Eliminación gaussiana
Emma, Malik y Sofia compran cada uno algo de comer en el puesto de la escuela, pero un letrero tapa la lista de precios. El pedido de Emma (1 pretzel, 1 bebida, 1 palomitas) costó $\$9$. El de Malik (2 pretzels, 1 bebida, 1 palomitas) costó $\$12$. El de Sofia (1 pretzel, 2 bebidas, 1 palomitas) costó $\$11$. ¿Puedes encontrar el precio de cada artículo? Son tres ecuaciones con tres incógnitas, demasiado para manejarlas todas a la vez. La eliminación gaussiana transforma el sistema, paso a paso, en un sistema equivalente (con la misma solución) que se resuelve fácilmente de abajo hacia arriba.
Forma escalonada y sustitución hacia atrás
La ecuación de abajo tiene una sola incógnita, así que puedes resolverla de inmediato. Luego subes, sustituyendo cada resultado en la ecuación de arriba. Esto se llama sustitución hacia atrás.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada, utilizando el método de sustitución hacia atrás:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada, utilizando el método de sustitución hacia atrás:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y - z & = & 4 \\ 3y + z & = & 5 \\ 2z & = & 4 \end{array} \right.$
Operaciones entre filas que conservan la solución
¿Cómo llegamos a la forma escalonada? Cambiando las ecuaciones de maneras que nunca alteren la solución.
Escribimos $E_2 \to E_2 - 2E_1$ para decir "reemplaza la ecuación 2 por la ecuación 2 menos 2 veces la ecuación 1". Algunos problemas las llaman operaciones elementales. La meta siempre es crear ceros debajo de la escalera.
Comprobar una solución
Una solución $(x, y, z)$ debe hacer verdaderas todas las ecuaciones. Eso da una manera rápida de comprobar una respuesta o de hallar un coeficiente que falta.
Halla el valor del coeficiente $a$ sabiendo que la terna $(1, -1, 2)$ es solución del siguiente sistema:…
Halla el valor del coeficiente $a$ sabiendo que la terna $(1, -1, 2)$ es solución del siguiente sistema:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 2 \\ 2x - y - z & = & 1 \\ x + ay + 2z & = & 8 \end{array} \right.$
Triangular un sistema de 3 × 3
Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:…
Aplica el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6 \\ x - y + 2z & = & 5 \\ x + y - z & = & 0 \end{array} \right.$
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss, eliminando primero la variable $x$ de la segunda y tercera ecuación:…
Resuelve el siguiente sistema utilizando el método de Gauss, eliminando primero la variable $x$ de la segunda y tercera ecuación:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + 2y + z & = & 7 \\ 2x - y + 3z & = & 11 \\ -x + y - z & = & -4 \end{array} \right.$
Fracciones e incógnitas que faltan
No todos los sistemas llegan en forma ordenada. Dos arreglos rápidos resuelven la mayoría de los casos.
Fracciones. Multiplica cada ecuación (¡ambos lados!) por el mínimo común múltiplo (mcm) de sus denominadores. Así obtienes un sistema equivalente con coeficientes enteros. Por ejemplo, $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}=2$ multiplicada por $4$ queda $2x+y=8$.
Incógnitas que faltan. Si una variable no aparece, su coeficiente es $0$. Escribir el cero explícitamente mantiene las columnas alineadas. Si a $E_1$ le falta $x$, intercámbiala con una ecuación que sí tenga $x$.
Resuelve el siguiente sistema en el que faltan algunas incógnitas en las ecuaciones, ordenándolas adecuadamente si lo consideras necesario:…
Resuelve el siguiente sistema en el que faltan algunas incógnitas en las ecuaciones, ordenándolas adecuadamente si lo consideras necesario:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y & = & 3 \\ y + z & = & 5 \\ x + z & = & 4 \end{array} \right.$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente con las fracciones para obtener un sistema equivalente con coeficientes enteros:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente con las fracciones para obtener un sistema equivalente con coeficientes enteros:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z & = & 1 \\ x - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} & = & 2 \\ \frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} & = & 3 \end{array} \right.$
Clasificar un sistema: una solución, infinitas o ninguna
Mientras eliminas, la última ecuación puede hacer algo sorprendente: todas las incógnitas pueden desaparecer.
Algunos problemas usan las palabras determinado e indeterminado para independiente y dependiente. Es la misma clasificación.
Nombra la incógnita libre con la letra que use el problema. Suele ser $t$, y a veces $\lambda$.
Más ecuaciones que incógnitas
Un sistema puede tener cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Elimina exactamente igual que antes. Cada ecuación extra se convertirá en $0=0$ (era redundante, una combinación de las demás) o en $0=k\neq0$ (el sistema es inconsistente). Solo cuando hayas tenido en cuenta todas las filas de ceros lees la solución.
