Pruebas de hipótesis
Jayden, el base titular, dice que encesta el $70\%$ de sus tiros libres. En el partido del viernes encesta solo $28$ de $50$ tiros, es decir, el $56\%$. ¿Simplemente tuvo una mala noche, o el $70\%$ es una afirmación demasiado alta? Una prueba de hipótesis (también llamada prueba de significancia) ofrece una forma justa y estándar de decidirlo. Volveremos a Jayden al final de la página.
Cómo plantear las hipótesis
Toda prueba empieza con dos afirmaciones opuestas sobre un parámetro, un número que describe a toda una población (no solo a tu muestra).
La hipótesis nula $H_0$ es la afirmación de que "no pasa nada especial". Dice que el parámetro es igual a un valor específico. La hipótesis alternativa $H_a$ es lo que sospechamos y para lo que queremos evidencia. Dice que el parámetro es menor que, mayor que, o distinto de ese valor.
Piensa en un juicio: al acusado se le presume inocente ($H_0$) hasta que la evidencia es lo bastante fuerte para condenarlo ($H_a$). Nunca "probamos la inocencia". Solo decidimos si la evidencia es suficientemente fuerte para rechazarla.
La dirección de $H_a$ sale de la pregunta que se plantea, antes de mirar los datos. Las colas sombreadas muestran dónde tendría que caer el resultado de la muestra para contar como evidencia a favor de $H_a$.
| Situación | Parámetro | Hipótesis nula |
|---|---|---|
| Una proporción | $p$ | $H_0: p = p_0$ |
| Una media | $\mu$ | $H_0: \mu = \mu_0$ |
| Datos pareados | $\mu_d$ (media de las diferencias) | $H_0: \mu_d = 0$ |
| Dos proporciones | $p_1 - p_2$ | $H_0: p_1 = p_2$ |
| Dos medias | $\mu_1 - \mu_2$ | $H_0: \mu_1 = \mu_2$ |
Un estudio nacional afirma que el $75\%$ de los estudiantes de preparatoria (high school) en Estados Unidos tienen un smartphone* de una marca específica. Un profesor de…
Un estudio nacional afirma que el $75\%$ de los estudiantes de preparatoria (high school) en Estados Unidos tienen un smartphone de una marca específica. Un profesor de estadística cree que la proporción en su distrito escolar es menor a la cifra nacional. Para investigarlo, selecciona una muestra aleatoria de estudiantes de su distrito.
Escribe la hipótesis nula ($H_0$) y la hipótesis alternativa ($H_a$) para esta prueba de significancia, definiendo claramente el parámetro utilizado.
Estadísticos de prueba, valores P y decisiones
La lógica de toda prueba es la misma: supón que $H_0$ es verdadera y pregunta qué tan sorprendente sería el resultado de la muestra.
Primero, estandariza el resultado con un estadístico de prueba:
$$\text{estadístico de prueba} = \frac{\text{estadístico} - \text{valor del parámetro bajo } H_0}{\text{desviación estándar (o error estándar) del estadístico}}$$Cuenta cuántas desviaciones estándar se aleja el resultado de la muestra de lo que predice $H_0$. Luego el valor P mide qué tan sorprendente es eso.
Un valor P pequeño significa que los datos serían raros si $H_0$ fuera verdadera. Eso es evidencia en contra de $H_0$. En una prueba de dos colas, cuenta ambas colas (duplica el área de una cola).
El nivel de significancia $\alpha$ (por lo general $0.05$) es el límite que eliges de antemano para decir "suficientemente raro".
Conviene memorizar los valores críticos de la normal estándar, porque permiten juzgar un estadístico $z$ de un vistazo:
| Prueba | $\alpha = 0.05$ | $\alpha = 0.01$ |
|---|---|---|
| Una cola | $z = \pm 1.645$ | $z = \pm 2.326$ |
| Dos colas | $z = \pm 1.96$ | $z = \pm 2.576$ |
En el examen AP, las respuestas siguen cuatro pasos: Plantear (hipótesis, parámetro, $\alpha$), Planear (nombrar la prueba y verificar las condiciones), Hacer (estadístico y valor P), Concluir (decisión en contexto).
El gerente de un restaurante de comida rápida en Chicago afirma que el tiempo de espera promedio en el auto-servicio (drive-thru) es inferior a $3$ minutos. Un auditor…
El gerente de un restaurante de comida rápida en Chicago afirma que el tiempo de espera promedio en el auto-servicio (drive-thru) es inferior a $3$ minutos. Un auditor independiente realiza una prueba de hipótesis con $H_0: \mu = 3$ y $H_a: \mu < 3$. Tras analizar los datos de una muestra, el auditor obtiene un valor p (P-value) de $0.014$.
