Diagramas de dispersión y correlación

Un grupo de estudiantes de 11.º grado ha realizado un pequeño estudio sobre el tiempo que dedican a los videojuegos a la semana ($X$, en horas) y la calificación obtenida en el último examen de Matemáticas ($Y$, de 0 a 10). Los datos recolectados son los siguientes:

Represente la nube de puntos correspondiente a esta distribución bidimensional en un sistema de ejes cartesianos e indique, simplemente observando la gráfica, si la relación entre ambas variables parece ser directa o inversa.

Asocie cada una de las siguientes parejas de variables con el tipo de nube de puntos que esperaría obtener (creciente, decreciente o sin forma definida):

1. a) El número de millas recorridas por un carro y el combustible que queda en su tanque.
2. b) La estatura de un grupo de adolescentes y su calificación en el examen de Español.
3. c) Las horas de entrenamiento de un atleta y su marca personal en una carrera de 100 metros lisos.
4. d) La temperatura exterior en verano y el consumo de energía de los aparatos de aire acondicionado.

Un grupo de investigadores quiere estudiar si existe relación entre el tiempo semanal que los adolescentes pasan utilizando aplicaciones de streaming de video y su rendimiento académico. Para ello, han seleccionado una muestra de 8 estudiantes y han recolectado los siguientes datos:

1. a) Represente la nube de puntos asociada a esta distribución bidimensional.
2. b) A la vista del gráfico, ¿qué tipo de correlación parece existir entre ambas variables (directa o inversa)? Justifique si cree que la relación es fuerte o débil.

Explique razonadamente por qué los siguientes datos no podrían representarse correctamente mediante una nube de puntos en el contexto de la estadística bidimensional:

Dadas las siguientes parejas de variables, indique para cuáles de ellas tendría sentido construir una nube de puntos para analizar su relación. Justifique su decisión en cada caso:

1. El nombre de los alumnos de clase y su estatura.

2. El número de horas de estudio y la calificación en un examen.

3. El color de ojos y el género de una persona.

4. El precio de un carro de segunda mano y sus millas recorridas.

Observe los siguientes diagramas de dispersión representados a continuación. Identifique en cada caso si la correlación es positiva, negativa o nula.

Se ha medido el peso ($X$) y la altura ($Y$) de los jugadores de un equipo de baloncesto. La nube de puntos muestra una forma muy alargada y estrecha que sigue una dirección ascendente.

¿Qué nos indica que la nube sea "estrecha" respecto a la intensidad de la correlación? ¿Cómo llamaríamos a la relación entre el peso y la altura en este caso (directa o inversa)?

Se estudia la relación entre la inversión en publicidad en redes sociales ($X$, en miles de dólares) y el número de nuevos suscriptores ($Y$, en cientos) para dos aplicaciones móviles distintas, "App A" y "App B". Las nubes de puntos resultantes muestran que ambas tienen una media de inversión de $\bar{x} = 5$ y una media de suscriptores de $\bar{y} = 12$. Sin embargo, la App A presenta una nube muy dispersa en forma circular, mientras que la App B presenta una nube muy estrecha y alargada con pendiente negativa.

1. Realice un esbozo de ambas nubes de puntos en un mismo sistema de ejes, diferenciándolas por colores o símbolos.

2. Compare los coeficientes de correlación $r_A$ y $r_B$. ¿En qué caso es más confiable realizar una predicción del número de suscriptores basándose en la inversión?

3. ¿Qué significaría, en el contexto del marketing, que la App B tenga una pendiente negativa?

Indique si las siguientes afirmaciones sobre las nubes de puntos son verdaderas o falsas:

1. a) Si todos los puntos de la nube están exactamente sobre una línea recta creciente, la correlación es perfecta y positiva ($r = 1$).
2. b) Una nube de puntos con forma circular indica una correlación muy fuerte.
3. c) En una nube de puntos, la variable independiente se representa siempre en el eje de ordenadas ($Y$).
4. d) El diagrama de dispersión permite visualizar rápidamente si existe alguna relación entre dos variables numéricas.

