Funciones de densidad continuas y la distribución normal

Se define la función de densidad de una variable aleatoria continua $X$ que representa el tiempo de espera (en minutos) para que empiece una partida en un servidor de videojuegos:

$f(x) = \begin{cases} k & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$

Determina el valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad válida y representa gráficamente la función.

La duración de la batería de un nuevo modelo de auriculares inalámbricos sigue una distribución uniforme entre las 4 y las 10 horas. Su función de densidad es constante en ese intervalo: $f(x) = \frac{1}{6}$. Calcula la probabilidad de que la batería dure entre 5 y 8 horas, interpretándola como el área de un rectángulo.

Se está estudiando el tiempo de reacción, en segundos, de un grupo de adolescentes ante un estímulo visual en un videojuego. La función de densidad de esta variable continua viene dada por la siguiente expresión:

$f(x) = \begin{cases} kx & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$

Determina:

1. a) El valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad válida.
2. b) La probabilidad de que un jugador elegido al azar tenga un tiempo de reacción superior a $1,5$ segundos.
3. c) La probabilidad de que el tiempo de reacción esté comprendido exactamente entre $0,5$ y $1$ segundo.

El tiempo de espera, en minutos, hasta que se descarga una actualización en una consola sigue una distribución continua cuya función de densidad tiene forma de trapecio. La función está definida entre $0$ y $10$ minutos. Entre los minutos $0$ y $4$, la función es constante con un valor $h$, y entre los minutos $4$ y $10$ decrece linealmente hasta llegar a $0$.

1. a) Calcula el valor de $h$ para que sea una función de densidad.
2. b) Calcula la probabilidad de que la actualización tarde en descargarse menos de $6$ minutos.
3. c) Si un usuario lleva esperando más de $4$ minutos, ¿qué probabilidad hay de que la descarga finalice antes del minuto $8$?

Sea $f(x)$ una función definida a trozos de la siguiente forma:

$f(x) = \begin{cases} k \cdot x & \text{si } 0 \le x < 2 \\ k \cdot (4 - x) & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$

Determine, de forma razonada, el valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad de una variable aleatoria continua $X$. Una vez hallado $k$, calcule la probabilidad de que la variable tome un valor comprendido en el intervalo $[1, 3]$ y represéntelo gráficamente.

Dada la función de densidad $f(x) = \frac{1}{8}(x-1)$ definida para el intervalo $x \in [1, 5]$ y $f(x)=0$ en el resto:

1. a) Comprueba que el área total bajo la curva es efectivamente $1$.
2. b) Halla un valor $M$ (mediana) tal que $P(X \le M) = 0,5$.
3. c) Calcula la probabilidad condicionada $P(X > 4 | X > 2)$.

Dada una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, utiliza la tabla de probabilidades para hallar los siguientes valores de forma directa:

• a) $P(Z \le 0,45)$

• b) $P(Z \le 1,2)$

• c) $P(Z \le 2,38)$

Utiliza la tabla de la distribución $N(0, 1)$ en sentido inverso para encontrar el valor de la constante $k$ en los siguientes casos:

• a) $P(Z \le k) = 0,8413$

• b) $P(Z \le k) = 0,9750$

• c) $P(Z \le k) = 0,5000$

En una variable $Z \sim N(0, 1)$, aplica las propiedades de la curva normal (simetría y área total) para calcular las siguientes probabilidades:

• a) $P(Z > 1,52)$

• b) $P(Z < -0,84)$

• c) $P(Z \ge -1,15)$

Calcula la probabilidad de que la variable normal estándar $Z$ tome un valor comprendido en el intervalo $(0,62 \le Z \le 1,96)$. Recuerda que para calcular el área de un intervalo debes restar las áreas acumuladas: $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$.

Dada una variable aleatoria $Z$ que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$, utiliza las propiedades de simetría y el área total para calcular las siguientes probabilidades:

1. a) $P(Z < 1,42)$
2. b) $P(Z > -0,75)$
3. c) $P(1,12 < Z < 2,05)$
4. d) $P(-1,5 < Z < 1,5)$
5. e) Halla el valor de $k$ tal que $P(Z < k) = 0,8830$

Las puntuaciones de un examen de nivel de inglés para estudiantes de escuela secundaria siguen una distribución normal de media $\mu = 75$ y desviación típica $\sigma = 8$. Tipifica los siguientes valores de la variable $X$ para encontrar su valor correspondiente en $Z$:

• a) Una puntuación de $83$.

• b) Una puntuación de $67$.

• c) Una puntuación de $75$.

El peso de las bolsas de papas fritas producidas por una máquina sigue una distribución $N(150, 5)$ onzas. Calcula la probabilidad de que una bolsa elegida al azar pese menos de $160$ onzas. Para ello, tipifica primero la variable y busca el resultado en la tabla.

La duración de la batería de un modelo específico de auriculares inalámbricos sigue una distribución normal con una media de $30$ horas y una desviación típica de $4$ horas.

1. a) ¿Qué porcentaje de auriculares tiene una batería que dura entre $26$ y $34$ horas?
2. b) Si el fabricante garantiza que los auriculares duran al menos $22$ horas, ¿qué probabilidad hay de encontrar unos auriculares que no cumplan la garantía?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que la batería dure más de $35$ horas?