Considerando un nivel de significancia $\alpha = 0.05$, indica cuál debe ser la decisión sobre la hipótesis nula y redacta la conclusión en el contexto del problema.
Una empresa evalúa si un nuevo teclado ergonómico aumenta la velocidad de escritura en palabras por minuto (ppm) comparado con el teclado estándar. Se seleccionaron $4$…
Una empresa evalúa si un nuevo teclado ergonómico aumenta la velocidad de escritura en palabras por minuto (ppm) comparado con el teclado estándar. Se seleccionaron $4$ empleados al azar y se midió su velocidad en ambos teclados. El diagrama muestra los resultados pareados y la diferencia para cada sujeto ($\Delta = \text{Ergonómico} - \text{Estándar}$).
Usando los datos del diagrama, calcula la media de las diferencias ($\bar{x}_d$) y la desviación estándar de las diferencias ($s_d$). Luego, plantea $H_0$ y $H_a$ para determinar si el teclado ergonómico mejora la velocidad promedio de escritura.
Un investigador realiza una prueba $t$ de una muestra para $H_0: \mu = 100$ contra $H_a: \mu \neq 100$. Toma una muestra de $n = 25$ y obtiene un estadístico de prueba…
Un investigador realiza una prueba $t$ de una muestra para $H_0: \mu = 100$ contra $H_a: \mu \neq 100$. Toma una muestra de $n = 25$ y obtiene un estadístico de prueba $t = -2.064$.
Usando una tabla $t$ o tecnología, determina el rango en el que se encuentra el valor p (P-value) y decide si se rechaza $H_0$ a un nivel de significancia del $5\%$.
Pruebas para proporciones
Una proporción: la prueba $z$
Tienes una muestra aleatoria y una proporción afirmada $p_0$. El estadístico de prueba es
$$z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1 - p_0)}{n}}}$$El denominador es la desviación estándar de $\hat{p}$ si $H_0$ es verdadera, por eso usa $p_0$ y no $\hat{p}$. El valor P sale de la curva normal estándar.
Dos proporciones: la proporción combinada
Para comparar dos grupos, $H_0: p_1 = p_2$. Si $H_0$ es verdadera, ambos grupos comparten una sola proporción común, así que la mejor estimación de ella combina las dos muestras. Esta es la proporción combinada:
$$\hat{p}_c = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}, \qquad z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}_c(1 - \hat{p}_c)\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)}}$$Condiciones: ambas muestras aleatorias (o un experimento aleatorizado), cada muestra con menos del $10\%$ de su población, y conteos grandes: $n_1\hat{p}_c$, $n_1(1 - \hat{p}_c)$, $n_2\hat{p}_c$, $n_2(1 - \hat{p}_c)$ todos de al menos $10$. (Algunos textos verifican los conteos reales de éxitos y fracasos de cada grupo.)
Trabajar hacia atrás
Los estadísticos de prueba son fórmulas, así que puedes despejar una pieza que falte. Con tamaños de muestra iguales $n$, el error estándar se simplifica a $\sqrt{2\hat{p}_c(1 - \hat{p}_c)/n}$.
Una fábrica de botanas empaca bolsas de papas fritas que, según la etiqueta, contienen $8.5$ onzas. El inspector de control de calidad selecciona una muestra aleatoria…
Una fábrica de botanas empaca bolsas de papas fritas que, según la etiqueta, contienen $8.5$ onzas. El inspector de control de calidad selecciona una muestra aleatoria de $30$ bolsas y encuentra una media muestral de $8.35$ onzas con una desviación estándar de $0.4$ onzas.
Calcula el valor del estadístico de prueba $t$ que el inspector debe usar para contrastar si el peso promedio real de las bolsas es diferente de $8.5$ onzas.
Una plataforma de streaming* reporta que históricamente el $40\%$ de los usuarios que cancelan su suscripción lo hacen porque consideran que el precio es muy alto. El…
Una plataforma de streaming reporta que históricamente el $40\%$ de los usuarios que cancelan su suscripción lo hacen porque consideran que el precio es muy alto. El mes pasado, la compañía aumentó su tarifa en $2$ dólares. Para ver si esto cambió la proporción de cancelaciones por precio, seleccionan una muestra aleatoria de $150$ usuarios que cancelaron recientemente; de ellos, $72$ citaron el precio como la razón principal.
