Técnicas de conteo
El código de desbloqueo de tu celular tiene 4 dígitos. Un ladrón agarra tu celular y tiene exactamente un intento. ¿Qué tan probable es que logre entrar? Para responder, necesitas saber cuántos códigos son posibles, y listarlos uno por uno tomaría una eternidad. Esta página te da las herramientas para contar sin listar y luego convertir esos conteos en probabilidades.
El principio de multiplicación y los diagramas de árbol
Supón que armas un atuendo eligiendo una sudadera con capucha (3 colores) y luego unos tenis (2 estilos: altos o bajos). Cada sudadera se puede combinar con cada par de tenis. Dibújalo como un diagrama de árbol (tree diagram): cada camino de izquierda a derecha es un atuendo.
¿Por qué funciona? Cada opción de la etapa 1 inicia su propia copia de las ramas de la etapa 2, así que sumas $n_2$ ramas un total de $n_1$ veces. Eso es multiplicar.
Para describir un espacio muestral, escribe cada resultado como una lista ordenada, como (panda, verde). El principio te dice cuántos elementos tendrá esa lista antes de que la escribas.
Una plataforma de streaming* permite personalizar el perfil de usuario eligiendo un avatar entre 4 animales distintos (león, panda, gato y lobo) y un color de fondo…
Una plataforma de streaming permite personalizar el perfil de usuario eligiendo un avatar entre 4 animales distintos (león, panda, gato y lobo) y un color de fondo entre 3 opciones (azul, verde y naranja).
- a) Describe el espacio muestral $E$ de las posibles combinaciones de perfil.
- b) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? Utiliza el principio multiplicativo para justificarlo.
En el menú de la cafetería de tu escuela secundaria puedes elegir un primer plato entre ensalada, pasta o arroz; un segundo entre pollo o pescado; y un postre entre…
En el menú de la cafetería de tu escuela secundaria puedes elegir un primer plato entre ensalada, pasta o arroz; un segundo entre pollo o pescado; y un postre entre fruta o yogur.
- a) Representa mediante un diagrama de árbol todas las opciones posibles de menú completo.
- b) Si eliges un menú al azar, ¿cuál es la probabilidad de que incluya "pasta" de primero?
Cuando el orden importa: permutaciones
Supón que eliges varios elementos y el orden cambia el resultado (las medallas de oro, plata y bronce; un código). Entonces estás contando arreglos. Hay dos casos, según si un elemento se puede usar otra vez.
La fórmula sin repetición sale directamente del principio de multiplicación: una vez que se usa un elemento, ya no está, así que cada posición tiene una opción menos que la anterior.
Un candado de combinación para una taquilla tiene un código de 3 cifras. Cada cifra puede ser un número del $1$ al $5$. a) ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden…
Un candado de combinación para una taquilla tiene un código de 3 cifras. Cada cifra puede ser un número del $1$ al $5$.
- a) ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden crear si los números se pueden repetir?
- b) ¿Cuántas combinaciones hay si los tres números deben ser distintos?
En un torneo local de ajedrez participan 8 jugadores. Se van a repartir tres trofeos diferentes para el primer, segundo y tercer clasificado. a) ¿De cuántas formas…
En un torneo local de ajedrez participan 8 jugadores. Se van a repartir tres trofeos diferentes para el primer, segundo y tercer clasificado.
- a) ¿De cuántas formas distintas pueden repartirse los tres premios?
- b) Si el campeón del año pasado vuelve a participar y estamos seguros de que quedará entre los tres primeros, ¿cuántas clasificaciones de podio son posibles ahora?
Una plataforma de contenido en streaming* utiliza un código de seguridad para el control parental. El código consta de 2 letras (de un alfabeto de 26, sin la Ñ) seguidas…
Una plataforma de contenido en streaming utiliza un código de seguridad para el control parental. El código consta de 2 letras (de un alfabeto de 26, sin la Ñ) seguidas de 3 dígitos (del 0 al 9).
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a) ¿Cuántos códigos diferentes se pueden crear si se pueden repetir letras y números?
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b) Si un usuario olvida su código pero recuerda que empieza por la letra "A" y termina en el número "7", ¿cuántas combinaciones posibles tendría que probar?
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c) Si el código se generase de forma aleatoria sin permitir repetición de ningún carácter (letras o números), ¿cuál sería la probabilidad de que el código fuera "BX123"?
Formar una fila: factoriales y restricciones
Si acomodas a todas las $n$ personas en una fila, la fórmula da ${}_nP_n = n!$. Por ejemplo, 5 personas pueden sentarse de $5! = 120$ maneras.
Cuando un problema agrega una condición, usa una de estas estrategias.
Cinco amigos (Isabella, Mateo, Sofía, David y Elena) van al cine y se sientan en una fila de cinco butacas consecutivas. a) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse…
Cinco amigos (Isabella, Mateo, Sofía, David y Elena) van al cine y se sientan en una fila de cinco butacas consecutivas.
- a) ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse en la fila?
- b) Si deciden que Isabella y Mateo deben sentarse siempre en los dos extremos de la fila, ¿cuántas disposiciones diferentes son posibles ahora?
Un diseñador de moda está creando una colección cápsula. Para el desfile final, tiene que organizar a 6 modelos en una fila única. a) ¿De cuántas formas distintas pueden…
Un diseñador de moda está creando una colección cápsula. Para el desfile final, tiene que organizar a 6 modelos en una fila única.
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a) ¿De cuántas formas distintas pueden desfilar las 6 modelos?
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b) Si entre las modelos hay dos que son hermanas y el diseñador insiste en que deben desfilar una inmediatamente después de la otra, ¿de cuántas formas se puede organizar ahora la fila?
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c) Si el diseñador decide que las dos hermanas no pueden estar juntas en ningún caso, ¿cuántas opciones tiene?
Cuando el orden no importa: combinaciones
A veces eliges un grupo y el orden es irrelevante: un comité, el quinteto titular, una lista de canciones favoritas. Cambiar de lugar a dos miembros da el mismo grupo, así que no debes contar ambos órdenes.
Veamos por qué. El conteo de permutaciones ${}_nP_r$ cuenta cada grupo $r!$ veces, una por cada manera de ordenarlo. Divide entre $r!$ para contar cada grupo una sola vez.
Para contar un grupo con una mezcla de tipos, cuenta cada tipo por separado y multiplica.
Un grupo de música tiene preparadas 10 canciones para su nuevo álbum, pero la discográfica les dice que solo pueden incluir 4 de ellas. a) ¿Cuántas selecciones…
Un grupo de música tiene preparadas 10 canciones para su nuevo álbum, pero la discográfica les dice que solo pueden incluir 4 de ellas.
- a) ¿Cuántas selecciones diferentes de 4 canciones pueden hacer si no importa el orden en el que se elijan?
- b) ¿Cómo se llaman este tipo de agrupaciones en combinatoria? Justifica tu respuesta.
Un grupo de 12 estudiantes de 11.º grado ha sido seleccionado para asistir a un congreso sobre sostenibilidad. La escuela debe elegir a 4 de ellos para formar una…
Un grupo de 12 estudiantes de 11.º grado ha sido seleccionado para asistir a un congreso sobre sostenibilidad. La escuela debe elegir a 4 de ellos para formar una comisión de portavoces.
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a) ¿De cuántas formas diferentes se puede elegir la comisión si no hay distinción de cargos?
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b) Si entre los 12 estudiantes hay 7 chicas y 5 chicos, ¿cuál es la probabilidad de que la comisión esté formada exactamente por 2 chicos y 2 chicas?
En un torneo de debate interescolar participan $12$ estudiantes: $7$ chicas y $5$ chicos. Para la fase final, se debe elegir un equipo de $4$ representantes de forma…
En un torneo de debate interescolar participan $12$ estudiantes: $7$ chicas y $5$ chicos. Para la fase final, se debe elegir un equipo de $4$ representantes de forma aleatoria. Calcule la probabilidad de que el equipo elegido cumpla simultáneamente que:
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Haya representación de ambos sexos.
