La distribución normal y la aproximación normal de la binomial
Una máquina fabrica 600 piezas y el 5% sale defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja tenga entre 25 y 35 piezas defectuosas? Es una situación binomial, pero sumar a mano once términos como $\binom{600}{k}(0.05)^k(0.95)^{600-k}$ tomaría una eternidad. Cuando $n$ es grande, el histograma de la binomial se parece a una curva en forma de campana, así que podemos usar la distribución normal. Primero hay que dominar la curva normal; después veremos cómo usarla con binomiales.
La curva normal
La estatura de los estudiantes de 11.º grado, la duración de la batería de un celular, el peso de las manzanas de un huerto: cuando mides muchos individuos, los datos suelen acumularse en el centro y disminuir de forma simétrica a ambos lados. Esa forma es la distribución normal.
Una $\sigma$ mayor da una campana más ancha y más plana. Como $X$ es continua, $P(X = a) = 0$ para cualquier valor $a$. Solo los intervalos tienen probabilidad.
Juega con los deslizadores: el primero mueve el centro $\mu$ y el segundo cambia la dispersión $\sigma$. Observa que el área bajo la curva sigue siendo $1$.
El peso de las manzanas de una cosecha se distribuye según una ley normal de media $150$ onzas y desviación estándar $15$ onzas. Si se consideran "manzanas de tipo A"…
El peso de las manzanas de una cosecha se distribuye según una ley normal de media $150$ onzas y desviación estándar $15$ onzas. Si se consideran "manzanas de tipo A" aquellas que pesan entre $135$ y $165$ onzas, calcule la probabilidad de que una manzana elegida al azar sea de tipo A.
Puntajes z: estandarizar un valor
Supón que Mia saca 27 en el ACT y Jayden saca 1250 en el SAT. ¿Quién le fue mejor? No puedes comparar 27 con 1250 directamente, porque las pruebas usan escalas distintas. La solución es preguntar: ¿a cuántas desviaciones estándar está cada puntaje de su propia media?
Estandarizar es el truco clave de toda esta página. Toda distribución normal, sin importar sus unidades, se convierte en la misma $N(0,1)$, así que una sola tabla sirve para todas.
Dos amigos, Marcos y Elena, estudian en escuelas secundarias diferentes. En la escuela de Marcos, la nota media en el examen de Economía fue de $6,2$ con una desviación…
Dos amigos, Marcos y Elena, estudian en escuelas secundarias diferentes. En la escuela de Marcos, la nota media en el examen de Economía fue de $6,2$ con una desviación estándar de $1,1$. En la de Elena, la media fue de $6,8$ con una desviación estándar de $1,5$. Si Marcos obtuvo un $7,5$ y Elena un $8,2$, y suponiendo que ambas poblaciones siguen una distribución normal, determina cuál de los dos obtuvo una mejor nota relativa respecto a su grupo.
La tabla normal estándar
La tabla da el área acumulada a la izquierda de $z$, es decir, $P(Z \le z)$. Busca la fila de la parte entera y los décimos de $z$, y luego la columna de los centésimos. Por ejemplo, $z = 1.32$ está en la fila $1.3$, columna $0.02$, y da $0.9066$.
| $z$ | 0.00 | 0.01 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.1 | 0.8643 | 0.8665 | 0.8686 | 0.8708 | 0.8729 | 0.8749 |
| 1.2 | 0.8849 | 0.8869 | 0.8888 | 0.8907 | 0.8925 | 0.8944 |
| 1.3 | 0.9032 | 0.9049 | 0.9066 | 0.9082 | 0.9099 | 0.9115 |
Dada la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, utiliza la tabla de probabilidades para calcular el área acumulada a la izquierda de los siguientes valores.…
Dada la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, utiliza la tabla de probabilidades para calcular el área acumulada a la izquierda de los siguientes valores. Representa gráficamente la situación del inciso a.
