La recta de regresión de mínimos cuadrados

Observe las siguientes nubes de puntos que representan la relación entre dos variables estadísticas. Asocie razonadamente cada uno de los valores del coeficiente de correlación de Pearson, $r$, con su gráfico correspondiente:

Valores de $r$: $0,95$; $-0,85$; $0,05$.

Indique, para cada una de las siguientes parejas de variables, si espera que tengan una correlación positiva, negativa o nula:

1. El número de millas recorridas por un carro y el combustible que queda en su tanque.

2. La altura de una persona y su nota en el examen de Matemáticas.

3. Los ingresos mensuales de una familia y el gasto en entretenimiento y cultura.

4. El tiempo que un deportista entrena al día y su marca personal (tiempo empleado) en una carrera.

Dada la siguiente tabla de valores de una variable bidimensional:

1. a) Calcule el centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) Represente los puntos en una pequeña nube de puntos manual y deduzca el signo de la covarianza $\sigma_{xy}$ sin realizar el cálculo completo.

En una distribución bidimensional, se sabe que la media de la variable $X$ es $\bar{x} = 12$ y la media de la variable $Y$ es $\bar{y} = 15$.

1. a) ¿Cuáles son las coordenadas del centro de gravedad de esta distribución?
2. b) Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,8x + a$, calcule el valor de la intersección con el eje y $a$ sabiendo que la recta debe pasar obligatoriamente por el centro de gravedad.

Un grupo de estudiantes de 11.º grado ha realizado un estudio sobre la relación entre el tiempo diario (en horas) que pasan utilizando una conocida red social de videos cortos ($X$) y el porcentaje de batería que les queda en el celular al final del día ($Y$). Los datos obtenidos de 6 compañeros son los siguientes:

a) Calcule el centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.

b) Halle la covarianza $\sigma_{xy}$ y el coeficiente de correlación lineal $r$. Interprete el resultado obtenido en cuanto al signo y la fuerza de la relación.

c) Determine la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

d) Si un estudiante utiliza la red social durante 2,5 horas, ¿qué porcentaje de batería se estima que le quedará? ¿Es fiable esta predicción? Justifique su respuesta basándose en el coeficiente de determinación $r^2$.

Se ha realizado una encuesta a un grupo de adolescentes sobre el número de seguidores que tienen en una plataforma ($X$, en cientos) y el número medio de "me gusta" que reciben por publicación ($Y$). Los datos se resumen en la siguiente tabla:

a) Represente la nube de puntos y trace de forma aproximada a mano alzada la recta de regresión.

b) Calcule los coeficientes de la recta de regresión $y = mx + n$.

c) ¿Cuál es el significado físico de la pendiente $m$ en este contexto?

d) Calcule el coeficiente de determinación $r^2$ y explique qué porcentaje de la variación de los "likes" queda explicado por el número de seguidores.

Un sociólogo analiza la relación entre el tiempo semanal dedicado a videojuegos ($X$, en horas) y la capacidad de concentración en un test específico ($Y$, escala de 0 a 100). Los datos de 10 adolescentes arrojaron los siguientes resultados parciales:

$\sum x_i = 150$; $\sum y_i = 620$; $\sum x_i^2 = 2\,850$; $\sum y_i^2 = 41\,500$; $\sum x_iy_i = 8\,400$.

Se pide:

1. Hallar la covarianza $s_{xy}$ y el coeficiente de correlación $r$.

2. Obtener la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

3. Un estudiante dedica 40 horas semanales a los videojuegos. Calcule su puntuación estimada en el test. Analice si esta estimación es una interpolación o una extrapolación y discuta su validez real en el contexto del problema.

Una empresa de mensajería analizó la relación entre la distancia recorrida (en millas) por sus repartidores en bicicleta ($X$) y el número de calorías quemadas según sus dispositivos inteligentes ($Y$). Tras calcular los parámetros estadísticos, se obtuvieron los siguientes valores:

$\bar{x} = 15 \text{ km}$; $\bar{y} = 480 \text{ kcal}$

$\sigma_x = 4,2$; $\sigma_y = 120$

$\sigma_{xy} = 453,6$

a) Calcule el coeficiente de correlación lineal e indique qué tipo de dependencia existe entre las variables.

b) Halle la recta de regresión de las calorías quemadas ($Y$) en función de la distancia recorrida ($X$).

c) ¿Cuántas calorías se estima que quemará un repartidor que recorre 22 millas?

d) Si un repartidor desea quemar aproximadamente 600 kcal, ¿cuántas millas debería recorrer según la recta de regresión de $X$ sobre $Y$?

