Rectas paralelas y perpendiculares
Mira el mapa de una ciudad con calles en cuadrícula. Las avenidas van una al lado de la otra y nunca se cruzan. Las calles transversales cortan cada avenida en ángulo recto. Y luego hay un bulevar diagonal que atraviesa todo con un ángulo cualquiera. ¿Puedes decir cuáles calles son paralelas, cuáles son perpendiculares y cuáles ninguna de las dos, sin dibujar el mapa? Solo necesitas un número de cada calle: su pendiente (slope).
La pendiente de una recta
La pendiente es solo una razón, así que no importa cuáles dos puntos de la recta elijas. En algunos problemas aparece la palabra gradiente en lugar de pendiente. Es el mismo número.
Haz ahora la parte de este ejercicio sobre la pendiente. Su última parte ("deduce la pendiente perpendicular") tendrá sentido después de las dos secciones siguientes.
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 8)$, y deduzca a partir de ella cuál sería la pendiente de cualquier recta perpendicular a la…
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 8)$, y deduzca a partir de ella cuál sería la pendiente de cualquier recta perpendicular a la misma.
Rectas paralelas
Halle la ecuación explícita de la recta que es paralela a $y = -3x + 2$ y que pasa por el punto $P(0, 5)$.
Halle la ecuación explícita de la recta que es paralela a $y = -3x + 2$ y que pasa por el punto $P(0, 5)$.
Rectas perpendiculares
Mueve el control deslizante: las dos rectas siguen formando un ángulo recto sin importar qué tan inclinada sea la primera.
Escriba la pendiente de una recta que sea paralela y la pendiente de una recta que sea perpendicular a la recta de ecuación $y = 4x - 7$.
Escriba la pendiente de una recta que sea paralela y la pendiente de una recta que sea perpendicular a la recta de ecuación $y = 4x - 7$.
Dadas las rectas $r: y = -2x + 5$ y $s: y = \frac{1}{2}x - 3$, indique razonadamente si son paralelas, perpendiculares o secantes no perpendiculares.
Dadas las rectas $r: y = -2x + 5$ y $s: y = \frac{1}{2}x - 3$, indique razonadamente si son paralelas, perpendiculares o secantes no perpendiculares.
Rectas que pasan por un punto dado
Casi siempre conoces la pendiente y un punto de la recta, y necesitas su ecuación.
Para hallar una recta paralela a una recta dada, copia su pendiente. Para hallar una perpendicular, usa el recíproco negativo. Luego sustituye el punto.
Determine la ecuación punto-pendiente de la recta perpendicular a $y = \frac{2}{5}x - 1$ que pasa por el punto $A(4, 2)$.
Determine la ecuación punto-pendiente de la recta perpendicular a $y = \frac{2}{5}x - 1$ que pasa por el punto $A(4, 2)$.
Un haz láser viaja a lo largo de la recta $y = 3x - 2$. En el punto exacto donde el láser cruza el eje de ordenadas (eje Y), se coloca un espejo perpendicular a la…
Un haz láser viaja a lo largo de la recta $y = 3x - 2$. En el punto exacto donde el láser cruza el eje de ordenadas (eje Y), se coloca un espejo perpendicular a la trayectoria del rayo. Determine la ecuación explícita de la recta que representa al espejo.
Forma general y pendiente
Muchos problemas dan las rectas como $Ax + By + C = 0$. Esto se llama forma general. Es muy parecida a la forma estándar $Ax + By = C$ de Matemáticas Integradas I: la única diferencia es que la constante $C$ está en el lado izquierdo con el signo opuesto. En ambas formas puedes leer la pendiente directamente de los coeficientes.
Rectas horizontales y verticales. Una recta horizontal tiene $A = 0$ (por ejemplo $y - 2 = 0$), así que su pendiente es $0$. Una recta vertical tiene $B = 0$ (por ejemplo $x - 4 = 0$), así que su pendiente es indefinida. Todas las rectas horizontales son paralelas entre sí, todas las rectas verticales son paralelas entre sí, y toda recta vertical es perpendicular a toda recta horizontal.
Escriba la ecuación general de la recta que es paralela al eje de abscisas (eje X) y pasa por el punto $Q(-3, 8)$.
Escriba la ecuación general de la recta que es paralela al eje de abscisas (eje X) y pasa por el punto $Q(-3, 8)$.
Compruebe analíticamente si las rectas dadas en forma general $r: 3x - 6y + 2 = 0$ y $s: x - 2y - 5 = 0$ son paralelas.
Compruebe analíticamente si las rectas dadas en forma general $r: 3x - 6y + 2 = 0$ y $s: x - 2y - 5 = 0$ son paralelas.