Realiza los primeros pasos de una prueba de significancia: verifica las condiciones necesarias para usar el modelo normal, calcula el estadístico de prueba y encuentra el valor p.
Una empresa de comercio electrónico realiza un experimento "A/B testing" para ver si un nuevo diseño de su página web aumenta la proporción de visitantes que compran…
Una empresa de comercio electrónico realiza un experimento "A/B testing" para ver si un nuevo diseño de su página web aumenta la proporción de visitantes que compran boletos para conciertos.
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Versión A (Diseño actual): De $1,200$ visitantes, $102$ compraron boletos.
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Versión B (Nuevo diseño): De $1,500$ visitantes, $165$ compraron boletos.
El equipo de marketing afirma que el nuevo diseño es superior. Realiza una prueba $z$ de dos proporciones para evaluar esta afirmación con $\alpha = 0.05$. En tu respuesta, debes mostrar el cálculo del error estándar combinado (pooled standard error) y discutir por qué se utiliza la proporción combinada en el denominador del estadístico de prueba en lugar de los errores estándar individuales.
Una media y datos pareados: la prueba $t$
Con medias, casi nunca conocemos la desviación estándar poblacional $\sigma$, así que usamos la desviación estándar muestral $s$. Esa incertidumbre adicional hace que el estadístico siga una distribución $t$ con $gl = n - 1$ grados de libertad.
$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}, \qquad gl = n - 1$$Halla el valor P con una tabla $t$ (acótalo entre dos columnas) o con una calculadora: tcdf(inferior, superior, gl).
Datos pareados
A veces cada sujeto se mide dos veces (antes y después, izquierda y derecha), o los sujetos se emparejan. Entonces los datos son pareados. Calcula la diferencia dentro de cada par y aplica una prueba $t$ de una muestra a esas diferencias, con $\mu_0 = 0$ y $n$ = número de pares. El parámetro es $\mu_d$, la media real de las diferencias.
Trabajar hacia atrás también funciona aquí. Si un problema da $t$, $s$, $n$ y $\mu_0$, despeja $\bar{x}$:
$$\bar{x} = \mu_0 + t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$$En el contexto de las pruebas de hipótesis, la "potencia de la prueba" (power of the test) es la probabilidad de rechazar correctamente una hipótesis nula falsa. Una…
En el contexto de las pruebas de hipótesis, la "potencia de la prueba" (power of the test) es la probabilidad de rechazar correctamente una hipótesis nula falsa. Una compañía farmacéutica está probando un nuevo medicamento para reducir la presión arterial y calcula que la potencia de su prueba es de $0.85$ para detectar una diferencia de $5$ puntos.
Explica qué significa este valor de $0.85$ en el contexto del nuevo medicamento y determina cuál es la probabilidad de cometer un Error de Tipo II.
El departamento de tránsito de una ciudad en Texas afirma que los conductores manejan en promedio a $65$ millas por hora (mph) en una autopista donde el límite es $60$…
El departamento de tránsito de una ciudad en Texas afirma que los conductores manejan en promedio a $65$ millas por hora (mph) en una autopista donde el límite es $60$ mph. La policía local cree que la velocidad promedio es mayor a $65$ mph. Utilizan un radar oculto para registrar la velocidad de $45$ vehículos seleccionados al azar, obteniendo una media de $67.2$ mph y una desviación estándar de $5.8$ mph.
A un nivel de significancia $\alpha = 0.01$, ¿hay evidencia convincente para apoyar la sospecha de la policía? Muestra el cálculo del estadístico $t$, los grados de libertad y la conclusión en contexto.
Una clínica de pérdida de peso afirma que su programa de 8 semanas logra una reducción significativa de peso. Se seleccionan $6$ participantes al azar y se registra su…
Una clínica de pérdida de peso afirma que su programa de 8 semanas logra una reducción significativa de peso. Se seleccionan $6$ participantes al azar y se registra su peso (en libras) antes y después del programa:
| Participante | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Antes | 210 | 195 | 225 | 180 | 200 | 215 |
| Después | 202 | 190 | 227 | 175 | 192 | 205 |
Asumiendo que las diferencias poblacionales se distribuyen normalmente, realiza una prueba $t$ para datos pareados para evaluar la afirmación de la clínica con $\alpha = 0.05$. Además, explica si un intervalo de confianza del $90\%$ para la diferencia media contendría el valor cero, basándote en el resultado de tu prueba.