- a) $P(Z \le 1,32)$
- b) $P(Z < 2,05)$
- c) $P(Z \le 0,48)$
En una distribución $Z \sim N(0, 1)$, sabemos que el área total bajo la curva es igual a $1$. Utilice las propiedades de simetría y el evento complementario para hallar…
En una distribución $Z \sim N(0, 1)$, sabemos que el área total bajo la curva es igual a $1$. Utilice las propiedades de simetría y el evento complementario para hallar las siguientes probabilidades:
- a) $P(Z > 1,15)$
- b) $P(Z \ge 0,64)$
- c) $P(Z > 2,80)$
Probabilidades en situaciones reales
Cuando un problema da $\mu$ y $\sigma$, la receta es siempre la misma.
Un estudio sobre el tiempo que los adolescentes de 16 años pasan usando una conocida red social al día indica que sigue una distribución normal con una media de…
Un estudio sobre el tiempo que los adolescentes de 16 años pasan usando una conocida red social al día indica que sigue una distribución normal con una media de $\mu = 120$ minutos y una desviación estándar de $\sigma = 20$ minutos.
Si elegimos a un joven al azar, calcule la probabilidad de que use la red social menos de $150$ minutos. Para ello, estandarice la variable $X$ y utilice la tabla de la $N(0, 1)$.
Las calificaciones de un examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales siguen una distribución $N(5,2; 1,5)$. Si para obtener una mención especial se requiere…
Las calificaciones de un examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales siguen una distribución $N(5,2; 1,5)$. Si para obtener una mención especial se requiere una calificación superior a $8$, ¿qué probabilidad tiene un estudiante de conseguirla?
Ayuda: Recuerde que $P(X > k) = 1 - P(X \le k)$ tras realizar la estandarización.
El tiempo que los estudiantes de 11.º grado dedican diariamente a realizar tareas escolares sigue una distribución normal de media $\mu = 115$ minutos y una desviación…
El tiempo que los estudiantes de 11.º grado dedican diariamente a realizar tareas escolares sigue una distribución normal de media $\mu = 115$ minutos y una desviación estándar $\sigma = 25$ minutos. Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar:
- a) Dedique entre 90 y 140 minutos al día.
- b) Dedique más de 160 minutos.
Al revés: hallar un valor de corte
A veces conoces el área y necesitas el valor: "¿Qué puntaje te pone en el 25% superior?" Ahora lees la tabla al revés.
Aquí tienes algunos valores de $z$ que usarás con frecuencia. Cada uno es el $z$ cuya área a la izquierda es el número indicado.
| Área a la izquierda | 0.80 | 0.85 | 0.90 | 0.95 | 0.975 | 0.99 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $z$ | 0.84 | 1.04 | 1.28 | 1.645 | 1.96 | 2.33 |
Halle el valor de la abscisa $k$ (el valor de la variable en el eje horizontal) en una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ sabiendo que: a)…
Halle el valor de la abscisa $k$ (el valor de la variable en el eje horizontal) en una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ sabiendo que:
- a) $P(Z \le k) = 0,8413$
- b) $P(Z \le k) = 0,9750$
- c) $P(Z \le k) = 0,5000$
Una marca de periféricos para gaming* ha determinado que el tiempo de respuesta de su mouse estrella sigue una distribución $N(18, 4)$ milisegundos. El departamento de…
Una marca de periféricos para gaming ha determinado que el tiempo de respuesta de su mouse estrella sigue una distribución $N(18, 4)$ milisegundos. El departamento de marketing quiere promocionar que su producto es tan rápido que solo el $15\%$ de los mouses de la competencia (que siguen la misma distribución) superan un tiempo de respuesta crítico $k$. Halla el valor de ese tiempo $k$.