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El número de chicas sea estrictamente mayor que el de chicos.
Contar para hallar probabilidades
Cuando todos los resultados son igualmente probables, la probabilidad teórica de un evento es el número de resultados favorables dividido entre el número de resultados posibles:
$$P(A) = \frac{\text{número de resultados favorables}}{\text{número de resultados posibles}}$$Las herramientas de conteo anteriores te dan ambos números cuando las listas son demasiado largas para escribirlas.
Recuerda la notación de eventos. $A \cup B$ ("$A$ o $B$") significa que ocurre al menos uno. $A \cap B$ ("$A$ y $B$") significa que ocurren ambos. $\overline{A}$ ("no $A$", también escrito $A'$) significa que $A$ no ocurre.
En una clase de 11.º grado hay 30 alumnos. Se sabe que 18 de ellos han aprobado el último examen de Matemáticas y 12 han aprobado el de Inglés. Si hay 5 alumnos que han…
En una clase de 11.º grado hay 30 alumnos. Se sabe que 18 de ellos han aprobado el último examen de Matemáticas y 12 han aprobado el de Inglés. Si hay 5 alumnos que han aprobado ambas asignaturas:
- a) Calcula la probabilidad de que, al elegir un alumno al azar, este haya aprobado Matemáticas o Inglés.
- b) Calcula la probabilidad de que no haya aprobado ninguna de las dos asignaturas.
Se extrae una bola de una urna que contiene 10 bolas numeradas del $1$ al $10$. Consideramos los siguientes sucesos: $A = \text{"Obtener un número primo"}$…
Se extrae una bola de una urna que contiene 10 bolas numeradas del $1$ al $10$. Consideramos los siguientes sucesos:
$A = \text{"Obtener un número primo"}$
$B = \text{"Obtener un múltiplo de 3"}$
- a) Escribe los elementos que forman los sucesos $A \cup B$ y $A \cap B$.
- b) Calcula las probabilidades $P(A)$, $P(B)$ y $P(A \cup B)$ aplicando la Regla de Laplace.
Restricciones en rachas: "no tres seguidos"
Algunos problemas de conteo prohíben un patrón de vecinos. Una empresa de logística imprime códigos de barras con franjas negras, grises o blancas. Sin ninguna regla, cada franja tiene 3 opciones, así que un código con $n$ franjas tiene $3^n$ posibilidades (para 10 franjas, $3^{10} = 59{,}049$).
Ahora agrega la regla: no puede haber tres franjas consecutivas del mismo color. El principio de multiplicación por sí solo ya no sirve, porque el número de colores permitidos para la siguiente franja depende de las franjas anteriores:
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Si las dos últimas franjas son diferentes, la siguiente puede ser de cualquiera de los $3$ colores.
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Si las dos últimas franjas son iguales, la siguiente debe ser distinta: solo $2$ colores.
Entonces, lleva la cuenta de cómo termina cada código parcial. Sea $S_n$ el número de códigos válidos de longitud $n$ cuyas dos últimas franjas son diferentes (o $n = 1$), y $D_n$ el número de los que tienen las dos últimas franjas iguales. Sea $T_n = S_n + D_n$ el total.
La última fórmula sale de $T_n = S_n + D_n = 2T_{n-1} + S_{n-1}$ y $S_{n-1} = 2T_{n-2}$.
Si sigues de la misma manera, obtienes $T_7 = 1{,}344$, $T_8 = 3{,}672$, $T_9 = 10{,}032$ y $T_{10} = 27{,}408$ códigos válidos de 10 franjas.
Muchas preguntas se refieren a todos los $3^{10}$ códigos, no solo a los válidos. Para un patrón específico, usa el principio de multiplicación en cada posición. Por ejemplo, si las 5 posiciones impares son todas negras (1 opción cada una) y las 5 posiciones pares son blancas o grises (2 opciones cada una), hay $1^5 \cdot 2^5 = 32$ códigos así, por lo que $P = \dfrac{32}{59{,}049}$ entre todos los códigos sin restricción. Un patrón alternado así nunca tiene tres iguales seguidos, de modo que todos esos códigos también son válidos.