Sin necesidad de resolverlo completamente, clasifica el siguiente sistema escalonado (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y justifica…
Sin necesidad de resolverlo completamente, clasifica el siguiente sistema escalonado (como compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible) y justifica tu respuesta:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x - 3y + 2z & = & 1 \\ 2y - z & = & 4 \\ 0z & = & 7 \end{array} \right.$
Escribe la solución del siguiente sistema escalonado en función de un parámetro $\lambda$:…
Escribe la solución del siguiente sistema escalonado en función de un parámetro $\lambda$:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ y - 2z & = & 2 \\ 0z & = & 0 \end{array} \right.$
Resuelve el siguiente sistema que contiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Indica si hay alguna ecuación redundante o si el sistema es incompatible:…
Resuelve el siguiente sistema que contiene cuatro ecuaciones y tres incógnitas. Indica si hay alguna ecuación redundante o si el sistema es incompatible:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x - y + z & = & 2 \\ 2x + y - z & = & 1 \\ x + 2y - 2z & = & -1 \\ 3x + y + z & = & 5 \end{array} \right.$
Sistemas con un parámetro
A veces un sistema contiene una letra además de las incógnitas, como $k$ o $m$. La respuesta puede depender de su valor.
Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$ y resuélvelo para el caso en el que sea compatible indeterminado:…
Discute la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$ y resuélvelo para el caso en el que sea compatible indeterminado:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 1 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ x - 2y + 2z & = & k \end{array} \right.$
Estudia y discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro $m$. Resuélvelo para $m = 2$.…
Estudia y discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los valores del parámetro $m$. Resuélvelo para $m = 2$.
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 1 \\ 2x + my + z & = & 2 \\ x + y + mz & = & 3 \end{array} \right.$
Discute el siguiente sistema y encuentra el valor o valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible indeterminado. Escribe la solución general para ese caso.…
Discute el siguiente sistema y encuentra el valor o valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible indeterminado. Escribe la solución general para ese caso.
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y - z & = & 10 \\ 2x - y + 3z & = & 20 \\ 5x - y + 5z & = & a \end{array} \right.$
Tres planos y una condición de consistencia
| Qué hacen los planos | La eliminación da | Soluciones |
|---|---|---|
| Se cortan en un punto | una incógnita sola abajo | una |
| Comparten una recta | una fila $0=0$ | infinitas |
| Tres planos coincidentes | dos filas $0=0$ | infinitas (un plano) |
| Sin punto en común | una fila $0=k\neq0$ | ninguna |
Una condición sobre las constantes
Si el lado izquierdo de una ecuación es una combinación de los otros lados izquierdos, el lado derecho de esa ecuación debe ser la misma combinación de los otros lados derechos. Si no lo es, el sistema es inconsistente.
Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Resuelve el sistema formado por los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$,…
Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Resuelve el sistema formado por los planos $\pi_1$, $\pi_2$ y $\pi_3$, interpreta el resultado obtenido e indica qué figura geométrica forman en su intersección.
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & 3 \\ 2x - y + z & = & 2 \\ 3x + 2z & = & 5 \end{array} \right.$
Demuestra, utilizando el método de Gauss, que el sistema de ecuaciones:…
Demuestra, utilizando el método de Gauss, que el sistema de ecuaciones:
$\left\{ \begin{array}{rcl} x + y + z & = & a \\ x - y + z & = & b \\ 2x + 2z & = & c \end{array} \right.$
solo es compatible si se cumple la relación $a + b = c$. Explica el significado algebraico de esta condición.
Cambio de variables
Algunos sistemas no son lineales en $x$, $y$, $z$, pero se vuelven lineales después de un cambio de variables. Un caso común es cuando las incógnitas aparecen como recíprocos.
Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales realizando previamente un cambio de variable adecuado ($u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$,…
Halla las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales realizando previamente un cambio de variable adecuado ($u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):
$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} & = & 2 \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{3}{z} & = & 9 \\ \frac{3}{x} + \frac{3}{y} - \frac{2}{z} & = & 3 \end{array} \right.$
Plantear problemas verbales
La eliminación hace el álgebra difícil, pero plantear el problema es la verdadera destreza. Sigue los mismos cinco pasos cada vez.
Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo por Gauss: "Isabella tiene el triple de dinero que Camila. Camila tiene el doble de dinero que…
Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo por Gauss: "Isabella tiene el triple de dinero que Camila. Camila tiene el doble de dinero que Carlos. Entre los tres juntan $\$27$. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?"
