Te conviene dominar: Traslaciones (Matemáticas Integradas I)
Te conviene dominar: Simetrías (Matemáticas Integradas I)
En un videojuego, tu personaje se desliza por la pantalla, se voltea para mirar hacia el otro lado o gira alrededor de un pivote. Un dron de entregas se mueve a otro lugar, un láser rebota en un espejo, un engranaje da vueltas. Todos estos son movimientos rígidos: mueven una figura sin cambiar su tamaño ni su forma. En esta página verás que cada uno se reduce a una regla sencilla sobre las coordenadas $(x, y)$.
Traslaciones: deslizar según un vector
Una traslación desliza todos los puntos de una figura la misma distancia y en la misma dirección. Esa dirección y esa distancia se describen con un vector $\vec v = (v_1, v_2)$: se mueve $v_1$ unidades en horizontal y $v_2$ unidades en vertical.
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Un dron de reparto está en la posición $A(3, 5)$ y se desplaza siguiendo el vector $\vec{v} = (-4, 2)$. ¿Cuáles son las coordenadas de su posición final $A'$?
Un dron de reparto está en la posición $A(3, 5)$ y se desplaza siguiendo el vector $\vec{v} = (-4, 2)$. ¿Cuáles son las coordenadas de su posición final $A'$?
En un tablero de ajedrez gigante, una pieza se mueve desde la casilla con coordenadas $P(-1, -3)$ hasta la casilla $Q(4, 2)$. Determine las componentes del vector de…
En un tablero de ajedrez gigante, una pieza se mueve desde la casilla con coordenadas $P(-1, -3)$ hasta la casilla $Q(4, 2)$. Determine las componentes del vector de traslación $\vec{PQ}$.
En un software de arquitectura (CAD), el plano de una ventana está definido por el polígono de vértices $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ y $D(1, 3)$. El diseñador decide…
En un software de arquitectura (CAD), el plano de una ventana está definido por el polígono de vértices $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ y $D(1, 3)$. El diseñador decide trasladar la ventana aplicando el vector $\vec{v} = (-3, 2)$. Calcule las coordenadas de los nuevos vértices $A'$, $B'$, $C'$ y $D'$.
Si haces un deslizamiento y luego otro, el resultado es un único deslizamiento cuyo vector es la suma de los dos vectores. El food truck de Mateo parte de $S(2, 1)$ en una cuadrícula de la ciudad (1 unidad = 1 cuadra). Recorre $\vec u = (3, 1)$ y después $\vec w = (1, 4)$.
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Un robot aspirador se mueve desde su base siguiendo el vector $\vec{u} = (2, 5)$ y luego sigue el vector $\vec{w} = (1, -3)$. Si la base está en el origen $O(0,0)$,…
Un robot aspirador se mueve desde su base siguiendo el vector $\vec{u} = (2, 5)$ y luego sigue el vector $\vec{w} = (1, -3)$. Si la base está en el origen $O(0,0)$, ¿cuáles son las coordenadas de su posición final y qué vector único $\vec{v}$ representa el desplazamiento total?
Un velero se desplaza en el mar impulsado por el viento, lo que le confiere un desplazamiento según el vector $\vec{v} = (12, -5)$ millas. Simultáneamente, una corriente…
Un velero se desplaza en el mar impulsado por el viento, lo que le confiere un desplazamiento según el vector $\vec{v} = (12, -5)$ millas. Simultáneamente, una corriente marina lo arrastra según el vector $\vec{c} = (-3, -2)$ millas. Si el velero partió del puerto en $P(-4, 10)$, ¿cuál es su posición final $P'$ y a qué distancia en línea recta se encuentra del punto de partida?
Una reflexión voltea una figura sobre una recta de reflexión, como un espejo. Cada punto y su imagen están a la misma distancia de la recta, en lados opuestos, y el segmento que los une es perpendicular a la recta.
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En el diseño de un logotipo, el punto $M(-4, 7)$ se refleja respecto al eje de ordenadas (eje Y). ¿Cuáles son las coordenadas del punto reflejado $M'$?
En el diseño de un logotipo, el punto $M(-4, 7)$ se refleja respecto al eje de ordenadas (eje Y). ¿Cuáles son las coordenadas del punto reflejado $M'$?
