Latitud y longitud
Abre una aplicación de mapas y coloca un marcador en el centro de Chicago. La pantalla muestra $41.88^\circ$ N, $87.63^\circ$ O. Esos dos números ubican cualquier lugar de la Tierra, igual que $(x, y)$ ubica un punto en un plano de coordenadas. La diferencia es que la "hoja de papel" es una esfera, así que las coordenadas son ángulos. Al final de esta página sabrás descifrarlas, medir distancias con ellas e incluso calcular qué hora es al otro lado del mundo.
Meridianos y paralelos
Imagina la Tierra como una esfera que gira alrededor de un eje que pasa por los polos Norte y Sur.
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Los meridianos son semicircunferencias que van de polo a polo. El meridiano de referencia es el meridiano de Greenwich (prime meridian), que pasa por Greenwich, Inglaterra. Es el meridiano $0^\circ$.
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Los paralelos son circunferencias perpendiculares al eje. El más grande es el ecuador (paralelo $0^\circ$). Divide la Tierra en los hemisferios norte y sur.
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El meridiano de Greenwich, junto con el meridiano $180^\circ$ del lado opuesto, divide la Tierra en los hemisferios oriental y occidental.
Mueve los controles y mira cómo se desplaza un punto:
Imagina que eres un cartógrafo principiante. En tu primer mapa, debes situar las líneas de referencia más importantes de la Tierra. Observa el dibujo y asocia cada letra…
Imagina que eres un cartógrafo principiante. En tu primer mapa, debes situar las líneas de referencia más importantes de la Tierra. Observa el dibujo y asocia cada letra con su nombre correspondiente:
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Ecuador.
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Meridiano de Greenwich.
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Polo Norte.
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Un paralelo cualquiera.
Indica en qué hemisferio (Norte o Sur para la latitud, Este u Oeste para la longitud) se encuentran los siguientes puntos geográficos: Punto A: $34^\circ$ N, $120^\circ$…
Indica en qué hemisferio (Norte o Sur para la latitud, Este u Oeste para la longitud) se encuentran los siguientes puntos geográficos:
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Punto A: $34^\circ$ N, $120^\circ$ E
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Punto B: $12^\circ$ S, $45^\circ$ O
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Punto C: $89^\circ$ N, $5^\circ$ O
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Punto D: $40^\circ$ S, $170^\circ$ E
Latitud y longitud
Así se lee un mapa plano (planisferio). Busca la línea horizontal de la latitud y la línea vertical de la longitud, y mira dónde se cruzan.
El punto $P$ está $15^\circ$ al sur del ecuador (a medio camino entre las líneas de $10^\circ$ S y $20^\circ$ S) y a medio camino entre las líneas de $50^\circ$ O y $40^\circ$ O. Entonces $P$ está en $15^\circ$ S, $45^\circ$ O.
Un explorador ha anotado por error las siguientes coordenadas en su diario. Explica por qué estas coordenadas son geográficamente imposibles: a) Latitud: $105^\circ$ S,…
Un explorador ha anotado por error las siguientes coordenadas en su diario. Explica por qué estas coordenadas son geográficamente imposibles:
- a) Latitud: $105^\circ$ S, Longitud: $20^\circ$ E.
- b) Latitud: $45^\circ$ N, Longitud: $210^\circ$ O.
Dos barcos, el Alfa y el Beta, navegan por el Océano Atlántico. Sus coordenadas son: Barco Alfa: $20^\circ$ N, $30^\circ$ O Barco Beta: $20^\circ$ N, $60^\circ$ O…
Dos barcos, el Alfa y el Beta, navegan por el Océano Atlántico. Sus coordenadas son:
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Barco Alfa: $20^\circ$ N, $30^\circ$ O
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Barco Beta: $20^\circ$ N, $60^\circ$ O
Responde razonadamente:
- a) ¿Se encuentran sobre el mismo paralelo o sobre el mismo meridiano?
- b) ¿Cuál de los dos barcos está más cerca del Meridiano de Greenwich?
Observa la siguiente representación plana (planisferio) de una zona del océano. Identifica las coordenadas (Latitud y Longitud) del punto $P$ marcado con una estrella.
Observa la siguiente representación plana (planisferio) de una zona del océano. Identifica las coordenadas (Latitud y Longitud) del punto $P$ marcado con una estrella.
Antípodas y grados-minutos
La antípoda de un lugar es el punto diametralmente opuesto en la esfera. Para encontrarla:
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Latitud: conserva el número y cambia N ↔ S.
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Longitud: réstala de $180^\circ$ y cambia E ↔ O.
