Marcus está parado en la orilla de un lago en un parque estatal de Míchigan, en el punto $C$. Puede medir la distancia hasta el muelle $A$ (240 ft) y hasta el muelle $B$ (310 ft), y también el ángulo entre sus dos líneas de visión ($52^\circ$). No puede cruzar el agua caminando. ¿A qué distancia están los muelles entre sí?
La ley de senos necesita un lado y su ángulo opuesto, y Marcus no tiene ese par. Tiene dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Para esa situación, y para los triángulos de los que conoces los tres lados, necesitas la ley de cosenos.
La ley de cosenos
Rotula todos los triángulos de la forma estándar: cada lado lleva la letra minúscula del vértice al que es opuesto. Así, el lado $a$ es opuesto al ángulo $A$, el lado $b$ al ángulo $B$ y el lado $c$ al ángulo $C$.
Compárala con el teorema de Pitágoras. Si $C = 90^\circ$, entonces $\cos C = 0$ y el término extra desaparece: $c^2 = a^2 + b^2$. La ley de cosenos es el teorema de Pitágoras más una corrección para los ángulos que no son rectos.
Cuándo usarla:
Conoces
Usa
Obtienes
dos lados y el ángulo comprendido (LAL)
Ley de cosenos
el tercer lado
los tres lados (LLL)
Ley de cosenos
cualquier ángulo
un ángulo y su lado opuesto
Ley de senos
las demás partes
Intenta plantear tú mismo la fórmula.
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ pulgadas, $b=12$ pulgadas y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantee el teorema del coseno para calcular el valor…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ pulgadas, $b=12$ pulgadas y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantee el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado $c$.
Cómo hallar un lado: dos lados y el ángulo comprendido
Si conoces dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), sustituye en la fórmula. El resultado es $c^2$, así que termina sacando la raíz cuadrada.
Eso responde la pregunta del inicio. La distancia de 249 ft es menor que $\sqrt{310^2 + 240^2} \approx 392$ ft, como debe ser con un ángulo agudo.
Para respuestas exactas necesitas los cosenos de los ángulos especiales. Recuerda que para ángulos suplementarios, $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$.
Practica★☆☆Sin empezar
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ pulgadas, $c=8$ pulgadas y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcule la longitud del lado $a$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ pulgadas, $c=8$ pulgadas y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcule la longitud del lado $a$.
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 pulgadas cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcule el valor exacto del lado $c$ dejando el…
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 pulgadas cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcule el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado con radicales.
Si conoces los tres lados (LLL), despeja el coseno del ángulo que quieres y luego usa $\cos^{-1}$.
Solo se resta el cuadrado del lado opuesto al ángulo. Si el resultado es positivo, el ángulo es agudo. Si es negativo, el ángulo es obtuso.
Esto también sirve para problemas de "ángulo de visión". Si estás a 20 ft de un extremo de una pancarta y a 24 ft del otro extremo, y la pancarta mide 10 ft de ancho, el ángulo con el que la ves es el ángulo opuesto al lado de 10 ft.
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En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ pulgadas, $b=5$ pulgadas y $c=7$ pulgadas. Calcule la amplitud del ángulo $C$.
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ pulgadas, $b=5$ pulgadas y $c=7$ pulgadas. Calcule la amplitud del ángulo $C$.
Siempre que puedas medir dos distancias y el ángulo entre ellas, pero no la tercera distancia, tienes un triángulo LAL: topografía, navegación, satélites o composición de fuerzas.
Rumbos
Un rumbo (bearing) es un ángulo medido en el sentido de las agujas del reloj a partir del norte, escrito con tres dígitos. Un rumbo de $040^\circ$ significa $40^\circ$ al este del norte. El ángulo entre dos trayectorias que salen del mismo punto es la diferencia de sus rumbos.
Composición de fuerzas
Dos fuerzas $F_1$ y $F_2$ tiran del mismo punto y forman un ángulo $\theta$ entre ellas. La resultante $R$ es la diagonal del paralelogramo que forman. El triángulo $O$-$P$-$R$ usa $F_1$ y una copia de $F_2$ colocada cola con punta, así que el ángulo dentro del triángulo es $180^\circ - \theta$, no $\theta$.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcule la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ pies y $CB = 20$…
Calcule la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ pies y $CB = 20$ pies, y el ángulo visual $ACB$ es de $40^\circ$.
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ mph con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ mph con un rumbo de…
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ mph con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ mph con un rumbo de $115^\circ$. ¿Qué distancia en línea recta los separa después de 1,5 horas de vuelo?
Dos fuerzas de 45 N y 60 N actúan sobre un mismo punto material formando un ángulo de $50^\circ$ entre sí. Calcule la magnitud de la fuerza resultante.
Dos fuerzas de 45 N y 60 N actúan sobre un mismo punto material formando un ángulo de $50^\circ$ entre sí. Calcule la magnitud de la fuerza resultante.
Muchas figuras geométricas esconden un triángulo en el que conoces dos lados y el ángulo comprendido. El truco es encontrar ese triángulo.
Diagonales de un paralelogramo
Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios, así que un paralelogramo con un ángulo de $70^\circ$ también tiene ángulos de $110^\circ$. Cada diagonal es el lado opuesto a uno de esos ángulos en un triángulo formado por dos lados adyacentes.