La duración de las baterías de un modelo de smartphone sigue una distribución $N(42, 6)$ horas. La compañía quiere ofrecer una garantía de sustitución si la batería dura…
La duración de las baterías de un modelo de smartphone sigue una distribución $N(42, 6)$ horas. La compañía quiere ofrecer una garantía de sustitución si la batería dura menos de un tiempo determinado. ¿Qué duración máxima debe garantizar la empresa si solo está dispuesta a sustituir el $2,5\%$ de las baterías vendidas?
Intervalos centrales
Un intervalo "central" deja colas iguales a ambos lados. Si el centro contiene $c$ del área, cada cola contiene $\dfrac{1 - c}{2}$, así que el área a la izquierda del extremo superior es $\dfrac{1 + c}{2}$.
En un prestigioso torneo de eSports, la puntuación obtenida por los participantes se distribuye según una ley normal de media 2500 puntos y desviación estándar 400…
En un prestigioso torneo de eSports, la puntuación obtenida por los participantes se distribuye según una ley normal de media 2500 puntos y desviación estándar 400 puntos. La organización decide otorgar la "Mención de Élite" solo al 2,5 % de los jugadores con mejores puntuaciones.
- a) ¿A partir de qué puntuación se recibe dicha mención?
- b) Si un grupo de amigos tiene puntuaciones que se encuentran en el intervalo central que comprende al 95 % de los jugadores del torneo, ¿entre qué dos valores se mueven sus puntuaciones?
Hallar $\mu$ y $\sigma$ a partir de probabilidades
A veces la incógnita es la distribución misma. Cada probabilidad dada se convierte en un valor $z$, y cada valor $z$ da una ecuación $z_0 = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$. Con un parámetro desconocido necesitas una ecuación. Con ambos desconocidos obtienes un sistema de dos ecuaciones lineales, que puedes resolver por eliminación.
Se sabe que el peso de los paquetes de café de una determinada fábrica sigue una distribución normal. Tras un control de calidad, se observa que el $5\%$ de los paquetes…
Se sabe que el peso de los paquetes de café de una determinada fábrica sigue una distribución normal. Tras un control de calidad, se observa que el $5\%$ de los paquetes pesa menos de $242$ onzas y el $10\%$ pesa más de $255$ onzas. Halla la media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$ de esta población.
Una empresa de mensajería utiliza drones para sus entregas en núcleos urbanos. Se ha comprobado que el tiempo de vuelo de estos drones hasta agotarse la batería sigue…
Una empresa de mensajería utiliza drones para sus entregas en núcleos urbanos. Se ha comprobado que el tiempo de vuelo de estos drones hasta agotarse la batería sigue una distribución normal con una media de 42 minutos. Si el 97,72 % de los drones vuela más de 30 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que un dron elegido al azar agote su batería entre los 35 y los 45 minutos de vuelo?
Se sabe que el tiempo de carga de las baterías de un nuevo modelo de auto eléctrico sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Tras realizar un estudio de mercado,…
Se sabe que el tiempo de carga de las baterías de un nuevo modelo de auto eléctrico sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Tras realizar un estudio de mercado, se observa que el 15 % de los vehículos tarda menos de 45 minutos en cargarse completamente, mientras que solo el 20 % de los vehículos requiere más de 75 minutos.
Calcula el valor de la media $\mu$ y de la desviación estándar $\sigma$ de esta distribución. A continuación, determina la probabilidad de que un vehículo elegido al azar tarde entre 50 y 60 minutos en cargarse.
¿Cuándo se puede aproximar una binomial con una normal?
Volvamos a las binomiales. Si $X \sim B(n, p)$ cuenta los éxitos en $n$ ensayos independientes, entonces $\mu = np$ y $\sigma = \sqrt{npq}$, donde $q = 1 - p$. A medida que $n$ crece, el histograma de $X$ se parece cada vez más a una campana.
La aproximación falla cuando $p$ está cerca de $0$ o de $1$ y $n$ no es lo bastante grande, porque el histograma queda torcido hacia un lado.