Los ángulos suelen darse en grados y minutos, con $1^\circ = 60'$. Para restar de $180^\circ$ con minutos, escribe $180^\circ$ como $179^\circ 60'$.
Si viajas en avión desde Madrid ($40^\circ$ N, $3^\circ$ O) hacia una ciudad que está exactamente en sus antípodas (el punto opuesto de la esfera terrestre): a) ¿Cuál…
Si viajas en avión desde Madrid ($40^\circ$ N, $3^\circ$ O) hacia una ciudad que está exactamente en sus antípodas (el punto opuesto de la esfera terrestre):
- a) ¿Cuál sería la latitud de ese punto? (Mismo valor pero dirección opuesta).
- b) Si la longitud de un punto y su antípoda deben sumar $180^\circ$ y estar en hemisferios opuestos, ¿cuál sería la longitud de ese punto?
Se dice que las antípodas de un lugar son el punto de la superficie terrestre diametralmente opuesto. Si las coordenadas de tu ciudad son $40^\circ$ $25'$ N de latitud y…
Se dice que las antípodas de un lugar son el punto de la superficie terrestre diametralmente opuesto. Si las coordenadas de tu ciudad son $40^\circ$ $25'$ N de latitud y $3^\circ$ $41'$ O de longitud:
- a) ¿Cuál sería la latitud de tus antípodas?
- b) ¿Cuál sería la longitud de tus antípodas?
(Pista: Para la latitud cambia el hemisferio; para la longitud busca el meridiano que complete $180^\circ$ y cambia de hemisferio E/W).
Distancias a lo largo de un meridiano
Dos ciudades en el mismo meridiano están unidas por un arco de círculo máximo. Una vuelta completa a un meridiano mide $2\pi R$. En estos problemas $R = 6{,}371$ mi, así que la circunferencia completa mide unas $40{,}030$ mi. Si las dos ciudades están separadas $\alpha$ grados de latitud, la distancia es la fracción $\alpha/360$ de esa circunferencia.
Dos ciudades, Villa Sol y Villa Luna, se encuentran sobre el mismo meridiano. Si Villa Sol tiene una latitud de $45^\circ$ N y Villa Luna tiene una latitud de $20^\circ$…
Dos ciudades, Villa Sol y Villa Luna, se encuentran sobre el mismo meridiano. Si Villa Sol tiene una latitud de $45^\circ$ N y Villa Luna tiene una latitud de $20^\circ$ S, ¿cuántos grados de arco de meridiano las separan?
Una ballena jorobada migra siguiendo exactamente el mismo meridiano desde una zona de alimentación situada a $65^\circ$ N de latitud hasta una zona de reproducción a…
Una ballena jorobada migra siguiendo exactamente el mismo meridiano desde una zona de alimentación situada a $65^\circ$ N de latitud hasta una zona de reproducción a $15^\circ$ S. Si el radio medio de la Tierra se considera de $6\,371$ millas, calcula la distancia total en millas que recorre la ballena en su viaje de ida.
Calcula la distancia más corta entre dos puntos, P y Q, situados sobre la superficie terrestre si sus coordenadas son: P: $(40^\circ \text{ N}, 10^\circ \text{ O})$ Q:…
Calcula la distancia más corta entre dos puntos, P y Q, situados sobre la superficie terrestre si sus coordenadas son:
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P: $(40^\circ \text{ N}, 10^\circ \text{ O})$
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Q: $(40^\circ \text{ S}, 10^\circ \text{ O})$
Considera que la Tierra es una esfera perfecta de radio $6371 \text{ km}$. Expresa el resultado en millas. ¿Se desplaza el viajero por un meridiano o por un paralelo? Justifica tu respuesta.
Al revés: de la distancia al ángulo
A veces conoces la distancia y necesitas el ángulo. Despeja $\alpha$ en la misma proporción:
$$\alpha = \frac{360\, d}{2\pi R} = \frac{d}{111.195}\ \text{grados}$$(con $R = 6{,}371$ mi). En el ecuador, la longitud funciona igual, porque el ecuador es un círculo máximo.
Entonces $1$ milla náutica $= \dfrac{111.195}{60} \approx 1.853$ mi con este radio. Además, cada grado de latitud mide exactamente $60$ millas náuticas, sea cual sea el radio.
Si un problema da su propia conversión para nudos o millas náuticas, usa la que te da.
En náutica se utiliza la "milla náutica", que se define como la longitud de un arco de meridiano de $1'$ (un minuto de grado). a) Calcula cuántos kilómetros equivale una…
En náutica se utiliza la "milla náutica", que se define como la longitud de un arco de meridiano de $1'$ (un minuto de grado).