En una fábrica de textiles, una máquina dobla una tela a lo largo de la recta horizontal $y = 2$. Si un patrón decorativo está impreso en el punto $P(3, -1)$, ¿cuáles…
En una fábrica de textiles, una máquina dobla una tela a lo largo de la recta horizontal $y = 2$. Si un patrón decorativo está impreso en el punto $P(3, -1)$, ¿cuáles serán las coordenadas del patrón $P'$ una vez doblada la tela?
Una tubería recta de suministro de agua pasa por los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$. Por motivos de redundancia en el diseño, se construye una segunda tubería que es…
Una tubería recta de suministro de agua pasa por los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$. Por motivos de redundancia en el diseño, se construye una segunda tubería que es exactamente simétrica a la primera respecto al eje de abscisas (eje X). Halle las coordenadas de los puntos simétricos $A'$ y $B'$, y determine la ecuación explícita de la recta que define la trayectoria de esta segunda tubería.
Una reflexión respecto a un punto envía $P$ al punto $P'$ del lado opuesto de un centro $C$, a la misma distancia. Es decir, $C$ es el punto medio de $\overline{PP'}$. Equivale a una rotación de $180^\circ$ alrededor de $C$ (media vuelta). Algunos problemas la llaman simetría central o piden el centro de simetría.
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Un jardinero quiere plantar un árbol en el punto $B'$, que debe ser simétrico al árbol situado en $B(2, -6)$ respecto al centro del jardín $C(0, 0)$. Calcule las…
Un jardinero quiere plantar un árbol en el punto $B'$, que debe ser simétrico al árbol situado en $B(2, -6)$ respecto al centro del jardín $C(0, 0)$. Calcule las coordenadas de $B'$.
Dos postes de luz están situados en los puntos $F_1(-2, 8)$ y $F_2(6, -2)$. Se quiere colocar un transformador eléctrico en el centro de simetría de ambos. ¿Cuáles son…
Dos postes de luz están situados en los puntos $F_1(-2, 8)$ y $F_2(6, -2)$. Se quiere colocar un transformador eléctrico en el centro de simetría de ambos. ¿Cuáles son las coordenadas de dicho centro?
Un brazo robótico articula en el punto $C(2, 1)$. Su pinza se encuentra inicialmente en $P(5, 3)$. Si el brazo realiza un giro de $180^\circ$ alrededor de la…
Un brazo robótico articula en el punto $C(2, 1)$. Su pinza se encuentra inicialmente en $P(5, 3)$. Si el brazo realiza un giro de $180^\circ$ alrededor de la articulación $C$, ¿cuáles serán las nuevas coordenadas $P'$ de la pinza?
Una rotación hace girar una figura un ángulo dado alrededor de un punto fijo, el centro de rotación. Los ángulos positivos van en sentido contrario a las manecillas del reloj.
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Una pieza de un engranaje situada en el punto $K(5, 0)$ gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen de coordenadas $O(0, 0)$. ¿En qué posición $K'$…
Una pieza de un engranaje situada en el punto $K(5, 0)$ gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen de coordenadas $O(0, 0)$. ¿En qué posición $K'$ quedará la pieza tras el giro?
Se aplica un giro de $180^\circ$ a una señal de tránsito circular con centro en el punto $C(3, 4)$ y radio $2$. ¿Qué punto exacto de la señal permanece en la misma…
Se aplica un giro de $180^\circ$ a una señal de tránsito circular con centro en el punto $C(3, 4)$ y radio $2$. ¿Qué punto exacto de la señal permanece en la misma posición (es invariante) tras el movimiento?
Una cámara de seguridad montada en un poste en $C(1, 2)$ enfoca inicialmente a una puerta situada en $P(4, 2)$. Para cubrir un pasillo, la cámara gira $90^\circ$ en…
Una cámara de seguridad montada en un poste en $C(1, 2)$ enfoca inicialmente a una puerta situada en $P(4, 2)$. Para cubrir un pasillo, la cámara gira $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de su eje en $C$. ¿Cuáles son las coordenadas del nuevo punto $P'$ al que apuntará la cámara? (Asuma que la distancia focal se mantiene constante).