Asocie cada uno de los siguientes coeficientes de correlación lineal de Pearson con su nube de puntos correspondiente:

$r_1 = 0,98$ ; $r_2 = -0,75$ ; $r_3 = 0,05$ ; $r_4 = -0,99$

Dadas las siguientes cuatro nubes de puntos asociadas a diferentes fenómenos sociales, asigne razonadamente a cada una uno de estos coeficientes de correlación: $r_1 = 0,95$, $r_2 = -0,80$, $r_3 = 0,05$ y $r_4 = -0,10$.

Argumente su elección basándose en la dispersión respecto a una posible recta y el sentido de la inclinación de los puntos.

Se ha realizado un estudio sobre la relación entre el número de libros leídos al año ($X$) y la puntuación en una prueba de comprensión lectora ($Y$) en un grupo de alumnos. La nube de puntos resultante se muestra a continuación:

1. a) Indique si existe una dependencia funcional o una dependencia estadística. Explique la diferencia entre ambos conceptos usando este ejemplo.
2. b) Clasifique la correlación según su signo y su intensidad (fuerte, moderada o débil).
3. c) ¿Podríamos afirmar que "leer más libros causa necesariamente sacar mejor calificación"? Razone la diferencia entre correlación y causalidad.

Una empresa de mensajería analiza el peso de los paquetes ($X$, en libras) y el costo del envío ($Y$, en dólares). Observan que la nube de puntos es prácticamente una línea recta perfecta con pendiente positiva.

1. a) ¿Cuál sería el valor aproximado del coeficiente de correlación $r$ en este caso?
2. b) Si el costo del envío se calcula mediante una tarifa fija por libra, ¿estaríamos ante una relación estadística o funcional?
3. c) Dibuje cómo sería la nube de puntos si, además del peso, el costo dependiera de factores aleatorios como la disponibilidad de repartidores en ese momento.

Un influencer analiza la relación entre el número de horas que dedica a editar un video ($X$) y el número de "likes" que recibe en las primeras 24 horas ($Y$, en miles). Tras publicar 10 videos, obtiene una nube de puntos muy estrecha y ascendente, excepto por un video que, tras solo 1 hora de edición, consiguió un número masivo de "likes" debido a un reto viral.

1. a) ¿Cómo se denomina técnicamente a ese punto que se aleja de la tendencia general de la nube?
2. b) Si el influencer decide eliminar ese dato especial de su estudio, ¿qué ocurriría con el valor absoluto del coeficiente de correlación $r$? ¿Aumentaría o disminuiría? Justifique su respuesta.
3. c) ¿La relación entre las variables pasaría a ser más o menos lineal tras eliminar dicho punto?

Un grupo de investigadores analiza la relación entre el tiempo semanal dedicado a videojuegos de estrategia (variable $X$, en horas) y la puntuación obtenida en una prueba de razonamiento lógico (variable $Y$, de 0 a 100). Los datos de 10 adolescentes muestran una correlación lineal positiva muy fuerte, a excepción de un individuo que dedica 25 horas semanales y obtiene solo 10 puntos en la prueba.

Basándose en la representación gráfica:

1. Explique razonadamente cómo afecta el punto $P$ al valor del coeficiente de correlación de Pearson $r$ y a la pendiente de la futura recta de regresión.

2. Si elimináramos el punto $P$, ¿podríamos afirmar que existe una relación de causalidad entre jugar a videojuegos y el razonamiento lógico? Justifique su respuesta analizando la naturaleza de las variables.

Un biólogo mide la altura de una especie de planta exótica ($Y$, en pulgadas) en función de la cantidad de fertilizante nitrogenado aplicado ($X$, en mg). Observa que, al principio, la altura aumenta rápidamente con el fertilizante, pero a partir de cierta cantidad, la planta se satura y la altura se estabiliza o incluso decrece ligeramente debido a la toxicidad.

1. Analice la nube de puntos y determine si un modelo de regresión lineal sería adecuado para describir esta relación en todo el dominio de $X$.

2. Si el biólogo calcula el coeficiente de correlación de Pearson para todos los datos y obtiene un valor cercano a $0$, ¿significa esto que las variables son independientes? Justifique la respuesta basándose en la forma de la nube.