- a) Calcula cuántos kilómetros equivale una milla náutica (Radio de la Tierra = $6\,371$ km).
- b) Si un velero ha navegado por un meridiano desde una latitud de $30^\circ$ N hasta $35^\circ$ N, ¿cuántas millas náuticas ha recorrido?
Dos barcos de investigación oceanográfica se encuentran sobre la línea del Ecuador. El barco A está en una longitud de $12^\circ$ E y el barco B se encuentra a una…
Dos barcos de investigación oceanográfica se encuentran sobre la línea del Ecuador. El barco A está en una longitud de $12^\circ$ E y el barco B se encuentra a una distancia de $2\,500$ millas hacia el Oeste del barco A. Determina la longitud exacta del barco B, sabiendo que el radio de la Tierra es de $6\,371$ millas.
Distancias a lo largo de un paralelo
Un paralelo a latitud $\alpha$ es una circunferencia más pequeña que el ecuador. Si cortas la esfera por el eje, la figura es un triángulo rectángulo: el radio $r$ del paralelo es el cateto horizontal y el radio $R$ de la Tierra es la hipotenusa.
Valores útiles (usa el modo de grados en tu calculadora): $\cos 30^\circ \approx 0.866$, $\cos 45^\circ \approx 0.707$, $\cos 60^\circ = 0.5$.
Para un proyecto escolar, necesitas calcular cuánto mide de largo el paralelo de latitud $40^\circ$ N. Sabiendo que el radio terrestre es $R \approx 6\,371$ millas,…
Para un proyecto escolar, necesitas calcular cuánto mide de largo el paralelo de latitud $40^\circ$ N. Sabiendo que el radio terrestre es $R \approx 6\,371$ millas, calcula:
- a) El radio del círculo que forma dicho paralelo (utiliza la expresión $r = R \cdot \cos(\text{latitud})$).
- b) La longitud total (perímetro) de dicho paralelo.
Dos ciudades, P y Q, están situadas en el mismo meridiano. La ciudad P está a $42^\circ$ N y la ciudad Q a $15^\circ$ N. Otra ciudad, R, está situada en el mismo…
Dos ciudades, P y Q, están situadas en el mismo meridiano. La ciudad P está a $42^\circ$ N y la ciudad Q a $15^\circ$ N. Otra ciudad, R, está situada en el mismo paralelo que Q, pero a una distancia de $20^\circ$ de longitud hacia el Este.
Calcula, usando $R = 6\,371$ millas:
- a) La distancia entre P y Q sobre el meridiano.
- b) La distancia entre Q y R sobre el paralelo.
¿Cuál de las dos distancias es mayor?
Dos ciudades, A y B, se encuentran en el mismo paralelo a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciudad A tiene una longitud de $20^\circ \text{ E}$ y la ciudad B una…
Dos ciudades, A y B, se encuentran en el mismo paralelo a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciudad A tiene una longitud de $20^\circ \text{ E}$ y la ciudad B una longitud de $70^\circ \text{ E}$.
Sabiendo que el radio de la Tierra es de aproximadamente $6371 \text{ km}$:
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Calcula el radio del paralelo $45^\circ \text{ N}$ (Recuerda que el radio de un paralelo a una latitud $\alpha$ se calcula como $r = R \cdot \cos \alpha$. Para $45^\circ$, puedes usar $0,707$ como aproximación del coseno).
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Determina la distancia en millas que separa ambas ciudades siguiendo el arco del paralelo.
Husos horarios
La Tierra gira $360^\circ$ en 24 horas, es decir, $360^\circ \div 24 = 15^\circ$ por hora. Por eso hay 24 husos horarios teóricos (time zones), cada uno de $15^\circ$ de longitud de ancho. El huso $0$ está centrado en el meridiano de Greenwich. El Sol sale primero en el este, así que al ir hacia el este es más tarde, y al ir hacia el oeste es más temprano.
Para hallar el número del huso, divide la longitud entre $15$ y redondea al entero más cercano. El este es $+$ y el oeste es $-$. UTC (tiempo universal coordinado) es la hora en Greenwich.
$$\text{hora local} = \text{UTC} + \text{número del huso}$$El método más seguro para cualquier problema es convertir a UTC, hacer el vuelo o la espera, y luego convertir al huso del destino.
Sabemos que la Tierra tarda 24 horas en completar una vuelta de $360^\circ$ sobre su eje. a) ¿Cuántos grados de longitud corresponden a una hora de diferencia? b) Si en…
Sabemos que la Tierra tarda 24 horas en completar una vuelta de $360^\circ$ sobre su eje.
