Tablas y gráficas de funciones
Marcus está haciendo un póster de la trayectoria de un tiro libre de baloncesto. A su calculadora casi no le queda batería, así que solo puede calcular cinco puntos de la parábola. ¿Cuáles cinco puntos debe elegir para que el bosquejo salga bien? Esa es la destreza de esta página: elegir los valores correctos de $x$, calcular los resultados y unir los puntos con buen criterio.
Cómo construir una tabla de valores
Una tabla de valores enumera entradas $x$ y salidas $f(x)$. Cada fila es un punto $(x, f(x))$ de la gráfica. Para una recta sirven entradas al azar, pero para la mayoría de las demás funciones hay que elegirlas a propósito.
Para una recta, dos puntos determinan la gráfica y un tercero sirve para comprobar.
Para una parábola, primero van el vértice y las intersecciones.
Dada la función lineal $f(x) = 2x - 3$: a) Complete una tabla de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$. b) Grafique la función en el plano cartesiano utilizando los…
Dada la función lineal $f(x) = 2x - 3$:
- a) Complete una tabla de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$.
- b) Grafique la función en el plano cartesiano utilizando los puntos obtenidos.
Considere la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$: a) Calcule las imágenes para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ y organiza los resultados en una tabla. b) Dibuje la gráfica de la…
Considere la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$:
- a) Calcule las imágenes para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ y organiza los resultados en una tabla.
- b) Dibuje la gráfica de la función e identifique las coordenadas de su vértice.
El costo $C(t)$ en dólares de dejar un carro en un estacionamiento viene dado por la función $C(t) = 2 + 1.5t$, donde $t$ es el tiempo en horas. a) Haga una tabla de…
El costo $C(t)$ en dólares de dejar un carro en un estacionamiento viene dado por la función $C(t) = 2 + 1.5t$, donde $t$ es el tiempo en horas.
- a) Haga una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t=0, 1, 2, 3, 4$).
- b) Grafique la función en ese intervalo.
De una tabla a una fórmula
A veces te dan primero la tabla y necesitas la regla. Mira las diferencias entre salidas consecutivas, siempre que las entradas aumenten el mismo paso cada vez.
Una vez que conoces el tipo, escribe la forma general y usa los puntos para hallar los coeficientes desconocidos.
Identifique si la siguiente tabla de valores corresponde a una función lineal o a una función cuadrática calculando las diferencias entre valores consecutivos de $y$. A…
Identifique si la siguiente tabla de valores corresponde a una función lineal o a una función cuadrática calculando las diferencias entre valores consecutivos de $y$. A continuación, obtenga su expresión analítica $y = f(x)$.
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $1$ | $4$ | $7$ | $10$ | $13$ |
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial desde que se enciende viene dada por la función $T(t) = 20 + 15t$, donde $t$ se mide en minutos. a) ¿Cuál…
La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial desde que se enciende viene dada por la función $T(t) = 20 + 15t$, donde $t$ se mide en minutos.
- a) ¿Cuál es la temperatura inicial del horno?
- b) Construya una tabla de valores para $t = 0, 5, 10, 15$.
- c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el horno alcance los $200^\circ\text{C}$?
Una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 0)$ y $(2, -1)$. a) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones para…
Una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 0)$ y $(2, -1)$.
- a) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a, b$ y $c$.
- b) Con la expresión analítica obtenida, calcule el vértice y construya una tabla de valores para graficar la parábola.
Parábolas: vértice, intersecciones y modelos
La gráfica de una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ tiene un esqueleto claro, así que puedes trazarla con muy pocos puntos.
Las cuadráticas también modelan situaciones reales: el vértice da el mejor valor (máximo o mínimo) y las intersecciones con el eje $x$ indican dónde una cantidad llega a cero (una ganancia de $0$ es el punto de equilibrio).
Cuando un lado de un corral es una pared, ese lado no necesita cerca, así que la cerca se usa en solo tres lados. Escribe primero el lado que falta en términos de $x$ y luego el área.
Considere la función cuadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. a) Calcule analíticamente las coordenadas de su vértice y los puntos de intersección con los ejes. b) Cree una…
Considere la función cuadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.
- a) Calcule analíticamente las coordenadas de su vértice y los puntos de intersección con los ejes.
- b) Cree una tabla de valores tomando dos puntos a la izquierda del vértice y dos a la derecha.
