $8$ | $2$ | $0$ |
| $[5, 10)$ | $1$ | $12$ | $3$ |
| $[10, 15)$ | $0$ | $4$ | $10$ |
Utilizando las marcas de clase para ambas variables:
- a) Calcule el centro de gravedad de la distribución.
- b) Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson.
- c) ¿Cuál de las dos variables presenta una mayor dispersión relativa? Utilice el coeficiente de variación para justificar su respuesta.