Las puntuaciones obtenidas por los estudiantes de una escuela secundaria en el examen de admisión a la universidad (SAT) siguen una distribución normal $N(6,8 ; 1,2)$.

1. a) Si para acceder a una carrera muy demandada se exige una puntuación superior a $8,5$, ¿qué porcentaje de estudiantes de la escuela tendría opción a entrar?
2. b) La escuela decide otorgar una mención de honor al $5 \%$ de los estudiantes con mejores notas. ¿A partir de qué puntuación se recibe dicha mención?
3. c) ¿Qué probabilidad hay de que un estudiante tenga una nota inferior a $5$?

En un estudio sobre el gasto mensual en entretenimiento de los jóvenes de una ciudad, se ha determinado que sigue una distribución normal con media $\$80$ y desviación típica $\$15$.

1. a) Calcula el intervalo centrado en la media que comprende al $95 \%$ de los jóvenes.
2. b) Si seleccionamos a un joven al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su gasto mensual no se aleje de la media más de $\$10$?
3. c) Si en la ciudad hay $5.000$ jóvenes, ¿cuántos de ellos se estima que gastan más de $\$110$ al mes?

Un agricultor clasifica las naranjas de su cosecha por su diámetro. El diámetro sigue una distribución normal $N(8 ; 0,6)$ en pulgadas.

1. a) Las naranjas con un diámetro inferior a $7$ pulgadas se destinan a la fabricación de jugo. ¿Qué probabilidad tiene una naranja de acabar en la fábrica de jugo?
2. b) Las naranjas "Extra" son aquellas cuyo diámetro está entre $8,5$ y $9,5$ pulgadas. ¿Qué porcentaje de la cosecha se etiqueta como "Extra"?
3. c) Si el agricultor quiere separar el $10 \%$ de las naranjas más grandes para una exportación de lujo, ¿cuál debe ser el diámetro mínimo de estas naranjas?

En un certamen de jóvenes talentos musicales, las puntuaciones siguen una distribución normal de media $72$ puntos. Se sabe que para obtener una "Mención de Honor" se requiere una puntuación tal que solo el $10 \%$ de los participantes la alcance. Si la puntuación mínima para recibir dicha mención es de $84,8$ puntos, ¿cuál es la desviación típica de las puntuaciones? Si se presentan $500$ participantes, ¿cuántos se espera que tengan una puntuación inferior a $60$ puntos?

Se ha comprobado que el peso de los paquetes de café de $500$ onzas que salen de una envasadora sigue una distribución normal $N(505, 10)$. El control de calidad rechaza aquellos paquetes que pesen menos de $490$ onzas o más de $525$ onzas.

1. a) ¿Qué porcentaje de paquetes es rechazado por la fábrica?
2. b) Si el encargado decide ajustar la máquina para que el peso medio sea $\mu$, pero manteniendo la desviación típica $\sigma = 10$, ¿qué valor debería tener $\mu$ para que el riesgo de que un paquete pese menos de $500$ onzas sea solo del $2,5 \%$?

En una plataforma de streaming, el tiempo que los usuarios ven una serie antes de abandonarla sigue una distribución normal. Se sabe que el tiempo medio es de $45$ minutos. Si el $25 \%$ de los usuarios ven más de $60$ minutos, calcula la desviación típica. Determina el intervalo simétrico respecto a la media $(45 - d, 45 + d)$ que contenga al $95 \%$ de los tiempos de visualización de los usuarios.

Una empresa de mensajería ha analizado el peso de los paquetes que envía diariamente. Se ha comprobado que el peso sigue una distribución normal. Sabemos que el $15,87 \%$ de los paquetes pesan menos de $2$ libras y que el $2,28 \%$ de los paquetes pesan más de $8$ libras.

1. a) Determina la media y la desviación típica del peso de los paquetes.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido al azar pese entre $3$ y $6$ libras?

El tiempo de uso diario de una aplicación de mapas en el celular de los repartidores de una ciudad sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el $15,87 \%$ de los repartidores la utiliza menos de $40$ minutos al día, mientras que el $2,28 \%$ la utiliza más de $80$ minutos. Calcule los parámetros $\mu$ y $\sigma$ de esta distribución. ¿Cuál es la probabilidad de que un repartidor elegido al azar use la aplicación entre $50$ y $70$ minutos?

La duración de las baterías de un modelo de auriculares inalámbricos sigue una distribución normal con una media de $30$ horas. Si se conoce que la probabilidad de que una batería dure más de $34$ horas es la misma que la probabilidad de que dure menos de $26$ horas, y ambas valen $0,1587$, calcula la varianza de la distribución. Si un usuario necesita que los auriculares funcionen durante un viaje de $33$ horas sin recargar, ¿qué probabilidad tiene de que la batería se agote antes de llegar a su destino?

Una empresa de fabricación de componentes electrónicos afirma que el $4 \%$ de sus pantallas táctiles presentan algún micro-defecto de fábrica. Si un centro educativo adquiere un lote de $250$ pantallas para sus aulas, calcule la probabilidad de que:

1. a) Haya exactamente $12$ pantallas defectuosas.
2. b) Haya entre $8$ y $15$ pantallas defectuosas (ambos inclusive).

Nota: Justifique si es posible realizar una aproximación de la distribución binomial a la normal y aplique la corrección de continuidad de Yates.