Sistemas con un parámetro
Un equipo de cine en Los Ángeles maneja dos drones con cámara que vuelan por trayectorias rectas: $2x + vy = 6$ y $vx + 2y = 6$. El número $v$ depende del viento. Según $v$, las trayectorias pueden cruzarse en un punto, no encontrarse nunca o ser exactamente la misma. En los problemas, esta tarea se llama discutir el sistema: describes lo que ocurre para cada valor de $v$, sin resolver el sistema valor por valor.
Tres resultados posibles
Cada ecuación $ax + by = c$ es una recta. Dos rectas en un plano solo pueden hacer tres cosas: cruzarse una vez, ser paralelas o coincidir una sobre la otra.
La pista más rápida es la pendiente (slope). Las rectas con pendientes distintas siempre se cruzan exactamente una vez. Las rectas con la misma pendiente son paralelas (distinta intersección con el eje $y$) o son la misma recta (misma intersección con el eje $y$).
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $3x - 2y = 4$ $x + y = m$ ¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifique su…
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$3x - 2y = 4$
$x + y = m$
¿Existe algún valor del parámetro $m$ para el cual el sistema sea incompatible? Justifique su respuesta matemáticamente.
La prueba del determinante
Comparar pendientes implica dividir entre un coeficiente que podría ser cero para algún valor del parámetro. Hay una forma más limpia que nunca divide.
Mueve $m$ en el control de abajo y observa la segunda recta. En $m = -2$ cae exactamente sobre la primera.
Discuta, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $x - 2y = 3$ $mx + 4y = -6$
Discuta, en función del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$x - 2y = 3$
$mx + 4y = -6$
En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$: $2x - ty = 3$…
En un estudio de mercado, las curvas de oferta y demanda de un producto tecnológico vienen dadas por un sistema lineal dependiente de un impuesto $t$:
$2x - ty = 3$
$tx + 2y = 4$
Discuta la compatibilidad del sistema según los valores de $t$. ¿Puede darse el caso de que no exista un punto de equilibrio (es decir, que el sistema sea incompatible) si $t$ es un número real?
Determine para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre…
Determine para qué valores del parámetro $a$ el siguiente sistema tiene una solución única $(x, y)$ tal que el punto de intersección de ambas rectas se encuentre exactamente sobre el eje de ordenadas ($x=0$):
$ax + 3y = 6$
$2x - ay = a$
Valores especiales: ¿paralelas o la misma recta?
Al resolver $D = 0$, cada solución es un valor especial del parámetro. Con ese valor las rectas tienen pendientes iguales y debes decidir: ¿la misma recta o paralelas?
A veces el parámetro aparece solo en una constante, como en $2x - y = a$ y $-4x + 2y = 8$. Entonces $D = (2)(2) - (-4)(-1) = 0$ para todo $a$, así que el parámetro de las constantes lo decide todo. Haz que las ecuaciones sean múltiplos una de otra: la segunda es $-2 \times (2x - y = -4)$, así que necesitas $a = -4$ para que las rectas coincidan. Para cualquier otro $a$ las rectas son paralelas.
Escribir las infinitas soluciones
Cuando un sistema tiene infinitas soluciones, el ejercicio puede pedirte describirlas todas. Ambas ecuaciones dicen lo mismo, así que conserva solo una. Despeja una variable y llama a la otra variable un parámetro libre, como $\lambda$ (o $t$), que puede ser cualquier número real.
Elige como variable libre la que deje la otra expresión sin fracciones. Si la discusión muestra que ningún valor del parámetro da infinitas soluciones, dilo: entonces la respuesta a "describe las infinitas soluciones" es "esto nunca ocurre".
Determine el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible: $3x + ky = 5$ $6x - 4y = 2$
Determine el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema sea incompatible:
$3x + ky = 5$
$6x - 4y = 2$
Halle el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escriba la solución general en ese caso. $2x - y = a$ $-4x + 2y = 8$
Halle el valor de $a$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones. Escriba la solución general en ese caso.
$2x - y = a$
$-4x + 2y = 8$
Encuentre los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado: $x + by = 2$ $bx + y = 2$
Encuentre los valores del parámetro $b$ para los cuales el siguiente sistema es compatible determinado:
$x + by = 2$
$bx + y = 2$
Una discusión completa, paso a paso
Junta las piezas en una rutina que puedes usar con cualquier sistema con un parámetro.
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$: $tx + y = t$ $x + ty = 1$
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$:
$tx + y = t$
$x + ty = 1$
Discuta el sistema dependiente del parámetro $c$: $cx - 2y = 1$ $x - cy = 2$
Discuta el sistema dependiente del parámetro $c$:
$cx - 2y = 1$
$x - cy = 2$
Discuta, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones: $(k+1)x + y = 2$ $kx + (k-1)y = 1$
Discuta, en función del parámetro $k$, el siguiente sistema de ecuaciones:
$(k+1)x + y = 2$
$kx + (k-1)y = 1$
Discuta el sistema en función del parámetro $m$: $x + y = m$ $m^2 x + y = m^2$
Discuta el sistema en función del parámetro $m$:
$x + y = m$
$m^2 x + y = m^2$
Dos parámetros
A veces un parámetro está en los coeficientes y otro en las constantes. El determinante decide si hay solución única (depende solo de los coeficientes). El segundo parámetro solo importa en los valores especiales.