- a) ¿Cuántos grados de longitud corresponden a una hora de diferencia?
- b) Si en una ciudad situada a $0^\circ$ de longitud (Greenwich) son las 12:00 del mediodía, ¿qué hora será en una ciudad situada a $30^\circ$ E?
Un grupo de amigos en Madrid (longitud $3^\circ$ $41'$ O) quiere ver en vivo el lanzamiento de un cohete espacial desde Cabo Cañaveral (longitud $80^\circ$ $36'$ O). Si…
Un grupo de amigos en Madrid (longitud $3^\circ$ $41'$ O) quiere ver en vivo el lanzamiento de un cohete espacial desde Cabo Cañaveral (longitud $80^\circ$ $36'$ O). Si el lanzamiento está programado para las 14:30 hora local de Florida, y sabiendo que cada huso horario de $15^\circ$ equivale a una hora de diferencia teórica, ¿a qué hora deberán sintonizar la transmisión en vivo en España? Utiliza el esquema de husos horarios teóricos para realizar el cálculo.
Un avión de reconocimiento despega de una base situada en las coordenadas $(30^\circ \text{ N}, 15^\circ \text{ O})$ a las 08:00 hora local. Vuela directamente hacia el…
Un avión de reconocimiento despega de una base situada en las coordenadas $(30^\circ \text{ N}, 15^\circ \text{ O})$ a las 08:00 hora local. Vuela directamente hacia el Este siguiendo el mismo paralelo hasta alcanzar una ciudad situada a $60^\circ$ de longitud Este. El vuelo tiene una duración total de 9 horas.
¿A qué hora local de la ciudad de destino aterrizará el avión? Ten en cuenta el cambio de husos horarios durante el trayecto (considera husos teóricos de $15^\circ$ cada uno).
La línea de cambio de fecha y el cruce de los 180°
El meridiano $180^\circ$ (el antimeridiano de Greenwich) es por donde pasa, más o menos, la línea internacional de cambio de fecha (International Date Line). Si la cruzas, cambia la fecha del calendario. El cambio de fecha ocurre exactamente cuando una ruta cruza el meridiano $180^\circ$. Cruzar el meridiano de Greenwich no cambia la fecha.
Si usas números de huso (este $+$, oeste $-$) y conviertes a través de UTC, la línea de cambio de fecha se encarga sola. La fecha es la que resulte de la aritmética.
La diferencia de longitud más corta
Para hallar cuántos grados de longitud separan dos puntos:
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Mismo hemisferio (ambos E o ambos O): resta.
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Hemisferios opuestos: suma. Si la suma es mayor que $180^\circ$, el camino corto cruza el meridiano $180^\circ$, así que usa $360^\circ -$ la suma.
Un avión despega de Tokio ($35^\circ$ N, $139^\circ$ E) a las 08:00 del lunes con destino a San Francisco ($37^\circ$ N, $122^\circ$ O). Si el vuelo dura 10 horas, ¿qué…
Un avión despega de Tokio ($35^\circ$ N, $139^\circ$ E) a las 08:00 del lunes con destino a San Francisco ($37^\circ$ N, $122^\circ$ O). Si el vuelo dura 10 horas, ¿qué hora y qué día será en San Francisco cuando el avión aterrice? Ten en cuenta el cambio de fecha al atravesar el antimeridiano de Greenwich ($180^\circ$).
Un submarino se desplaza por el fondo marino desde un punto X $(0^\circ, 175^\circ \text{ E})$ hasta un punto Y $(0^\circ, 170^\circ \text{ O})$. 1. ¿Cuántos grados de…
Un submarino se desplaza por el fondo marino desde un punto X $(0^\circ, 175^\circ \text{ E})$ hasta un punto Y $(0^\circ, 170^\circ \text{ O})$.
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¿Cuántos grados de longitud ha recorrido si ha seguido la ruta más corta por el Ecuador?
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Si el submarino viaja a una velocidad constante de $20 \text{ nudos}$ ($1 \text{ nudo} \approx 1,85 \text{ km/h}$), ¿cuánto tiempo tardará en completar el viaje? (Radio de la Tierra: $6371 \text{ km}$).
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¿Hubo algún cambio de fecha durante el trayecto? Explica por qué.
Poliedros: fórmula de Euler y área de superficie
Algunos problemas más largos de esta página pasan del globo a los sólidos en 3-D. Aquí están las herramientas para los de poliedros.
Cuando truncas un sólido (cortas sus esquinas), un vértice donde se juntan $k$ aristas se reemplaza por $k$ vértices nuevos y una cara nueva de $k$ lados. Eso da una forma rápida de contar:
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$F = $ (caras antiguas) $+$ (número de vértices cortados).