Todo se extiende a tres coordenadas $(x, y, z)$, donde $z$ es la altura (o la profundidad). Solo necesitamos tres herramientas.
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En un almacén automatizado, un paquete se mueve en línea recta desde el estante $A(10, 5, 2)$ hasta la zona de carga $B(2, 8, 0)$. Determine el vector de traslación…
En un almacén automatizado, un paquete se mueve en línea recta desde el estante $A(10, 5, 2)$ hasta la zona de carga $B(2, 8, 0)$. Determine el vector de traslación $\vec{AB}$. Si otro paquete situado en $C(4, 4, 4)$ realiza exactamente el mismo movimiento, ¿cuáles serán las coordenadas de su posición final $C'$?
Un programa de impresión 3D primero traslada un vértice de un sólido mediante el vector $\vec{v} = (0, 0, 4)$ y, a continuación, le aplica una simetría central respecto…
Un programa de impresión 3D primero traslada un vértice de un sólido mediante el vector $\vec{v} = (0, 0, 4)$ y, a continuación, le aplica una simetría central respecto al origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$. Si el vértice original estaba en la posición $V(2, -3, 1)$, ¿cuál es su posición final $V'$?
Un dron submarino se encuentra en la posición $D(4, -2, -5)$ (el plano XY representa el nivel del mar). Primero, asciende verticalmente una cierta distancia aplicando el…
Un dron submarino se encuentra en la posición $D(4, -2, -5)$ (el plano XY representa el nivel del mar). Primero, asciende verticalmente una cierta distancia aplicando el vector de traslación $\vec{v} = (0, 0, 5)$. A continuación, emite un pulso de sonar que se refleja especularmente en el fondo marino, el cual es completamente plano y está definido por la ecuación $z = -10$. ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico de la nueva posición del dron respecto al fondo marino?
Puedes componer transformaciones: aplicas una y luego aplicas la siguiente al resultado. En general el orden importa (salvo con dos traslaciones).
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Un rayo de luz atraviesa un cristal grueso y sufre una doble reflexión interna. Primero experimenta una simetría axial respecto a la recta vertical $x = 1$, y luego otra…
Un rayo de luz atraviesa un cristal grueso y sufre una doble reflexión interna. Primero experimenta una simetría axial respecto a la recta vertical $x = 1$, y luego otra simetría axial respecto a la recta $x = 4$. Si una impureza en el cristal está en el punto $M(-2, 3)$, halle su posición tras la primera simetría ($M'$) y tras la segunda ($M''$). ¿A qué vector de traslación directo equivale la composición de estas dos simetrías axiales?
En el mecanizado CNC de una pieza, la herramienta de corte se encuentra inicialmente en el punto $H(0, 5)$. El programa ejecuta dos comandos: primero, el plato de…
En el mecanizado CNC de una pieza, la herramienta de corte se encuentra inicialmente en el punto $H(0, 5)$. El programa ejecuta dos comandos: primero, el plato de sujeción gira $180^\circ$ respecto al centro $C(2, 3)$, llevando la herramienta a la posición $H'$. Inmediatamente después, el carro se traslada según el vector $\vec{u} = (-1, -4)$ hasta alcanzar la posición final $H''$. Determine las coordenadas exactas de $H'$ y $H''$.
Si conoces una figura y su imagen, puedes saber qué movimiento rígido se usó fijándote en cómo cambiaron las coordenadas.
Practica★★★Sin empezar
En un estudio de transformaciones geométricas, los vértices de un triángulo son $A(1, 2)$, $B(3, 1)$ y $C(2, 4)$. Tras aplicar un único movimiento en el plano, los…
En un estudio de transformaciones geométricas, los vértices de un triángulo son $A(1, 2)$, $B(3, 1)$ y $C(2, 4)$. Tras aplicar un único movimiento en el plano, los nuevos vértices resultan ser $A'(-1, -2)$, $B'(-3, -1)$ y $C'(-2, -4)$. Identifique de qué tipo de movimiento se trata (traslación, giro o simetría) y especifique sus elementos característicos (vector, centro y ángulo, o eje). Justifique analíticamente su respuesta.