Una vez que conoces $\mu$ y $\sigma$, hallar una probabilidad es exactamente el mismo trabajo con puntajes $z$ de antes.
Un lanzador de tiros libres de básquetbol tiene una probabilidad de acierto de $p = 0,8$. Si realiza $n = 100$ lanzamientos, queremos saber si podemos aproximar la…
Un lanzador de tiros libres de básquetbol tiene una probabilidad de acierto de $p = 0,8$. Si realiza $n = 100$ lanzamientos, queremos saber si podemos aproximar la variable binomial $X$ (número de aciertos) por una distribución normal.
- a) Compruebe si se cumplen las condiciones $n \cdot p \ge 5$ y $n \cdot q \ge 5$.
- b) En caso afirmativo, indique cuáles serían los parámetros $\mu$ y $\sigma$ de la nueva distribución normal $X'$.
Se lanza una moneda justa ($p = 0,5$) al aire $400$ veces. Calcule la probabilidad de obtener menos de $190$ caras utilizando la aproximación de la binomial a la normal…
Se lanza una moneda justa ($p = 0,5$) al aire $400$ veces. Calcule la probabilidad de obtener menos de $190$ caras utilizando la aproximación de la binomial a la normal (sin aplicar todavía la corrección de continuidad).
Paso 1: Calcule la media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$.
Paso 2: Estandarice el valor $X = 190$ y busque en la tabla.
La corrección por continuidad
Una binomial toma solo valores enteros ($0, 1, 2, \dots$), pero una variable normal es continua. Para una normal, $P(X' = 65) = 0$. Para arreglar esto, tratamos cada número entero $k$ como una barra de ancho $1$, que va de $k - 0.5$ a $k + 0.5$. En algunos problemas esto se llama corrección de continuidad de Yates.
En una plataforma de streaming, el $15\%$ de los usuarios cancela su suscripción antes de terminar el mes de prueba. Si este mes se han inscrito $400$ nuevos usuarios,…
En una plataforma de streaming, el $15\%$ de los usuarios cancela su suscripción antes de terminar el mes de prueba. Si este mes se han inscrito $400$ nuevos usuarios, calcula, utilizando la aproximación normal con corrección de continuidad, la probabilidad de que se den de baja exactamente $65$ usuarios.
Un examen de opción múltiple consta de $80$ preguntas, cada una con $4$ opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Si un alumno responde a todas las…
Un examen de opción múltiple consta de $80$ preguntas, cada una con $4$ opciones de respuesta de las cuales solo una es correcta. Si un alumno responde a todas las preguntas completamente al azar:
- a) Determina los parámetros de la distribución normal que aproxima a esta variable.
- b) Calcula la probabilidad de que obtenga al menos $25$ aciertos.
Resolver problemas completos
Ya tienes todas las piezas.
Un estudio sobre hábitos de reciclaje afirma que el $35\%$ de los hogares de una ciudad separa correctamente el plástico. Si se selecciona una muestra aleatoria de $120$…
Un estudio sobre hábitos de reciclaje afirma que el $35\%$ de los hogares de una ciudad separa correctamente el plástico. Si se selecciona una muestra aleatoria de $120$ hogares:
- a) Justifica por qué se puede aproximar este experimento por una distribución normal.
- b) Calcula la probabilidad de que, en esa muestra, separen el plástico entre $40$ y $50$ hogares (ambos inclusive).
Un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes revela que el 70 % de los jóvenes de entre 15 y 16 años prefiere el formato digital sobre el papel. Si seleccionamos…
Un estudio sobre hábitos de lectura en adolescentes revela que el 70 % de los jóvenes de entre 15 y 16 años prefiere el formato digital sobre el papel. Si seleccionamos una muestra aleatoria de 400 adolescentes:
- a) Justifica si es posible aproximar la distribución de la variable "número de adolescentes que prefieren el formato digital" mediante una distribución normal.