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$V = $ (suma, sobre los vértices cortados, de las aristas que se juntan en cada uno).
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$E = \dfrac{3V}{2}$ cuando en cada vértice se juntan exactamente 3 aristas.
Para el área de superficie, suma las áreas de todas las caras. Estas fórmulas bastan:
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Cuadrado de lado $s$: $s^2$.
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Triángulo equilátero de lado $s$: $\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$.
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Hexágono regular de lado $s$: $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.
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Polígono regular: $\tfrac{1}{2}\cdot(\text{perímetro})\cdot(\text{apotema})$.
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Prisma: área lateral $=$ (perímetro de la base) $\times$ (altura).
Un hexágono regular se divide en 6 triángulos equiláteros, así que su radio circunscrito es igual a su lado, y su apotema (del centro al punto medio de un lado) es $a = \dfrac{\sqrt{3}}{2}s$.
Se construye un octaedro truncado a partir de un octaedro regular de arista $12 \text{ cm}$. Para ello, se corta cada uno de los seis vértices de forma que se eliminan…
Se construye un octaedro truncado a partir de un octaedro regular de arista $12 \text{ cm}$. Para ello, se corta cada uno de los seis vértices de forma que se eliminan pequeñas pirámides cuadrangulares de base regular, convirtiendo cada cara triangular original en un hexágono regular.
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Determina el número de caras, vértices y aristas del poliedro resultante y comprueba si cumple el Teorema de Euler.
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Si la arista del nuevo poliedro (la del hexágono resultante) es de $4 \text{ cm}$, calcula el área total de la superficie del octaedro truncado.
Un tanque de agua tiene forma de prisma hexagonal regular recto. Se sabe que el radio de la circunferencia en la que se inscribe la base hexagonal mide $4 \text{ m}$ y…
Un tanque de agua tiene forma de prisma hexagonal regular recto. Se sabe que el radio de la circunferencia en la que se inscribe la base hexagonal mide $4 \text{ m}$ y que la altura del prisma es el triple de la apotema de la base.
Calcula el costo de impermeabilizar las paredes laterales y el fondo (base inferior) si el precio del material es de $12,50 \text{ \$/m}^2$. Redondea el resultado a las centésimas.
Volúmenes de sólidos curvos
Los dos últimos problemas de desafío mezclan conos, esferas y cilindros. Aquí está el conjunto de herramientas.
La fórmula del tronco sale de un cono grande menos el cono pequeño que se cortó de la punta. Los triángulos semejantes te dicen qué altura tenía el cono que falta.
Dos consejos más:
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Sólidos inscritos. Si una esfera de radio $r$ toca las paredes y las dos bases de un cilindro, entonces el cilindro tiene radio $r$ y altura $2r$. El "espacio libre" que queda es $V_{\text{cilindro}} - V_{\text{esfera}}$.
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Capacidad. $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$. Para comprobar si un recipiente contiene cierta cantidad de mililitros, compara su volumen en cm$^3$ con ese número.
Una empresa de perfumes diseña un frasco con la forma de un tronco de cono invertido coronado por una semiesfera que encaja perfectamente en la base superior. Los datos…
Una empresa de perfumes diseña un frasco con la forma de un tronco de cono invertido coronado por una semiesfera que encaja perfectamente en la base superior. Los datos del diseño son los siguientes:
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Altura del tronco de cono: $8 \text{ cm}$.
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Radio de la base inferior (donde se apoya): $3 \text{ cm}$.
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Radio de la base superior (donde encaja la semiesfera): $6 \text{ cm}$.
Calcula el volumen total del frasco y determina si es capaz de contener un frasco estándar de $330 \text{ ml}$ de esencia. (Toma $\pi \approx 3,14$).
Se tiene un cilindro de radio $R$ y altura $2R$. En su interior se introduce una esfera de radio $R$ que encaja tangencialmente con las paredes y las bases del cilindro.…
Se tiene un cilindro de radio $R$ y altura $2R$. En su interior se introduce una esfera de radio $R$ que encaja tangencialmente con las paredes y las bases del cilindro.
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Demuestra analíticamente la relación que existe entre el volumen de la esfera y el volumen del cilindro.
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Si el volumen del cilindro es de $54 \text{ cm}^3$, ¿qué volumen de aire queda libre dentro del cilindro una vez introducida la esfera?
Volvamos al principio: $41.88^\circ$ N significa $41.88^\circ$ al norte del ecuador, y $87.63^\circ$ O significa $87.63^\circ$ al oeste del meridiano de Greenwich. Ese lugar es Chicago, a orillas del lago Míchigan.