Un centro de adopción de mascotas quiere predecir el tiempo que tarda un perro en ser adoptado ($Y$, en días) en función de su edad ($X$, en años). Han recogido datos de 10 perros y han obtenido una correlación de $r = 0,85$. La media de edad es de 4 años y la de días hasta la adopción es de 25 días. La desviación estándar de la edad es de 2 años y la de los días es de 10 días.

a) Obtenga la ecuación de la recta de regresión.

b) Estime cuánto tiempo tardará en ser adoptado un cachorro de 0,5 años.

c) Estime cuánto tiempo tardará un perro sénior de 12 años.

d) De las dos estimaciones anteriores, indique cuál es más confiable y por qué, teniendo en cuenta el rango de los datos originales (edades entre 1 y 8 años).

Un estudio sobre hábitos de estudio en 11.º grado analiza la relación entre el número de horas semanales dedicadas a la lectura, $X$, y la nota obtenida en el examen de Lengua, $Y$. La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es:

$y = 0,65x + 3,2$

1. a) Justifique si la correlación entre ambas variables es positiva o negativa.
2. b) Si un alumno le dedica $8$ horas semanales a la lectura, ¿qué nota se estima que obtendrá en el examen?

Un nutricionista analiza la relación entre el peso de un grupo de adolescentes ($X$, en kg) y su estatura ($Y$, en cm). Los datos recogidos tienen un coeficiente de correlación de $r = 0,92$ y la recta de regresión es $y = 1,4x + 85$.

Explique el significado de la pendiente ($1,4$) en el contexto del problema y valore la confiabilidad de las predicciones que se realicen con esta recta.

Observe la siguiente nube de puntos que relaciona la inversión en I+D ($X$) y el beneficio neto anual ($Y$) de varias empresas tecnológicas:

Sabiendo que la recta de regresión es $y = 2,5x + 10$ y que el coeficiente de correlación es $r = 0,92$:

a) Indique razonadamente si existe una relación fuerte entre la inversión y los beneficios.

b) Si una empresa no invierte nada en I+D ($x = 0$), según el modelo, ¿cuál sería su beneficio estimado? ¿Tiene sentido este valor en la realidad?

c) Explique qué ocurriría con la pendiente de la recta si el coeficiente de correlación fuera negativo.

d) Si multiplicamos todos los valores de los beneficios por 2, ¿cómo cambiaría el valor del coeficiente de correlación $r$? Justifique su respuesta.

En un estudio sobre hábitos de sueño y rendimiento académico, se obtuvieron las siguientes rectas de regresión para las variables $X$ (horas de sueño diarias) e $Y$ (calificación media en el trimestre):

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,65x + 3,2$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 1,15y - 0,45$

a) Sabiendo que ambas rectas se cortan en el centro de gravedad de la distribución, calcule la media de horas de sueño ($\bar{x}$) y la nota media de los estudiantes ($\bar{y}$).

b) Calcule el coeficiente de correlación lineal $r$ a partir de las pendientes de ambas rectas.

c) Indique razonadamente si la correlación es directa o inversa y si es fuerte o débil.

Las calificaciones de 50 estudiantes en Economía ($X$) y Geografía ($Y$) tienen una media de 6,5 en ambas asignaturas. La varianza de Economía es 4 y la de Geografía es 2,25. Se sabe que el coeficiente de correlación es $r = 0,8$.

1. Si un estudiante ha obtenido un 4 en Economía, estime su calificación en Geografía.

2. Si otro estudiante ha obtenido un 9 en Geografía, estime su calificación en Economía utilizando la recta de regresión pertinente.

3. Compare ambas estimaciones y explique por qué no se puede utilizar la misma recta para ambos casos si queremos minimizar el error cuadrático medio.

En un estudio sobre el rendimiento de una nueva criptomoneda, se han analizado las variables $X$ (inversión en publicidad en miles de dólares) e $Y$ (volumen de transacciones diarias en millones de dólares). Tras procesar los datos, se han obtenido las ecuaciones de las dos rectas de regresión:

• Recta de regresión de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 1,24$

• Recta de regresión de $X$ sobre $Y$: $x = 0,92y - 0,15$

Determine razonadamente:

1. El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. El coeficiente de correlación lineal de Pearson ($r$).

3. Si se desea realizar una inversión en publicidad de $\$15\,000$, ¿cuál sería el volumen de transacciones esperado? Justifique la fiabilidad de esta predicción basándose en el coeficiente de determinación.

Un entrenador de atletismo analiza la relación entre la estatura de sus atletas en cm ($X$) y la longitud de su zancada en cm ($Y$). Los datos de 5 atletas son: (160, 110), (170, 120), (175, 125), (180, 132) y (190, 145).

a) Obtenga la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

b) ¿Qué longitud de zancada se esperaría de un atleta que mide 185 cm?

c) Calcule el error de predicción (residuo) para el atleta que mide 180 cm. El error se define como la diferencia entre el valor real y el estimado por la recta: $e = y_i - \hat{y}_i$.

d) Si el coeficiente de correlación fuera $r = 0,98$, ¿qué podría afirmar sobre la confiabilidad de las predicciones del entrenador?