- b) Calcula, utilizando la aproximación anterior y realizando la corrección de continuidad, la probabilidad de que prefieran el formato digital entre 270 y 290 adolescentes (ambos inclusive).
Se lanza una moneda cargada 500 veces, en la que la probabilidad de obtener cara es de 0,4. Calcula la probabilidad de obtener: a) Exactamente 200 caras. b) Más de 215…
Se lanza una moneda cargada 500 veces, en la que la probabilidad de obtener cara es de 0,4. Calcula la probabilidad de obtener:
- a) Exactamente 200 caras.
- b) Más de 215 caras.
- c) Menos de 185 caras.
Nota: Utiliza la aproximación a la normal con la corrección de continuidad de Yates.
Problemas más difíciles: rangos típicos, cortes y la corrección
El intervalo $np \pm 2\sigma$
Como $X'$ es normal, alrededor del 95% de las veces $X$ cae a menos de dos desviaciones estándar de $np$. Esto te dice qué resultados son "típicos" y cuáles serían sorprendentes.
Hallar un corte para una binomial
Para hallar el conteo que corta una probabilidad dada, despeja $x$ con $x = \mu + z_0\sigma$ exactamente como antes. Después deshaz la corrección por continuidad. Queremos el menor número entero $k$ tal que $P(X \le k) \ge$ la probabilidad dada. Como $P(X \le k) \to P(X' \le k + 0.5)$, necesitamos $k + 0.5 \ge x$.
¿De verdad importa la corrección?
El 5 % de las piezas fabricadas por una máquina de alta precisión resultan defectuosas. Si se empaquetan en cajas de 200 unidades, calcula la probabilidad de que en una…
El 5 % de las piezas fabricadas por una máquina de alta precisión resultan defectuosas. Si se empaquetan en cajas de 200 unidades, calcula la probabilidad de que en una caja:
- a) Haya exactamente 10 piezas defectuosas.
- b) Haya más de 15 piezas defectuosas.
- c) El número de piezas defectuosas sea menor o igual a 5.
Argumenta si los resultados serían significativamente distintos si no se aplicara la corrección de continuidad.
En un examen de opción múltiple con 100 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta (solo una correcta), un alumno contesta a todas las preguntas al azar. a) ¿Cuál…
En un examen de opción múltiple con 100 preguntas, cada una con 4 opciones de respuesta (solo una correcta), un alumno contesta a todas las preguntas al azar.
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas?
- b) Si para aprobar el examen se necesita obtener al menos 40 aciertos, ¿cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe por puro azar?
- c) Determina el intervalo $(np - 2\sigma, np + 2\sigma)$ e interpreta su significado en este contexto.
Una cadena de gimnasios sabe que el 20 % de sus clientes inscritos no acude nunca a las instalaciones. Si en un gimnasio en particular hay 600 inscritos: a) Calcula la…
Una cadena de gimnasios sabe que el 20 % de sus clientes inscritos no acude nunca a las instalaciones. Si en un gimnasio en particular hay 600 inscritos:
- a) Calcula la probabilidad de que el número de clientes que nunca acuden esté entre 110 y 135 inclusive.
- b) Si el gimnasio decide lanzar una campaña de motivación para estos clientes si el número de "inactivos" supera los 140, ¿qué probabilidad hay de que tengan que lanzar dicha campaña?
- c) ¿Cuál es el número máximo de clientes inactivos que se espera encontrar con una probabilidad del 90 %?
De vuelta al principio: Para la máquina con $X \sim B(600, 0.05)$, $np = 30 \ge 5$ y $nq = 570 \ge 5$, así que $\mu = 30$ y $\sigma = \sqrt{28.5} \approx 5.34$. Con la corrección, $P(25 \le X \le 35) \to P(24.5 \le X' \le 35.5) = P(-1.03 \le Z \le 1.03) = 2(0.8485) - 1 = 0.6970$. Hay alrededor de un 69.7% de probabilidad de que una caja tenga entre 25 y 35 piezas defectuosas.