- c) Grafique la parábola.
La ganancia mensual $B(x)$, en dólares, de una fábrica de componentes electrónicos en función del número de unidades producidas $x$ se modela mediante la función…
La ganancia mensual $B(x)$, en dólares, de una fábrica de componentes electrónicos en función del número de unidades producidas $x$ se modela mediante la función $B(x) = -5x^2 + 300x - 4000$.
- a) Encuentre los puntos de equilibrio (producción para la cual la ganancia es cero).
- b) Genera una tabla de valores estratégica que incluya los puntos de equilibrio y el vértice.
- c) ¿Cuántas unidades deben producirse para maximizar la ganancia y de cuánto es dicha ganancia máxima?
Se desea construir un corral rectangular aprovechando un muro ya existente para uno de sus lados. Se dispone de $20\text{ m}$ de cerca metálica para los otros tres…
Se desea construir un corral rectangular aprovechando un muro ya existente para uno de sus lados. Se dispone de $20\text{ m}$ de cerca metálica para los otros tres lados.
- a) Exprese el área $A(x)$ del corral en función de la longitud $x$ de uno de los lados perpendiculares al muro.
- b) Determine el dominio de validez de la función $A(x)$ en el contexto del problema.
- c) Construya una tabla de valores y utilícela para esbozar la gráfica y encontrar las dimensiones que maximizan el área.
Funciones radicales: dónde empieza la gráfica
Una raíz cuadrada necesita un radicando no negativo, así que la gráfica de una función radical empieza justo donde el radicando es $0$. Algunos problemas las llaman funciones radicales; son lo mismo que las funciones radicales.
Cuando el radicando es $9 - x^2$ o $16 - x^2$, la desigualdad es cuadrática. Para $\sqrt{16 - x^2}$ necesitamos $16 - x^2 \ge 0$, así que $-4 \le x \le 4$. Al elevar al cuadrado ambos lados de $y = \sqrt{16 - x^2}$ se obtiene $x^2 + y^2 = 16$, un círculo de radio $4$. La gráfica es la mitad superior de ese círculo (porque $y \ge 0$), así que el rango es $[0, 4]$.
Dada la función irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$: a) Determine analíticamente su dominio. b) Complete una tabla de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ y utilícela para…
Dada la función irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$:
- a) Determine analíticamente su dominio.
- b) Complete una tabla de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ y utilícela para esbozar la gráfica.
Considere la función $f(x) = \sqrt{9-x^2}$. a) Calcule analíticamente su dominio de definición. b) Haga una tabla de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$. c)…
Considere la función $f(x) = \sqrt{9-x^2}$.
- a) Calcule analíticamente su dominio de definición.
- b) Haga una tabla de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$.
- c) Grafique la función e indique cuál es su rango.
Funciones de valor absoluto
$|x|$ es la distancia de $x$ a $0$, así que nunca es negativo. En $y = |g(x)|$, cualquier parte de la gráfica de $g$ que quede debajo del eje $x$ se voltea hacia arriba.
Dada la función valor absoluto $f(x) = |2x - 5|$: a) Evalúe la función en los puntos $x = 0, 2, 2.5, 3, 5$ y construya una tabla de valores. b) Grafique la función.
Dada la función valor absoluto $f(x) = |2x - 5|$:
- a) Evalúe la función en los puntos $x = 0, 2, 2.5, 3, 5$ y construya una tabla de valores.
- b) Grafique la función.
Dada la función valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$: a) Exprese la función definida por partes eliminando el valor absoluto. b) Encuentre los puntos de intersección con…
Dada la función valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$:
- a) Exprese la función definida por partes eliminando el valor absoluto.
- b) Encuentre los puntos de intersección con los ejes.
- c) Construya una tabla de valores en el intervalo $[-3, 3]$ y dibuje su gráfica.
Funciones racionales: puntos cerca del valor prohibido
Una función racional tiene una variable en el denominador, así que debes excluir los valores de $x$ que hacen el denominador igual a $0$. El comportamiento interesante ocurre justo al lado de esos valores.
Calcule analíticamente los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.
Calcule analíticamente los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.
Dada la función racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$: a) Determine su dominio. b) Construya una tabla de valores evaluando la función en puntos cercanos a $x = 2$ por la…
Dada la función racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$:
- a) