La fórmula de la distancia
En el mapa de un videojuego, tu personaje está en $(1, 2)$ y un cofre del tesoro está en $(13, 7)$. ¿A qué distancia en línea recta está el cofre? Las aplicaciones de GPS, las pantallas de radar y los motores de videojuegos responden este tipo de pregunta todo el tiempo, y en el plano cartesiano siempre usan la misma herramienta: el teorema de Pitágoras.
La fórmula de la distancia
Toma dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$. Traza un segmento horizontal desde $A$ y uno vertical desde $B$ hasta que se encuentren. Obtienes un triángulo rectángulo cuyos catetos son el cambio horizontal $x_2 - x_1$ y el cambio vertical $y_2 - y_1$. El segmento $AB$ es la hipotenusa.
Por el teorema de Pitágoras, $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$. Si sacas la raíz cuadrada, obtienes la fórmula.
El orden de los puntos no importa. $(x_2 - x_1)^2$ y $(x_1 - x_2)^2$ son iguales porque al elevar al cuadrado desaparece el signo. Por eso la distancia de $A$ a $B$ siempre es igual a la distancia de $B$ a $A$. Si dos segmentos tienen la misma distancia, tienen la misma longitud.
Calcule la distancia exacta entre los puntos $A(2, 3)$ y $B(5, 7)$ en el plano cartesiano.
Calcule la distancia exacta entre los puntos $A(2, 3)$ y $B(5, 7)$ en el plano cartesiano.
Halle la longitud del segmento cuyos extremos son el origen de coordenadas $O(0, 0)$ y el punto $M(-8, 6)$.
Halle la longitud del segmento cuyos extremos son el origen de coordenadas $O(0, 0)$ y el punto $M(-8, 6)$.
Compruebe matemáticamente si los segmentos $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ tienen exactamente la misma longitud, siendo las coordenadas de los puntos $A(0, 2)$,…
Compruebe matemáticamente si los segmentos $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ tienen exactamente la misma longitud, siendo las coordenadas de los puntos $A(0, 2)$, $B(3, 6)$, $C(-2, -1)$ y $D(2, 2)$.
Perímetro y tipos de triángulos
Con la fórmula de la distancia puedes hallar el perímetro de cualquier polígono sumando las longitudes de sus lados. También puedes clasificar un triángulo sin dibujarlo a escala.
¿Por qué comparar los cuadrados? $d^2$ es solo la suma que está bajo el radical. Es exacta, no tiene raíces y es más fácil de comparar. Si $d_1^2 = d_2^2$, entonces $d_1 = d_2$.
Los vértices de un triángulo son $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ y $C(1, 5)$. Calcule el perímetro de este triángulo sumando las longitudes de sus tres lados.
Los vértices de un triángulo son $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ y $C(1, 5)$. Calcule el perímetro de este triángulo sumando las longitudes de sus tres lados.
En un plano de arquitectura, tres columnas principales se situarán en las coordenadas $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ y $R(5, 0)$. Demuestre matemáticamente si el triángulo que…
En un plano de arquitectura, tres columnas principales se situarán en las coordenadas $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ y $R(5, 0)$. Demuestre matemáticamente si el triángulo que forman estas tres columnas es isósceles.
Demuestre, calculando las longitudes de los tres lados y utilizando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ y $C(2, 4)$ es un…
Demuestre, calculando las longitudes de los tres lados y utilizando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ y $C(2, 4)$ es un triángulo rectángulo.
Puntos medios y paralelogramos
Algunos problemas piden el punto que está exactamente a la mitad entre dos puntos. Para hallarlo, promedia las coordenadas.
El punto medio está a la mitad en cada eje, así que está a la mitad del segmento. Eso significa que $AM = MB = \tfrac{1}{2}AB$.
Paralelogramos. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente, así que comparten el mismo punto medio. Esto te permite hallar un vértice que falta.
La estación base de un teleférico está en $B(0, 0)$ y la cima de la montaña en $C(120, 50)$ en un plano bidimensional. Se requiere instalar una torre de soporte…
La estación base de un teleférico está en $B(0, 0)$ y la cima de la montaña en $C(120, 50)$ en un plano bidimensional. Se requiere instalar una torre de soporte exactamente en el punto medio del trayecto lineal. Calcule las coordenadas de dicho punto medio y la distancia desde la base hasta la torre.