Calcule el valor del parámetro $k$ para que la recta $kx - 3y + 6 = 0$ sea paralela a la recta que une los puntos $A(1, 2)$ y $B(4, 11)$.
Calcule el valor del parámetro $k$ para que la recta $kx - 3y + 6 = 0$ sea paralela a la recta que une los puntos $A(1, 2)$ y $B(4, 11)$.
Paralelas y perpendiculares en forma general
No tienes que despejar $y$ cada vez. Usa las pendientes $-\frac{A_1}{B_1}$ y $-\frac{A_2}{B_2}$ y simplifica.
Las dos rectas de arriba son $x + 2y - 3 = 0$ y $2x - y + 7 = 0$. Comprueba el criterio: $1\cdot 2 + 2\cdot(-1) = 0$. Son perpendiculares.
Determine el valor del parámetro $m$ para que las rectas $r: mx + 4y - 1 = 0$ y $s: 2x - 5y + 8 = 0$ sean perpendiculares.
Determine el valor del parámetro $m$ para que las rectas $r: mx + 4y - 1 = 0$ y $s: 2x - 5y + 8 = 0$ sean perpendiculares.
Los lados contiguos de una parcela rectangular se asientan sobre las rectas $r: 2x - 4y + 7 = 0$ y $s: 4x + 2y - 3 = 0$. Compruebe analíticamente que los lados forman un…
Los lados contiguos de una parcela rectangular se asientan sobre las rectas $r: 2x - 4y + 7 = 0$ y $s: 4x + 2y - 3 = 0$. Compruebe analíticamente que los lados forman un ángulo recto. Después, halle la ecuación de una recta paralela a $r$ que pase por el origen de coordenadas.
En el plano de una ciudad, la calle Alcalá sigue la trayectoria de la recta $2x + 5y - 10 = 0$. La calle Goya es perpendicular a ella y pasa por una plaza situada en las…
En el plano de una ciudad, la calle Alcalá sigue la trayectoria de la recta $2x + 5y - 10 = 0$. La calle Goya es perpendicular a ella y pasa por una plaza situada en las coordenadas $P(-2, 3)$. Halle la ecuación general de la calle Goya.
Vectores de dirección
Un vector de dirección $\vec v = \langle a, b\rangle$ de una recta es cualquier vector distinto de cero que apunta a lo largo de la recta. También puedes verlo escrito $(a, b)$. Moverte según $\vec v$ significa avanzar $a$ unidades a la derecha y $b$ unidades hacia arriba, así que la pendiente es $\dfrac{b}{a}$.
Un vector director de la recta $r$ es $\vec{v} = (3, -1)$. Escriba un vector director para una recta que sea paralela a $r$ y otro para una recta que sea perpendicular a…
Un vector director de la recta $r$ es $\vec{v} = (3, -1)$. Escriba un vector director para una recta que sea paralela a $r$ y otro para una recta que sea perpendicular a $r$.
Ecuaciones paramétricas y simétricas
Una recta que pasa por $P(x_0, y_0)$ con vector de dirección $\langle a, b\rangle$ se puede describir mediante un punto en movimiento.
Dos aviones vuelan a la misma altitud. La ruta del primer avión viene dada por las ecuaciones paramétricas $x = 1 + 5t$, $y = -2 - 3t$. La ruta del segundo avión es…
Dos aviones vuelan a la misma altitud. La ruta del primer avión viene dada por las ecuaciones paramétricas $x = 1 + 5t$, $y = -2 - 3t$. La ruta del segundo avión es paralela a la del primero y pasa por la torre de control $T(0, 0)$. Escriba las ecuaciones paramétricas de la ruta del segundo avión.
Una tubería principal de riego sigue la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-3}$. Se necesita instalar una tubería secundaria perpendicular a la…
Una tubería principal de riego sigue la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-3}$. Se necesita instalar una tubería secundaria perpendicular a la principal que conecte con un aspersor situado en $S(-1, 5)$. Halle la ecuación continua de esta tubería secundaria.
Dadas las rectas $r: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{k}$ y $s: 3x - 5y + 2 = 0$, determine el valor de $k$ para que sean paralelas. A continuación, calcule el valor de $k$…
Dadas las rectas $r: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{k}$ y $s: 3x - 5y + 2 = 0$, determine el valor de $k$ para que sean paralelas. A continuación, calcule el valor de $k$ para que sean perpendiculares.