Una empresa de logística organiza sus rutas utilizando un código de barras de $10$ franjas verticales. Cada franja puede ser de color negro, gris o blanco. Por motivos…
Una empresa de logística organiza sus rutas utilizando un código de barras de $10$ franjas verticales. Cada franja puede ser de color negro, gris o blanco. Por motivos de legibilidad del escáner, no se permiten códigos donde haya tres franjas consecutivas del mismo color.
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¿Cuántos códigos diferentes de $10$ franjas se pueden formar en total (sin restricciones)?
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Si se elige un código al azar entre todos los posibles (sin restricciones), ¿cuál es la probabilidad de que las franjas en las posiciones impares sean todas negras y las de las posiciones pares sean todas blancas o grises?
Con reemplazo y sin reemplazo
Cuando sacas varios elementos, importa si devuelves cada uno o no.
Pruébalo: saca bolas de la urna de abajo, con y sin devolverlas, y observa cómo cambian los resultados.
El conteo también sirve para "el 2.º éxito llega en la 3.ª extracción".
Las probabilidades de conteo también pueden llevar a una ecuación. Como ${}_nC_2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$, a menudo obtienes una ecuación cuadrática.
En una caja de herramientas hay 5 destornilladores de estrella y 3 de punta plana. Se eligen 2 destornilladores al azar, uno tras otro y sin devolver el primero a la…
En una caja de herramientas hay 5 destornilladores de estrella y 3 de punta plana. Se eligen 2 destornilladores al azar, uno tras otro y sin devolver el primero a la caja.
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a) Calcula la probabilidad de que los dos sean del mismo tipo.
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b) Calcula la probabilidad de que el segundo sea de punta plana sabiendo que el primero fue de estrella.
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c) Si el experimento se hiciera con devolución (reemplazamiento), ¿cómo cambiaría la probabilidad de la parte a)?
En una caja de herramientas hay $15$ focos LED, de los cuales se sabe que $3$ están defectuosos. Si se extraen $4$ focos uno a uno y sin devolución: 1. Calcule la…
En una caja de herramientas hay $15$ focos LED, de los cuales se sabe que $3$ están defectuosos. Si se extraen $4$ focos uno a uno y sin devolución:
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Calcule la probabilidad de que el cuarto foco extraído sea el segundo defectuoso que aparece en el proceso.
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Si las extracciones se hiciesen con devolución, ¿cambiaría la probabilidad anterior? Justifique la respuesta utilizando técnicas de recuento.
Una urna contiene $n$ bolas blancas y $6$ bolas rojas. Se extraen dos bolas simultáneamente (o sucesivamente sin devolución). Si se sabe que la probabilidad de que las…
Una urna contiene $n$ bolas blancas y $6$ bolas rojas. Se extraen dos bolas simultáneamente (o sucesivamente sin devolución). Si se sabe que la probabilidad de que las dos bolas sean blancas es igual a $1/3$, determina el número total de bolas que hay en la urna. (Nota: deberás plantear una ecuación combinatoria y resolverla para hallar el valor de $n$).
Probabilidad condicional y tablas de doble entrada
A veces sabes algo adicional sobre el resultado. Entonces el espacio muestral se reduce a los resultados donde ese hecho es verdadero.
Una tabla de doble entrada (two-way table) lo hace fácil. La condición "dado" te dice qué fila o columna mirar, y el denominador es el total de esa fila o columna. Aquí hay 100 estudiantes clasificados según si tienen un trabajo de medio tiempo y si practican un deporte.
| Practica un deporte | No practica deporte | Total | |
|---|---|---|---|
| Tiene trabajo | 18 | 22 | 40 |
| No tiene trabajo | 42 | 18 | 60 |
| Total | 60 | 40 | 100 |
Dado que tienen un trabajo, 18 de los 40 que trabajan practican un deporte, así que $P(\text{deporte} \mid \text{trabajo}) = \dfrac{18}{40} = 0.45$. En el otro sentido, $P(\text{trabajo} \mid \text{deporte}) = \dfrac{18}{60} = 0.30$. No son iguales, porque los denominadores son distintos.