Los puntos $A(-1, 3)$, $B(4, 5)$ y $C(2, -2)$ son tres vértices consecutivos de un paralelogramo $ABCD$. Encuentre las coordenadas del cuarto vértice $D$ y calcule la…
Los puntos $A(-1, 3)$, $B(4, 5)$ y $C(2, -2)$ son tres vértices consecutivos de un paralelogramo $ABCD$. Encuentre las coordenadas del cuarto vértice $D$ y calcule la longitud exacta de ambas diagonales del paralelogramo.
Hallar puntos a una distancia dada
A veces te dan la distancia y falta una coordenada. Escribe la fórmula de la distancia con la incógnita, eleva al cuadrado ambos lados para quitar la raíz y resuelve.
Todos los puntos que están a distancia $13$ de $M$ forman un círculo. Un punto del eje $x$ es un punto donde el círculo cruza el eje, así que puedes esperar hasta dos soluciones.
Cuando la distancia es un radical, como $\sqrt{29}$, al elevar al cuadrado se convierte en un número simple ($29$). Puedes obtener una ecuación de la forma $x^2 = k$, o una ecuación cuadrática que resuelves por factorización.
La distancia entre los puntos $A(1, 2)$ y $B(x, 5)$ es de exactamente $5$ unidades. Encuentre los dos posibles valores de la coordenada $x$.
La distancia entre los puntos $A(1, 2)$ y $B(x, 5)$ es de exactamente $5$ unidades. Encuentre los dos posibles valores de la coordenada $x$.
Encuentre las coordenadas de todos los puntos situados sobre el eje de abscisas (eje X) que se encuentren a exactamente $10$ unidades de distancia del punto $M(-6, 8)$.
Encuentre las coordenadas de todos los puntos situados sobre el eje de abscisas (eje X) que se encuentren a exactamente $10$ unidades de distancia del punto $M(-6, 8)$.
Una tubería recta debe conectar un pozo situado en el punto $A(-3, 2)$ con una bomba de agua $P$ que obligatoriamente debe instalarse sobre el eje de ordenadas (eje Y).…
Una tubería recta debe conectar un pozo situado en el punto $A(-3, 2)$ con una bomba de agua $P$ que obligatoriamente debe instalarse sobre el eje de ordenadas (eje Y). Si por restricciones de presión la longitud de la tubería debe ser exactamente de $\sqrt{29}$ unidades, encuentre las posibles coordenadas para la bomba $P$.
Puntos colineales
Tres puntos son colineales si están en una misma recta. La distancia da una prueba para esto.
¿Por qué? En cualquier triángulo de verdad, dos lados juntos son más largos que el tercero (la desigualdad triangular). La única forma de que dos lados sumen exactamente el tercero es que el triángulo se aplaste hasta formar un segmento recto.
Determine si los puntos $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ y $C(7, 7)$ están perfectamente alineados. Para ello, calcule las distancias $d(A,B)$, $d(B,C)$ y $d(A,C)$, y compruebe si…
Determine si los puntos $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ y $C(7, 7)$ están perfectamente alineados. Para ello, calcule las distancias $d(A,B)$, $d(B,C)$ y $d(A,C)$, y compruebe si se cumple la igualdad $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.
Puntos equidistantes y círculos
Un punto $P$ es equidistante de $A$ y $B$ si $PA = PB$. Como las distancias nunca son negativas, puedes elevar al cuadrado ambos lados y quitar las raíces. Mejor aún, los términos $x^2$ y $y^2$ suelen cancelarse y dejan una ecuación lineal sencilla.
Todos los puntos equidistantes de $A$ y $B$ forman la mediatriz (perpendicular bisector) de $\overline{AB}$.
Tres puntos. Un punto equidistante de tres puntos es el centro del círculo que pasa por los tres (el circuncentro del triángulo). Escribe dos ecuaciones ($PA = PB$ y $PA = PC$), resuelve para $P$, y el radio es la distancia de $P$ a cualquier vértice.
¿Dentro o fuera? Compara la distancia de un punto al centro con el radio $r$. Si $d < r$, el punto está dentro del círculo; si $d = r$, está sobre el círculo; y si $d > r$, está fuera.