En una tienda de artículos deportivos se venden tres tipos de balones: de fútbol, de baloncesto y de voleibol. Una escuela compra $2$ balones de fútbol, $1$ de…
En una tienda de artículos deportivos se venden tres tipos de balones: de fútbol, de baloncesto y de voleibol. Una escuela compra $2$ balones de fútbol, $1$ de baloncesto y $1$ de voleibol por $\$80$. Otra escuela compra $1$ de fútbol, $2$ de baloncesto y $1$ de voleibol por $\$85$. Una tercera escuela compra $1$ de fútbol, $1$ de baloncesto y $2$ de voleibol por $\$75$. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método de Gauss para calcular el precio de cada tipo de balón.
La suma de las edades de un abuelo, su hijo y su nieto es de $190$ años. El abuelo tiene el triple de la edad del nieto. Además, se sabe que dentro de $10$ años, la edad…
La suma de las edades de un abuelo, su hijo y su nieto es de $190$ años. El abuelo tiene el triple de la edad del nieto. Además, se sabe que dentro de $10$ años, la edad del padre será el doble de la edad que tendrá el nieto en ese momento. Plantea un sistema de ecuaciones y halla las edades actuales de los tres.
Mezclas, inversiones y problemas de conteo
Muchos problemas con tres incógnitas comparten un patrón: cantidad = tasa × cantidad base. Escribes una ecuación para la cantidad total y otra para el monto total.
En un laboratorio de química se dispone de tres soluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $50\%$. Se desea obtener una mezcla de $100$…
En un laboratorio de química se dispone de tres soluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $50\%$. Se desea obtener una mezcla de $100$ galones con una concentración del $30\%$. Sabiendo que el volumen utilizado de la solución al $10\%$ debe ser igual al volumen de la solución al $50\%$, plantea y resuelve un sistema mediante el método de Gauss para determinar cuántos galones de cada solución se deben mezclar.
Una empresa invierte un total de $\$20000$ en tres fondos de inversión diferentes, que ofrecen rentabilidades anuales del $4\%$, $5\%$ y $6\%…
Una empresa invierte un total de $\$20000$ en tres fondos de inversión diferentes, que ofrecen rentabilidades anuales del $4\%$, $5\%$ y $6\%$. Al cabo de un año, los intereses totales generados ascienden a $\$980$. Si el dinero invertido en el fondo al $5\%$ es el doble del invertido en el fondo al $6\%$, calcula qué cantidad se destinó a cada fondo utilizando el método de Gauss.
En un partido de baloncesto, un equipo ha anotado un total de $80$ puntos mediante $42$ canastas (algunas de $1$ punto, otras de $2$ puntos y otras de $3$ puntos).…
En un partido de baloncesto, un equipo ha anotado un total de $80$ puntos mediante $42$ canastas (algunas de $1$ punto, otras de $2$ puntos y otras de $3$ puntos). Sabiendo que el número de canastas de $2$ puntos es igual a la suma de las canastas de $1$ y $3$ puntos más $5$, halla el número de canastas de cada tipo.
Curvas, dígitos y tasas de trabajo
Tres situaciones más que producen sistemas de $3\times3$.
Ajustar una parábola. Un punto $(x_0, y_0)$ de $y=ax^2+bx+c$ da la ecuación $a x_0^2+bx_0+c=y_0$. Cada punto da una ecuación en $a$, $b$, $c$, y tres puntos dan tres ecuaciones.
Mueve los controles deslizantes para ver cómo $a$, $b$ y $c$ mueven la parábola.
Halla los coeficientes $a$, $b$ y $c$ del polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $A(-1, 4)$, $B(1, 2)$ y $C(2, 7)$.
Halla los coeficientes $a$, $b$ y $c$ del polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $A(-1, 4)$, $B(1, 2)$ y $C(2, 7)$.
La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número obtenido es $198$ unidades mayor que el número original. Además, se…
La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número obtenido es $198$ unidades mayor que el número original. Además, se sabe que la cifra de las decenas es la media aritmética de la cifra de las centenas y la cifra de las unidades. Plantea un sistema de ecuaciones y halla el número original.
Tres máquinas, $A$, $B$ y $C$, trabajan en la producción de una fábrica. Si trabajan juntas $A$ y $B$, terminan un lote en $12$ horas. Si trabajan $B$ y $C$, lo terminan…
Tres máquinas, $A$, $B$ y $C$, trabajan en la producción de una fábrica. Si trabajan juntas $A$ y $B$, terminan un lote en $12$ horas. Si trabajan $B$ y $C$, lo terminan en $20$ horas. Si trabajan $A$ y $C$, lo terminan en $15$ horas. Plantea un sistema de ecuaciones lineales (pista: usa como incógnitas la fracción de trabajo que hace cada máquina en una hora) y calcula cuánto tardaría cada máquina en hacer el lote trabajando sola.