Los porcentajes también sirven. Elige un total conveniente (100 o 1,000) y llena la tabla.
También puedes trabajar con probabilidades en lugar de conteos. La parte de $A$ fuera de $B$ tiene probabilidad $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$.
Se ha realizado una encuesta a 200 jóvenes sobre sus hábitos de lectura y uso de redes sociales. Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia: | | Lee…
Se ha realizado una encuesta a 200 jóvenes sobre sus hábitos de lectura y uso de redes sociales. Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia:
| Lee habitualmente | No lee habitualmente | Total | |
|---|---|---|---|
| Usa TikTok > 2h/día | 35 | 85 | 120 |
| Usa TikTok < 2h/día | 55 | 25 | 80 |
| Total | 90 | 110 | 200 |
Si elegimos un joven al azar de esta encuesta, calcula:
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a) La probabilidad de que lea habitualmente y use TikTok menos de 2 horas al día.
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b) Sabiendo que el joven lee habitualmente, ¿cuál es la probabilidad de que use TikTok más de 2 horas al día?
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c) ¿Son los sucesos "Leer habitualmente" y "Usar TikTok más de 2 horas al día" independientes? Justifica la respuesta matemáticamente.
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que conocemos sus probabilidades: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cap B) = 0,2$. Calcula las siguientes…
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que conocemos sus probabilidades: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cap B) = 0,2$.
Calcula las siguientes probabilidades utilizando las propiedades de la probabilidad:
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a) $P(A \cup B)$
-
b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (Probabilidad de que no ocurra ni A ni B).
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c) $P(A | \bar{B})$ (Probabilidad de A condicionado a que no ocurra B).
Un analista de datos estudia el comportamiento de los usuarios en una plataforma de streaming. Dispone de la siguiente información sobre una muestra de $500$ usuarios:…
Un analista de datos estudia el comportamiento de los usuarios en una plataforma de streaming. Dispone de la siguiente información sobre una muestra de $500$ usuarios:
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El $65\%$ son menores de $25$ años.
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El $40\%$ de los usuarios utiliza la plataforma principalmente para ver documentales.
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Entre los que no ven documentales, el $70\%$ son menores de $25$ años.
Si se selecciona un usuario al azar y resulta ser menor de $25$ años, calcule la probabilidad de que su preferencia principal sean los documentales. Utilice una tabla de contingencia para organizar la información.
Diagramas de árbol y probabilidad total
Cuando los eventos ocurren en etapas y las probabilidades posteriores dependen de los resultados anteriores, un árbol de probabilidades mantiene todo organizado. Pon las probabilidades de la primera etapa en las primeras ramas. En las segundas ramas, pon las probabilidades condicionales, dada la rama en la que estás.
Fíjate en lo que pasó en el último paso. Saber que el juego se canceló subió la probabilidad de lluvia de 0.3 a 0.75, porque la mayoría de las cancelaciones vienen del camino de "lluvia".
En una liga de baloncesto local, se ha analizado la efectividad de los lanzamientos de tres puntos de un jugador. Se sabe que si anota el primer triple, la probabilidad…
En una liga de baloncesto local, se ha analizado la efectividad de los lanzamientos de tres puntos de un jugador. Se sabe que si anota el primer triple, la probabilidad de anotar el segundo es de $0,7$. Sin embargo, si falla el primero, la probabilidad de anotar el segundo es solo de $0,4$. Se sabe que la probabilidad de anotar el primer triple de un partido es de $0,5$.
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a) Dibuja el diagrama de árbol asociado al experimento de lanzar dos triples consecutivos.
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b) Calcula la probabilidad de que el jugador anote exactamente uno de los dos lanzamientos.
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c) Si sabemos que el jugador ha fallado el segundo lanzamiento, ¿cuál es la probabilidad de que hubiera anotado el primero?