El dibujo muestra todos los pares $(k, n)$. Solo dos puntos dan infinitas soluciones.
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$: $ax + y = b$ $x + ay = 2$
Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función de los parámetros $a$ y $b$:
$ax + y = b$
$x + ay = 2$
Discuta el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$: $mx + ny = 1$ $nx + my = 1$ Determine las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea…
Discuta el sistema en función de los parámetros $m$ y $n$:
$mx + ny = 1$
$nx + my = 1$
Determine las condiciones exactas sobre $m$ y $n$ para que el sistema sea incompatible.
Discuta el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, exprese las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:…
Discuta el siguiente sistema y, en los casos en que sea compatible indeterminado, exprese las infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:
$mx + (m+1)y = m$
$mx + 2my = 2$
Rectas y situaciones de la vida real
Cada ecuación del sistema es una recta, así que los tres resultados tienen un significado geométrico: secantes (una solución), paralelas (ninguna) o coincidentes (infinitas). Un parámetro puede representar la velocidad del viento, una concentración o una resistencia. Las matemáticas son idénticas; solo expresas el resultado con palabras al final.
Cerremos la situación inicial. Las trayectorias de los drones son $2x + vy = 6$ y $vx + 2y = 6$. El determinante es $D = 4 - v^2 = (2 - v)(2 + v)$, que es cero en $v = 2$ y $v = -2$.
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Para $v \ne \pm 2$ las trayectorias se cruzan en exactamente un punto.
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Para $v = 2$ ambas ecuaciones se vuelven $2x + 2y = 6$, así que los drones vuelan por la misma trayectoria.
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Para $v = -2$ las ecuaciones se vuelven $x - y = 3$ y $x - y = -3$, así que las trayectorias son paralelas y nunca se encuentran.
Si la situación solo permite $v \ge 0$ (por ejemplo, la velocidad del viento medida como número positivo), entonces $v = -2$ no es posible. El contexto puede eliminar casos, pero primero discutes el sistema y después interpretas.
Discuta la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
Discuta la posición relativa de las rectas $r: px + 3y = 1$ y $s: 2x + py = 0$ en función del parámetro $p$.
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:…
Dos drones de vigilancia siguen trayectorias rectilíneas descritas por el siguiente sistema, donde $v$ es un parámetro relacionado con la velocidad del viento:
$vx + 2y = 4$
$2x + vy = v$
Discuta para qué valores de $v$ las trayectorias de los drones se cruzan en un único punto, son paralelas o coinciden exactamente.
En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo…
En una planta química, se mezclan dos soluciones líquidas. Las ecuaciones que modelan el balance de masa del proceso dependen de la concentración $c$ de un reactivo específico:
$cx + 4y = c^2$
$x + cy = 2$
Discuta la compatibilidad del sistema en función de la concentración $c$.
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discuta la posición relativa de los cables en función…
Dos cables de alta tensión se modelan en un plano mediante las rectas $r: 2x + (k-2)y = k$ y $s: (k-2)x + 2y = 2$. Discuta la posición relativa de los cables en función del parámetro $k$ para evitar posibles cortocircuitos.
Sistemas no lineales con un parámetro
Cuando una ecuación es una parábola o una circunferencia, no hay determinante. La pregunta pasa a ser: ¿cuántos puntos de intersección hay? Sustituye la recta en la otra ecuación y obtienes una ecuación cuadrática. Entonces decide el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$.
El mismo plan funciona con una circunferencia. Para $x^2 + y^2 = 5$ y $y = 2x + c$, la sustitución da $5x^2 + 4cx + c^2 - 5 = 0$ con $\Delta = 100 - 4c^2$. Así que hay dos puntos cuando $|c| < 5$, un punto cuando $|c| = 5$ y ninguno cuando $|c| > 5$.
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discuta el…
La trayectoria de un proyectil sigue una parábola descrita por la ecuación $y = -x^2 + 4x$, mientras que un haz láser de defensa sigue la recta $y = mx$. Discuta el número de puntos de intersección entre el proyectil y el láser en función del parámetro $m$ (que representa la pendiente del láser).
Discuta la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$: $x^2 - y^2 = k$ $x + y = 2$
Discuta la compatibilidad del siguiente sistema no lineal en función del parámetro $k$:
$x^2 - y^2 = k$
$x + y = 2$
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación…
Un satélite orbita siguiendo una trayectoria circular modelada en el plano por la ecuación $x^2 + y^2 = 4$. Un cometa se desplaza en línea recta según la ecuación $x + y = c$, donde $c$ es un parámetro que depende de su posición inicial. Discuta el número de puntos de colisión entre el satélite y el cometa en función de $c$.
Volvemos al principio: las trayectorias de los drones $2x + vy = 6$ y $vx + 2y = 6$ tienen $D = 4 - v^2$. Se cruzan en un punto salvo que $v = 2$ (misma trayectoria) o $v = -2$ (trayectorias paralelas que nunca se encuentran).