Diagonales que se cortan con un ángulo conocido
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. Si conoces las diagonales y el ángulo en que se cruzan, trabaja con las mitades de las diagonales. (El ejercicio de este tema llama a la figura romboide: un paralelogramo cuyos lados adyacentes son desiguales y cuyos ángulos no son rectos.) Los dos ángulos de cruce son $\theta$ y $180^\circ - \theta$, así que aparecen dos longitudes de lado distintas.
Cuerdas de una circunferencia
Dos radios y una cuerda forman un triángulo isósceles, con el ángulo central entre los dos lados iguales. Para un radio $r$ y un ángulo central $\theta$:
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 pulgadas y 6 pulgadas. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcule la longitud de la diagonal…
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 pulgadas y 6 pulgadas. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcule la longitud de la diagonal mayor.
Las diagonales de un romboide miden 12 pulgadas y 16 pulgadas, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcule la longitud de los cuatro lados del romboide.
Las diagonales de un romboide miden 12 pulgadas y 16 pulgadas, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcule la longitud de los cuatro lados del romboide.
En una circunferencia de 10 pulgadas de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcule la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno…
En una circunferencia de 10 pulgadas de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcule la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno en el triángulo formado por los radios y la cuerda.
A veces la incógnita está escondida en una expresión como $x$, $x+1$, $x+2$, o tienes que demostrar que una relación se cumple en todos los triángulos. La ley de cosenos se convierte en una ecuación o en una herramienta algebraica.
Cómo relacionar una expresión algebraica con un ángulo
Si un problema da una relación como $a^2 = b^2 + c^2 + k\,bc$, compárala término a término con $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$. Los coeficientes de $bc$ deben coincidir, así que $-2\cos A = k$ y $\cos A = -\tfrac{k}{2}$. Por ejemplo, $a^2 = b^2 + c^2 + bc$ da $\cos A = -\tfrac12$, así que $A = 120^\circ$. Usa la tabla de valores exactos para leer el ángulo.
Perímetro conocido y un ángulo
Cuando conoces un lado $c$, el ángulo opuesto $C$ y el perímetro, conoces $a + b$. Reescribe los cuadrados usando $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
Cómo demostrar relaciones
Para demostrar algo que se cumple en todos los triángulos, escribe la ley de cosenos para dos o tres lados y combina las ecuaciones.
Practica★★★Sin empezar
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantee la ecuación correspondiente, determine el valor…
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantee la ecuación correspondiente, determine el valor de $x$ y las longitudes exactas de los tres lados.
Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ pulgadas y un perímetro constante $p = 26$ pulgadas. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de…
Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ pulgadas y un perímetro constante $p = 26$ pulgadas. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de ecuaciones y halla las longitudes exactas de los otros dos lados $a$ y $b$.
En los problemas más difíciles, un solo triángulo no basta. Busca un segmento que pertenezca a dos triángulos. La ley de cosenos en cada triángulo da dos expresiones para la misma cantidad, o un ángulo de un triángulo que puedes usar en el otro.
Una mediana
La mediana va de un vértice al punto medio del lado opuesto. Primero halla un ángulo del triángulo completo y luego reutilízalo en el triángulo menor que contiene la mediana.
Un cuadrilátero cíclico
Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos son suplementarios: $B + D = 180^\circ$. Por tanto, $\cos D = -\cos B$. Usa la diagonal $AC$ como lado compartido de los triángulos $ABC$ y $ADC$.
Dos circunferencias que se cortan
La recta que pasa por los centros es la mediatriz de la cuerda común. En el triángulo formado por los dos centros y un punto de intersección $P$, la ley de cosenos da un ángulo. Entonces la altura desde $P$ hasta la recta de los centros es la mitad de la cuerda.
Diagonales de un cubo
En un cubo de arista $a$, la diagonal de una cara es $a\sqrt2$ (teorema de Pitágoras), y la diagonal espacial es $\sqrt{a^2 + (a\sqrt2)^2} = a\sqrt3$. Dos diagonales espaciales se cruzan en el centro del cubo, y cada una queda dividida en mitades de longitud $\tfrac{a\sqrt3}{2}$. Esas dos mitades y una arista del cubo forman un triángulo que puedes resolver con la ley de cosenos.
Practica★★★Sin empezar
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ pulgadas, $b=10$ pulgadas y $c=12$ pulgadas. Calcule la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ pulgadas, $b=10$ pulgadas y $c=12$ pulgadas. Calcule la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio del lado $a$.
Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ pulgadas, $BC=4$ pulgadas, $CD=5$ pulgadas y $DA=6$ pulgadas. Teniendo en cuenta las…
Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ pulgadas, $BC=4$ pulgadas, $CD=5$ pulgadas y $DA=6$ pulgadas. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico, plantee un sistema utilizando el teorema del coseno en los triángulos $ABC$ y $ADC$ para calcular la longitud exacta de la diagonal $AC$.
Dos circunferencias de radios 5 pulgadas y 8 pulgadas se cortan en dos puntos. La distancia entre sus centros es de 10 pulgadas. Calcula la longitud de la cuerda común a…
Dos circunferencias de radios 5 pulgadas y 8 pulgadas se cortan en dos puntos. La distancia entre sus centros es de 10 pulgadas. Calcula la longitud de la cuerda común a ambas circunferencias. (Sugerencia: Usa el teorema del coseno para hallar el ángulo central en el triángulo formado por los radios y la línea de centros, y a partir de ahí obtén la altura del triángulo).