Un cuadrado tiene su centro geométrico en el origen $O(0, 0)$ y uno de sus vértices es $V_1(3, 3)$. Para encontrar los demás vértices, se aplican giros sucesivos de…
Un cuadrado tiene su centro geométrico en el origen $O(0, 0)$ y uno de sus vértices es $V_1(3, 3)$. Para encontrar los demás vértices, se aplican giros sucesivos de $90^\circ$ en sentido horario alrededor del origen, obteniendo $V_2$, $V_3$ y $V_4$. Calcule las coordenadas de los cuatro vértices y compruebe analíticamente que la distancia entre $V_1$ y $V_2$ es exactamente igual a la distancia entre $V_2$ y $V_3$.
Aplicaciones: espejos, rebotes y centros desconocidos
La recta del espejo
Si conoces un punto y su imagen después de una reflexión, la recta de reflexión es la mediatriz (mediatriz) del segmento que los une. Para un espejo horizontal $y = k$, la coordenada $x$ se mantiene y $k$ es el promedio de las dos coordenadas $y$:
$$k = \frac{y + y'}{2}.$$
Para un espejo vertical, $k = \dfrac{x + x'}{2}$.
Rebotar en una banda
El camino más corto de $A$ a una pared y luego a $B$ se encuentra reflejando uno de los puntos respecto a la pared y uniéndolo con una recta. La razón: el camino con rebote tiene la misma longitud que el segmento recto hasta el punto reflejado, y un segmento recto es el camino más corto.
Hallar un centro de rotación desconocido
Si una rotación lleva $P$ a $P'$ alrededor de un centro desconocido $C(x, y)$, entonces $\vec{CP'}$ es la rotación de $\vec{CP}$. Para $90^\circ$ en sentido contrario a las manecillas del reloj, $(a, b) \to (-b, a)$. Iguala las componentes para obtener un sistema de ecuaciones en $x$ y $y$.
Practica★★☆Sin empezar
Un rayo láser se emite desde el punto $E(1, 5)$ y, tras reflejarse en un espejo plano y paralelo al eje X, impacta en el punto receptor $R(1, -1)$. Sabiendo que la…
Un rayo láser se emite desde el punto $E(1, 5)$ y, tras reflejarse en un espejo plano y paralelo al eje X, impacta en el punto receptor $R(1, -1)$. Sabiendo que la abscisa no cambia y la ordenada de los puntos simétricos equidista del espejo, ¿cuál es la ecuación de la recta que define la posición del espejo?
En una mesa de billar, una bola está en la posición $A(2, 3)$. Un jugador quiere golpearla para que impacte en la banda derecha (situada a lo largo de la recta $x = 8$)…
En una mesa de billar, una bola está en la posición $A(2, 3)$. Un jugador quiere golpearla para que impacte en la banda derecha (situada a lo largo de la recta $x = 8$) y, tras rebotar, golpee a otra bola situada en $B(4, 7)$. Para calcular la trayectoria, utilice el punto simétrico de $B$ respecto a la banda, llamémosle $B'$. Halle las coordenadas de $B'$ y encuentre la ecuación de la recta que une $A$ con $B'$. ¿En qué punto exacto $P$ de la banda rebotará la bola?
Una pieza triangular de un mosaico histórico con un vértice en $P(2, 6)$ se ha desprendido y, al caer, ha girado exactamente $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor…
Una pieza triangular de un mosaico histórico con un vértice en $P(2, 6)$ se ha desprendido y, al caer, ha girado exactamente $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor de un punto desconocido $C(x, y)$, quedando el vértice en la nueva posición $P'(-4, 4)$. Sabiendo que en un giro de $90^\circ$ antihorario alrededor del origen un vector $(a, b)$ se transforma en $(-b, a)$, plantee las ecuaciones correspondientes a la transformación del vector $\vec{CP}$ en $\vec{CP'}$ y resuelva el sistema para hallar las coordenadas del centro de giro $C$.
Volvamos al inicio: el personaje que se desliza, se voltea y gira se mueve con tres reglas de coordenadas. Sumar un vector, cambiar un signo (o usar $2k - x$), o girar con $(-y, x)$. Esas pocas fórmulas son todo lo que necesita el motor del juego.
Resumen
¡A practicar! 8 ejercicios de nivel medio en este apartado