Un psicólogo deportivo estudia la relación entre el nivel de activación previo al partido (ansiedad, variable $X$) y el rendimiento en tiros libres de jugadores de baloncesto (porcentaje de acierto, variable $Y$). La literatura sugiere que existe un "nivel óptimo" de activación: si es muy bajo, el jugador está apático; si es muy alto, está bloqueado.

1. Dibuje una nube de puntos hipotética que refleje esta situación (conocida como la ley de Yerkes-Dodson).

2. Si un analista de datos calculara la covarianza $s_{xy}$ de esta nube y obtuviera un valor cercano a cero, ¿sería correcto concluir que el nivel de ansiedad no influye en el rendimiento? Justifique su respuesta analizando la geometría de la nube de puntos que ha dibujado.

En un estudio sobre demografía urbana, se representan en el eje $X$ la densidad de población (hab/$km^2$) y en el eje $Y$ el precio promedio del alquiler ($\$/m^2$). La nube de puntos obtenida presenta una estructura muy peculiar: dos grupos de puntos claramente diferenciados ("clústeres"). El grupo 1 corresponde a barrios periféricos y el grupo 2 a barrios del centro histórico.

1. Si dentro de cada grupo por separado la correlación es positiva y fuerte, pero al considerar todos los puntos juntos la nube parece no tener tendencia clara, ¿qué problemas encontraríamos al intentar calcular un único coeficiente de correlación de Pearson para toda la ciudad?

2. Explique cómo la existencia de variables cualitativas ocultas (como el tipo de barrio) puede "engañar" a la interpretación de una nube de puntos bidimensional.

Considere una nube de puntos con una correlación lineal positiva muy fuerte ($r = 0,98$). Supongamos que transformamos todos los valores de la variable $X$ mediante la operación $X' = X + 50$ y todos los valores de la variable $Y$ mediante $Y' = 3 \cdot Y$.

1. Describa qué cambios experimentaría la nube de puntos en el plano (traslación, deformación, cambio de escala).

2. Razone, sin realizar cálculos, si el nuevo coeficiente de correlación $r'$ será mayor, menor o igual al original $r$.

3. ¿Cambiaría la confiabilidad de las predicciones si usáramos la nueva nube de puntos transformada? Explique por qué.

La siguiente tabla muestra la distancia recorrida ($X$, en millas) y el tiempo empleado ($Y$, en min) por un ciclista en sus salidas de entrenamiento:

1. a) Dibuje la nube de puntos.
2. b) Trace a mano alzada la recta que mejor se ajuste a los puntos (recta de regresión).
3. c) Utilizando la recta que ha dibujado, estime cuánto tiempo tardaría el ciclista en recorrer 45 millas. ¿Cree que esta estimación es confiable?

Observe el siguiente diagrama de dispersión que representa la relación entre la temperatura promedio mensual ($X$, en $^\circ C$) y el gasto en calefacción ($Y$, en dólares) de una comunidad de vecinos durante un año.

1. a) Explique razonadamente el signo de la correlación y qué significa en este contexto real.
2. b) Si el centro de gravedad de la distribución es el punto $G(12, 110)$, ¿qué representan estos valores en relación con los datos recolectados durante el año?
3. c) ¿Sería confiable utilizar una recta de regresión para predecir el gasto si la temperatura es de $2^\circ C$? ¿Y si es de $45^\circ C$? Razone su respuesta basándose en la forma de la nube.

Se ha obtenido la siguiente nube de puntos que relaciona el consumo de energía eléctrica mensual de un hogar ($X$, en kWh) con la temperatura promedio exterior ese mes ($Y$, en $^\circ C$).

1. Describa la relación entre las variables. ¿Es una relación lineal en todo su recorrido?

2. Justifique por qué el coeficiente de determinación $R^2$ para un ajuste lineal sería muy bajo a pesar de que existe una relación evidente entre las variables.

3. Proponga una forma de dividir el estudio de esta nube de puntos para poder aplicar técnicas de regresión lineal de manera efectiva.