División sintética
El equipo de Jayden está diseñando una caja de envío para una tienda de mercancía. El volumen es $V(x)=x^3+6x^2+11x+6$ pulgadas cúbicas y la altura es $x+1$ pulgadas. ¿Cuáles son el largo y el ancho? La división larga de polinomios funciona, pero es lenta y es fácil equivocarse. La división sintética hace el mismo trabajo usando solo números: una fila de coeficientes, un número $a$ y una tabla de tres filas.
Cómo funciona la división sintética
La división sintética divide un polinomio $P(x)$ entre un binomio de la forma $x-a$. En algunos problemas se le llama regla de Ruffini; es exactamente el mismo procedimiento.
Escribe los coeficientes de $P(x)$ en una fila, usando $0$ para cualquier potencia que falte. Pon $a$ a la izquierda. Luego sigue estos pasos:
-
Baja el primer coeficiente.
-
Multiplica por $a$ el número que acabas de escribir en la fila de abajo y escribe el producto debajo del siguiente coeficiente.
-
Suma esa columna y escribe el resultado en la fila de abajo.
-
Repite los pasos 2 y 3 hasta llegar a la última columna.
El último número de la fila de abajo es el residuo. Los demás números de esa fila son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que $P(x)$. Cada columna es un paso de la división larga, con la resta incluida en la suma.
$$P(x)=(x-a)\,Q(x)+R$$Divide el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indica el cociente y el resto resultantes.
Divide el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indica el cociente y el resto resultantes.
Aplica la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribe claramente el polinomio cociente y el valor del resto.
Aplica la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribe claramente el polinomio cociente y el valor del resto.
Evaluar un polinomio: el teorema del residuo
Mira otra vez el primer ejemplo: al dividir entre $x-3$ quedó residuo $4$. ¿Es una coincidencia? Sustituye $x=a$ en $P(x)=(x-a)Q(x)+R$. El primer término se anula y queda $P(a)=R$.
Así que la división sintética es una forma rápida de evaluar un polinomio: el último número de la tabla es $P(a)$. Para polinomios de grado alto es mejor que sustituir término por término, porque solo multiplicas y sumas.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del resto mediante la regla de Ruffini.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del resto mediante la regla de Ruffini.
Halla el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.
Halla el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2,5x^3 + 1,5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2,5x^3 + 1,5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.
Comprobar ceros y factores: el teorema del factor
Si el residuo es $0$, entonces $P(a)=0$. En ese caso $a$ es un cero (o raíz) de $P$ y la división es exacta.
Comprueba, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Comprueba, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Determina, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del resto o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio…
Determina, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del resto o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.
Factorizar cuando conoces un cero
Una vez que conoces un cero $a$, la división sintética te da el cociente: un polinomio de un grado menos. Sigue factorizando el cociente, ya sea con otra división sintética o con factorización ordinaria.
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Hallar todos los ceros
¿Y si nadie te dice un cero? Puedes reducir la lista de candidatos.
¿Por qué? Si $\frac{p}{q}$ es un cero, al multiplicar $P\!\left(\frac pq\right)=0$ por $q^n$ se ve que $p$ debe dividir al término constante y $q$ al coeficiente principal. Haz la lista de candidatos, prueba los fáciles ($\pm1,\pm2,\dots$) con una división sintética rápida y, cuando uno funcione, sigue con el cociente.
Cuando llegues a un cociente cuadrático, factorízalo o usa la fórmula cuadrática. Si su discriminante $b^2-4ac$ es negativo, la cuadrática no tiene ceros reales y es irreducible sobre los números reales. Déjala como un solo factor.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modela mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué…
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modela mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué instantes de tiempo la temperatura de la reacción es exactamente de $0^\circ\text{C}$.
Coeficientes desconocidos a partir de una condición de división
A veces un coeficiente es una letra. Una condición como "divisible entre $x-a$" o "residuo $c$" se convierte en una ecuación: haz la división sintética con la letra incluida e iguala el último número con lo que dice la condición.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un…
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un resto de $4$ al dividirlo entre $x + 1$.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Construir un polinomio a partir de sus ceros
El teorema del factor también funciona al revés. Si $r_1$ y $r_2$ son ceros, entonces $(x-r_1)$ y $(x-r_2)$ son factores, y la información que falta completa el resto.