La mediatriz
Halle la ecuación explícita de la mediatriz del segmento de extremos $A(-2, 3)$ y $B(4, 1)$. (Recuerde que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa…
Halle la ecuación explícita de la mediatriz del segmento de extremos $A(-2, 3)$ y $B(4, 1)$. (Recuerde que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio).
Un panel solar está alineado con la recta que pasa por los puntos $P(1, 4)$ y $Q(5, 2)$. Para maximizar la eficiencia, los rayos del sol deben incidir de forma…
Un panel solar está alineado con la recta que pasa por los puntos $P(1, 4)$ y $Q(5, 2)$. Para maximizar la eficiencia, los rayos del sol deben incidir de forma perpendicular sobre el panel. Escriba las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un rayo de sol que impacta exactamente en el punto medio del panel.
Ángulos rectos y parámetros desconocidos
Para demostrar que una figura tiene ángulos rectos o lados paralelos, compara pendientes (o usa los criterios con coeficientes).
El diseño del techo de un pabellón deportivo incluye dos vigas de acero que se cruzan. La viga 1 se apoya en la recta $ax + 3y - 5 = 0$ y la viga 2 en la recta…
El diseño del techo de un pabellón deportivo incluye dos vigas de acero que se cruzan. La viga 1 se apoya en la recta $ax + 3y - 5 = 0$ y la viga 2 en la recta $2x - by + 4 = 0$. Calcule los valores exactos de $a$ y $b$ sabiendo que las vigas son perpendiculares y que la viga 1 pasa por el punto $P(1, -2)$.
Demuestre analíticamente que el cuadrilátero cuyos vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(4, 5)$ y $D(0, 3)$ es un rectángulo. Para ello, compruebe las pendientes de sus…
Demuestre analíticamente que el cuadrilátero cuyos vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(4, 5)$ y $D(0, 3)$ es un rectángulo. Para ello, compruebe las pendientes de sus lados y confirme que los ángulos contiguos son rectos.
Dos robots aspiradores se mueven por una sala diáfana. El primero sigue la trayectoria dada por la ecuación $y = \frac{1}{2}x + 2$. El segundo se mueve por una línea…
Dos robots aspiradores se mueven por una sala diáfana. El primero sigue la trayectoria dada por la ecuación $y = \frac{1}{2}x + 2$. El segundo se mueve por una línea perpendicular a la del primero, de forma que ambos chocarían en el punto exacto de corte de la primera trayectoria con el eje de ordenadas (eje Y). Halle la ecuación explícita de la trayectoria del segundo robot y calcule el área del triángulo formado por las trayectorias de ambos robots y el eje de abscisas (eje X).
Distancia a una recta, proyecciones y alturas
La distancia más corta de un punto $P$ a una recta $r$ se mide a lo largo del segmento perpendicular a $r$. El punto $H$ donde esa perpendicular corta a $r$ es el pie de la perpendicular, también llamado proyección ortogonal de $P$ sobre $r$.
Alturas y ortocentro. Una altura (altitude) de un triángulo es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto. Las tres alturas se cruzan en un punto, el ortocentro. Halla dos alturas e intersécalas.
Un barco navega en línea recta siguiendo la trayectoria $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Un faro se encuentra situado en el punto $F(7, 7)$. Calcule la distancia más corta desde…
Un barco navega en línea recta siguiendo la trayectoria $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Un faro se encuentra situado en el punto $F(7, 7)$. Calcule la distancia más corta desde el faro hasta la trayectoria del barco. (Pista: halle la recta perpendicular a $r$ que pasa por $F$, encuentre el punto de corte y calcule la distancia entre ambos puntos).
Halle las coordenadas exactas de la proyección ortogonal del punto $P(3, -2)$ sobre la recta $r: x - 2y + 5 = 0$. (Nota: la proyección ortogonal es el punto de…
Halle las coordenadas exactas de la proyección ortogonal del punto $P(3, -2)$ sobre la recta $r: x - 2y + 5 = 0$. (Nota: la proyección ortogonal es el punto de intersección de la recta $r$ con la recta perpendicular a ella que pasa por $P$).
Calcule las coordenadas exactas del ortocentro (punto de corte de las tres alturas) del triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(2, -5)$.
Calcule las coordenadas exactas del ortocentro (punto de corte de las tres alturas) del triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(2, -5)$.
Volvamos al mapa de la ciudad: si las avenidas tienen pendiente $2$, las calles transversales con pendiente $-\tfrac12$ son perpendiculares a ellas, ya que $2\cdot\left(-\tfrac12\right) = -1$. Un bulevar con pendiente $3$ no es paralelo (pendiente $\neq 2$) ni perpendicular (producto $\neq -1$). Simplemente atraviesa en diagonal.