Una antena de telecomunicaciones tiene un alcance circular máximo de $10\text{ km}$. Si la antena está ubicada en el punto $C(3, -2)$ de un mapa (donde $1$ unidad de…
Una antena de telecomunicaciones tiene un alcance circular máximo de $10\text{ km}$. Si la antena está ubicada en el punto $C(3, -2)$ de un mapa (donde $1$ unidad de coordenada equivale a $1\text{ km}$), averigüe si un usuario situado en la posición $U(-4, 5)$ se encuentra dentro de la zona de cobertura.
Encuentre las coordenadas de un punto $P$ situado sobre la bisectriz del primer cuadrante (la recta $y = x$) que equidiste de los puntos fijos $A(2, 0)$ y $B(0, 4)$.
Encuentre las coordenadas de un punto $P$ situado sobre la bisectriz del primer cuadrante (la recta $y = x$) que equidiste de los puntos fijos $A(2, 0)$ y $B(0, 4)$.
Un sistema de riego automatizado consta de un aspersor circular con centro en $C(x, y)$ que debe regar por igual tres árboles situados en las coordenadas $T_1(0, 0)$,…
Un sistema de riego automatizado consta de un aspersor circular con centro en $C(x, y)$ que debe regar por igual tres árboles situados en las coordenadas $T_1(0, 0)$, $T_2(6, 0)$ y $T_3(0, 8)$. Determine las coordenadas en las que debe colocarse el aspersor $C$ y cuál será su radio de alcance exacto.
La distancia en el espacio 3D
En el espacio, un punto tiene tres coordenadas $(x, y, z)$. La idea es la misma, con un tercer cambio añadido. Primero usa Pitágoras en el piso de una caja imaginaria, $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$. Después úsalo otra vez con el cambio vertical $\Delta z$.
En un simulador de vuelo espacial en 3D, una nave se mueve desde la coordenada $P_1(2, -1, 4)$ hasta la estación orbital en $P_2(5, 3, 16)$. Calcule la distancia lineal…
En un simulador de vuelo espacial en 3D, una nave se mueve desde la coordenada $P_1(2, -1, 4)$ hasta la estación orbital en $P_2(5, 3, 16)$. Calcule la distancia lineal exacta que recorre la nave en el espacio.
La distancia en el mundo real
En los problemas con palabras, trabaja primero en unidades de coordenadas y después usa la escala para convertir a pies o millas. Recuerda que $1\text{ mi} = 5{,}280\text{ pies}$.
Los recorridos con varios tramos requieren varias distancias. Súmalas para obtener la distancia total recorrida. Un desvío cuesta la diferencia entre la ruta larga y la ruta directa.
Volvamos al inicio. El personaje en $(1, 2)$ y el cofre en $(13, 7)$ tienen cambios de $12$ y $5$, así que la distancia en línea recta es $\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$ unidades. Si una unidad equivale a $10$ pies, el cofre está a $130$ pies.
Un dron de reparto despega desde el centro logístico $O(0,0)$, vuela en línea recta hasta el primer punto de entrega $A(6, 8)$ y luego cambia de rumbo para dirigirse a…
Un dron de reparto despega desde el centro logístico $O(0,0)$, vuela en línea recta hasta el primer punto de entrega $A(6, 8)$ y luego cambia de rumbo para dirigirse a un segundo punto en $B(15, -4)$. Si cada unidad del plano representa $100$ metros, ¿cuál es la distancia total recorrida por el dron en kilómetros?
En una jugada ensayada de fútbol, un jugador situado en $J_1(10, 20)$ realiza un pase raso a su compañero en $J_2(34, 27)$, quien sin parar el balón patea directamente…
En una jugada ensayada de fútbol, un jugador situado en $J_1(10, 20)$ realiza un pase raso a su compañero en $J_2(34, 27)$, quien sin parar el balón patea directamente hacia el centro de la portería en $P(50, 15)$. Calcule la distancia total que recorre el balón. (Las coordenadas están dadas en pies).
Una empresa de telecomunicaciones quiere instalar un cable de fibra óptica que conecte dos edificios $E_1(0, 0)$ y $E_2(21, 0)$. El costo de instalación es de…
Una empresa de telecomunicaciones quiere instalar un cable de fibra óptica que conecte dos edificios $E_1(0, 0)$ y $E_2(21, 0)$. El costo de instalación es de $150\text{ \$}$ por cada unidad de longitud. Si deciden añadir un nodo intermedio en $N(16, 12)$ y conectar $E1$ con $N$, y luego $N$ con $E2$, ¿cuánto dinero extra costará esta desviación respecto a la conexión directa entre ambos edificios?