Una empresa tecnológica fabrica auriculares inalámbricos en dos plantas, una en Estados Unidos y otra en Vietnam. La planta de Estados Unidos produce el $40\%$ del total…
Una empresa tecnológica fabrica auriculares inalámbricos en dos plantas, una en Estados Unidos y otra en Vietnam. La planta de Estados Unidos produce el $40\%$ del total y Vietnam el resto. Se ha detectado que el $3\%$ de los auriculares de Estados Unidos tienen fallos de conexión, mientras que en la planta de Vietnam este fallo aparece en el $6\%$ de la producción.
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a) Si compramos unos auriculares al azar, ¿cuál es la probabilidad de que funcionen correctamente?
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b) Si compramos unos auriculares y resultan tener fallos de conexión, ¿cuál es la probabilidad de que hayan sido fabricados en la planta de Estados Unidos?
¿Son independientes dos eventos?
Dos eventos son independientes si saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad del otro.
Piensa en un cuadrado unitario. Si $A$ ocupa la mitad del ancho y $B$ ocupa un quinto de la altura, la intersección de dos eventos independientes es el producto de las dos fracciones.
La independencia también explica el reemplazo. Las extracciones con reemplazo son independientes, mientras que las extracciones sin reemplazo son dependientes.
Se sabe que en una determinada ciudad el $20\%$ de los días llueve ($LL$), el $10\%$ hace mucho viento ($V$) y el $5\%$ se dan ambas condiciones simultáneamente. 1.…
Se sabe que en una determinada ciudad el $20\%$ de los días llueve ($LL$), el $10\%$ hace mucho viento ($V$) y el $5\%$ se dan ambas condiciones simultáneamente.
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Calcule la probabilidad de que en un día elegido al azar no llueva y no haga viento.
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Sabiendo que un día no ha llovido, ¿cuál es la probabilidad de que hiciera mucho viento?
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¿Son los sucesos "llover" y "hacer mucho viento" independientes? Demuéstrelo matemáticamente.
Conteos más difíciles: "al menos" y "exactamente"
Los problemas de "al menos uno" y "al menos dos" tienen muchos casos. Cuenta mejor el complemento.
Para exactamente $k$ éxitos en $n$ intentos independientes, cada uno con probabilidad de éxito $p$, primero elige cuáles $k$ intentos son exitosos. Cada patrón tiene la misma probabilidad.
$$P(\text{exactamente } k) = {}_nC_k \cdot p^k (1-p)^{n-k}$$Este es el comienzo de la distribución binomial, que tendrá su propia página más adelante.
Un sistema de seguridad informática requiere que las contraseñas tengan exactamente $8$ caracteres. Estos deben elegirse entre las $26$ letras del alfabeto (sin…
Un sistema de seguridad informática requiere que las contraseñas tengan exactamente $8$ caracteres. Estos deben elegirse entre las $26$ letras del alfabeto (sin distinguir mayúsculas de minúsculas) y los $10$ dígitos numéricos ($0-9$). Una contraseña se considera "robusta" si contiene al menos dos dígitos numéricos y no repite ningún carácter. Si un programa genera una contraseña aleatoria que cumple la condición de no repetir caracteres, calcule la probabilidad de que esta sea "robusta".
Un examen de opción múltiple consta de $5$ preguntas con $4$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado nada…
Un examen de opción múltiple consta de $5$ preguntas con $4$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado nada decide responder al azar. Sin embargo, tiene una estrategia: para cada pregunta, descarta una de las opciones que sabe con seguridad que es falsa (por ser absurda) y elige al azar entre las tres restantes.
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Calcula la probabilidad de que obtenga exactamente $3$ aciertos.
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¿Cuál es la probabilidad de que acierte al menos una pregunta?
De vuelta al inicio: un código de 4 dígitos con repetición permitida tiene $10^4 = 10{,}000$ posibilidades, así que un ladrón entra en un solo intento con probabilidad de apenas $\frac{1}{10{,}000}$.