Comparación de dos medias
Cuando tienes dos grupos independientes (sin emparejamiento entre ellos), usa la prueba $t$ de dos muestras para $H_0: \mu_1 = \mu_2$:
$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$Las calculadoras y los programas calculan un número (fraccionario) de grados de libertad. Para trabajar a mano, usa el valor conservador $gl = \min(n_1 - 1, \ n_2 - 1)$. Eso hace que el valor P sea un poco mayor, así que es la opción segura.
¿Datos pareados o dos muestras?
Pregúntate: ¿cada valor de un grupo está ligado de forma natural con un valor del otro grupo? Si el mismo sujeto se mide dos veces (o los sujetos están emparejados), los datos son pareados. Si los grupos son separados, usa dos muestras.
El emparejamiento es poderoso. En un estudio sobre unos nuevos tenis de atletismo, el Diseño 1 (atletas distintos en cada grupo) mezcla el efecto del calzado con las diferencias naturales de velocidad entre los atletas. El Diseño 2 (cada atleta corre con ambos tenis, con el orden aleatorizado) resta la base de cada atleta, de modo que la variabilidad entre atletas desaparece de las diferencias. Un error estándar más pequeño hace más fácil detectar un efecto real.
Una revista de automóviles quiere comparar el rendimiento de combustible (en millas por galón, mpg) de dos modelos de camionetas (trucks), el Modelo A y el Modelo B. Los…
Una revista de automóviles quiere comparar el rendimiento de combustible (en millas por galón, mpg) de dos modelos de camionetas (trucks), el Modelo A y el Modelo B. Los editores sospechan que el Modelo A tiene un mejor rendimiento promedio que el Modelo B.
Define los parámetros poblacionales y establece las hipótesis $H_0$ y $H_a$ para una prueba de dos muestras independientes.
Un investigador quiere evaluar si un nuevo aditivo para el aceite del motor reduce el desgaste del mismo. Para el estudio, recluta a $20$ conductores. Cada conductor usa…
Un investigador quiere evaluar si un nuevo aditivo para el aceite del motor reduce el desgaste del mismo. Para el estudio, recluta a $20$ conductores. Cada conductor usa el aceite regular durante $3,000$ millas, se mide el desgaste del motor, y luego el mismo conductor usa el aceite con el aditivo durante otras $3,000$ millas, midiendo nuevamente el desgaste.
Determina si este diseño corresponde a una prueba para dos muestras independientes o a una prueba $t$ para datos pareados (paired t-test), y justifica brevemente tu respuesta.
Un analista de transporte urbano quiere comparar los tiempos de espera de dos aplicaciones de viaje compartido, Uber y Lyft, en el centro de la ciudad durante la hora…
Un analista de transporte urbano quiere comparar los tiempos de espera de dos aplicaciones de viaje compartido, Uber y Lyft, en el centro de la ciudad durante la hora pico. Recopila dos conjuntos de datos:
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Toma una muestra de $30$ solicitudes de Uber y, de manera independiente, $30$ solicitudes de Lyft, midiendo el tiempo de espera de cada una.
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Un mes después, cambia la metodología: recluta a $30$ usuarios y les pide que abran ambas aplicaciones simultáneamente en el mismo lugar y momento, registrando la diferencia de tiempo de espera estimado (Uber - Lyft) en sus celulares.
Explica detalladamente qué tipo de prueba de significancia es apropiada para el primer diseño y cuál para el segundo. Discute qué diseño experimental tiene mayor poder estadístico para detectar una diferencia real en los tiempos de espera y por qué el control de variables de confusión (confounding variables) juega un papel clave en esa ventaja.
Errores y potencia
Una prueba puede llegar a una conclusión equivocada aun si se hace perfectamente, porque se basa en una muestra aleatoria.
| $H_0$ es verdadera | $H_a$ es verdadera | |
|---|---|---|
| Rechazar $H_0$ | Error de tipo I | Decisión correcta (potencia) |
| No rechazar $H_0$ | Decisión correcta | Error de tipo II |
En una pregunta en contexto, describe el error con palabras sobre la situación. Por ejemplo, si $H_0$: "el medicamento no reduce la presión arterial" y $H_a$: "el medicamento la reduce", un error de tipo I es concluir que el medicamento funciona cuando en realidad no funciona, y un error de tipo II es concluir que no hay evidencia de que funcione cuando en realidad sí funciona.