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre…
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre $x - 3$ se obtiene un resto de $10$.
Cuando el divisor es $cx-a$
La división sintética necesita un divisor de la forma $x-a$. Un $a$ fraccionario no es problema. Para dividir entre $x-\tfrac12$, usa $a=\tfrac12$.
Para un divisor como $2x-3$, el coeficiente de $x$ no es $1$. Sácalo como factor: $2x-3=2\!\left(x-\tfrac32\right)$. Haz la tabla con $a=\tfrac32$ y luego divide el cociente entre $2$. El residuo no cambia.
Divide el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Expresa el resultado final indicando cociente y resto.
Divide el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Expresa el resultado final indicando cociente y resto.
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Ten en cuenta que debes adaptar el divisor para…
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Ten en cuenta que debes adaptar el divisor para poder aplicar el algoritmo y, posteriormente, ajustar el cociente y el resto obtenidos.
Hallar dimensiones: área y volumen
El área es largo por ancho, y el volumen es largo por ancho por altura. Así que si conoces una dimensión, dividir te da el producto de las otras. Una dimensión real debe dividir exactamente, así que el residuo debe ser $0$.
Volvamos a la caja de Jayden, con $V(x)=x^3+6x^2+11x+6$ y altura $x+1$.
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$,…
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$, determina el polinomio que representa el área de la base $A(x)$.
El área de un panel solar de forma rectangular se describe mediante el polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x - 3$. Si se conoce que la medida del ancho del panel es…
El área de un panel solar de forma rectangular se describe mediante el polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x - 3$. Si se conoce que la medida del ancho del panel es $x + 3$, encuentra el polinomio que representa su longitud.
Ceros en modelos de la vida real
Muchos modelos preguntan "¿cuándo es cero el resultado?": ganancia cero (punto de equilibrio), altura cero, posición cero. Iguala el polinomio a $0$, halla los ceros y quédate solo con los que tienen sentido en la situación.
Los beneficios de una empresa, en miles de dólares, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$…
Los beneficios de una empresa, en miles de dólares, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$ representa el tiempo en años. Encuentra los años exactos en los que el beneficio de la empresa fue nulo (puntos de equilibrio).
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué…
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué instantes de tiempo la partícula pasa por el origen de coordenadas ($s(t) = 0$).
El volumen de un casquete esférico viene dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el…
El volumen de un casquete esférico viene dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio de una esfera es $R = 5\text{ cm}$ y se quiere obtener un casquete con un volumen de $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, plantea la ecuación correspondiente y utiliza la regla de Ruffini para encontrar la altura $h$.
Un patrón: dividir $x^n-a^n$ entre $x-a$
Divide $x^4-81$ entre $x-3$. La fila es $1,\,0,\,0,\,0,\,-81$ y $a=3$.
La fila de abajo es $1,\,3,\,9,\,27$, las potencias de $a=3$. Cada producto solo multiplica la entrada anterior por $a$, y los ceros del medio nunca lo alteran. El residuo es $a^n-a^n=0$.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduce y escribe la…
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduce y escribe la expresión general del polinomio cociente al dividir $x^n - a^n$ entre $x - a$.
Desigualdades polinómicas
Para resolver $P(x)\ge0$ (o $<$, $>$, $\le$), el signo de $P$ solo puede cambiar en sus ceros. Así que:
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Pasa todo a un lado para que el otro lado sea $0$.
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Factoriza $P(x)$ por completo, usando la división sintética para hallar los ceros.
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Marca los ceros en una recta numérica. Esta queda dividida en intervalos.
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Prueba un valor en cada intervalo para obtener su signo.
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Escoge los intervalos que coinciden con la desigualdad (también llamada inecuación). Usa corchetes para $\ge,\le$ (los ceros cuentan) y paréntesis para $>,<$.
Resuelve la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factoriza primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudia el signo…
Resuelve la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factoriza primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudia el signo en los intervalos correspondientes de la recta real.
Resumen
Volvamos a la caja de Jayden: al dividir $V(x)$ entre $x+1$ se obtuvo un área de la base $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, así que la caja mide $(x+1)$ por $(x+2)$ por $(x+3)$ pulgadas.