En una tabla de contingencia que relaciona el nivel de estudios ($X$) y los ingresos ($Y$) de una muestra, se han perdido algunos datos. Conocemos los siguientes parámetros:

$\bar{x} = 3$; $\bar{y} = 2\,400$; $s_x^2 = 1,2$; $s_y^2 = 160\,000$ y la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 300x + 1\,500$.

1. Calcule el coeficiente de determinación $R^2$ e interprete el porcentaje de la varianza de los ingresos que queda explicada por el nivel de estudios.

2. Si un individuo tiene un nivel de estudios de $X=5$ y sus ingresos reales son de $\$3\,200$, calcule el error de predicción (residuo) que comete la recta.

Se analiza la relación entre el número de horas de luz solar diaria ($X$) y el consumo eléctrico en calefacción ($Y$) en una gran oficina durante 12 meses. Los datos se resumen en:

$\bar{x} = 9$; $\bar{y} = 450$; $s_x = 3,2$; $s_y = 85$ y $s_{xy} = -210$.

1. Calcule la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

2. Calcule la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.

3. Explique el significado del signo de la covarianza en este contexto y determine qué porcentaje de la variabilidad del consumo eléctrico no depende de las horas de sol.

Se ha medido el tiempo de carga de una batería de celular ($X$, en minutos) y el porcentaje de carga alcanzado ($Y$, en %). Los resultados se muestran en el siguiente gráfico:

Si la ecuación de la recta naranja es $y = 0,5x + 10$:

1. a) Estime el porcentaje de carga tras $60$ minutos.
2. b) ¿Es una relación funcional o estadística? Razone su respuesta observando la posición de los puntos respecto a la línea.

Una empresa de mensajería sabe que el costo de un envío, $Y$ (en dólares), depende del peso del paquete, $X$ (en lb), según la recta de regresión $y = 2,5x + 5$.

Si el coeficiente de correlación es $r = 0,98$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

1. Por cada libra de aumento en el peso, el costo aumenta exactamente $2,5$ dólares.

2. Las predicciones hechas para paquetes de un peso similar a los estudiados serán muy confiables.

3. Si un paquete pesa $0$ lb, el costo será obligatoriamente de $0$ dólares.

4. La relación entre el peso y el costo es inversa.

Dada la siguiente nube de puntos correspondiente a las variables $X$ (antigüedad de un carro en años) e $Y$ (valor de mercado en miles de dólares), se ha trazado la recta de regresión de $Y$ sobre $X$. Se observa que existe un punto atípico en las coordenadas $(1, 2)$.

1. Si eliminamos dicho punto de la serie de datos, ¿qué esperaría que ocurriera con el valor absoluto del coeficiente de correlación? ¿Y con la pendiente de la recta de regresión?

2. Si la recta original es $y = -1,5x + 20$, calcule el valor estimado para un carro de 10 años y argumente sobre la idoneidad de usar este modelo para carros de más de 15 años.

Se ha estudiado la relación entre el precio de una suscripción mensual a una plataforma de música ($X$, en dólares) y el número de horas que los usuarios escuchan música al mes ($Y$). Se conoce que:

• La varianza de $X$ es $\sigma_x^2 = 4$.

• La varianza de $Y$ es $\sigma_y^2 = 25$.

• La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -1,2x + 42$.

a) Determine la covarianza $\sigma_{xy}$ entre ambas variables.

b) Calcule el coeficiente de correlación lineal $r$.

c) ¿Cómo variaría el coeficiente de correlación si decidiéramos expresar el tiempo de escucha en minutos en lugar de horas? Razone su respuesta.

Un equipo de marketing estudia la relación entre los "likes" obtenidos en una publicación de Instagram ($X$) y las ventas generadas de un producto ($Y$). Han observado que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,04x + 150$. Sin embargo, se dan cuenta de que los datos de ventas estaban registrados sin el impuesto sobre las ventas (21%).

Si definimos una nueva variable $Y' = 1,21Y$ para incluir el impuesto:

1. ¿Cuál será la nueva ecuación de la recta de regresión de $Y'$ sobre $X$?

2. ¿Cómo se verá afectado el coeficiente de correlación de Pearson original? Justifique su respuesta basándose en las propiedades de las transformaciones lineales en estadística.

Dada una distribución bidimensional donde el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,81$, se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ tiene una pendiente positiva y pasa por los puntos $(2, 5)$ y $(6, 11)$.

1. Calcule el coeficiente de correlación de Pearson.

2. Determine la varianza de la variable $Y$ si sabemos que la desviación típica de $X$ es $s_x = 2,5$.

3. Encuentre la ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.