El valor crítico divide el eje horizontal en "rechazar" (derecha) y "no rechazar" (izquierda). Bajo $H_0$, el área a la derecha es $\alpha$. Bajo una alternativa específica verdadera, el área a la izquierda es $\beta$ y el área a la derecha es la potencia.
Elegir $\alpha$ es un equilibrio basado en las consecuencias. Si un error de tipo I es muy costoso o peligroso, usa un $\alpha$ pequeño. Si el error de tipo II es el mayor peligro (pasar por alto un riesgo real o una cura real), acepta un $\alpha$ mayor a cambio de más potencia.
Una compañía que fabrica detectores de humo para apartamentos afirma que sus alarmas se activan a una concentración de humo específica. Se realiza una prueba de control…
Una compañía que fabrica detectores de humo para apartamentos afirma que sus alarmas se activan a una concentración de humo específica. Se realiza una prueba de control de calidad donde:
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$H_0$: El detector funciona correctamente y se activa al nivel adecuado.
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$H_a$: El detector es defectuoso y no se activa al nivel adecuado.
Describe qué significaría cometer un Error de Tipo I en el contexto de este problema y cuál sería su consecuencia para el consumidor.
Una revista de tecnología prueba la duración de la batería de dos marcas de computadoras portátiles (laptops) al reproducir video continuamente. Marca X: $n_1 = 15$,…
Una revista de tecnología prueba la duración de la batería de dos marcas de computadoras portátiles (laptops) al reproducir video continuamente.
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Marca X: $n_1 = 15$, media $\bar{x}_1 = 11.2$ horas, desviación estándar $s_1 = 1.1$ horas.
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Marca Y: $n_2 = 18$, media $\bar{x}_2 = 9.8$ horas, desviación estándar $s_2 = 1.4$ horas.
Asumiendo que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal, realiza una prueba de hipótesis para determinar si la duración promedio de la batería de la Marca X es significativamente mayor que la de la Marca Y. Usa $\alpha = 0.05$ y proporciona el estadístico $t$ y los grados de libertad conservadores (o calculados por tecnología).
Un investigador perdió parte de la hoja de cálculo de su estudio sobre el peso de los recién nacidos en un hospital local. Sabe que la hipótesis nula era…
Un investigador perdió parte de la hoja de cálculo de su estudio sobre el peso de los recién nacidos en un hospital local. Sabe que la hipótesis nula era $H_0: \mu = 7.5$ libras, y que utilizó una muestra de $n = 16$ bebés. En sus notas, encuentra que el estadístico de prueba fue $t = 2.13$ y que la media muestral fue $\bar{x} = 7.8$ libras.
A partir de esta información limitada, reconstruye la desviación estándar muestral $s$ que el investigador debió haber obtenido. Luego, determina si rechazaría $H_0$ a un nivel de significancia $\alpha = 0.05$ para una prueba de dos colas.
Resumen
De vuelta con Jayden: suponiendo que de verdad tira al $70\%$, la probabilidad de encestar $28$ o menos de $50$ es de solo alrededor de $0.015$. Eso es menor que $\alpha = 0.05$, así que tenemos evidencia convincente de que su porcentaje real es menor que el $70\%$, y no es solo una mala noche. Esa probabilidad de $1.5\%$ no es cero, así que esta decisión podría ser un error de tipo I.
| Procedimiento | Parámetro | Estadístico de prueba | Condiciones |
|---|---|---|---|
| $z$ de una proporción | $p$ | $z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1 - p_0)/n}}$ | Aleatoriedad; $10\%$; $np_0, n(1 - p_0) \ge 10$ |
| $z$ de dos proporciones | $p_1 - p_2$ | $z = \dfrac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}_c(1 - \hat{p}_c)(1/n_1 + 1/n_2)}}$ | Aleatoriedad; $10\%$; conteos grandes con $\hat{p}_c$ |
| $t$ de una muestra | $\mu$ | $t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$, $gl = n - 1$ | Aleatoriedad; $10\%$; normal o $n \ge 30$ |
| $t$ pareada | $\mu_d$ | $t = \dfrac{\bar{x}_d - 0}{s_d/\sqrt{n}}$, $gl = n - 1$ | Aleatoriedad; $10\%$; diferencias normales o $n \ge 30$ |
| $t$ de dos muestras | $\mu_1 - \mu_2$ | $t = \dfrac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}$ | Muestras aleatorias independientes; $10\%$; normal o $n \ge 30$ cada una |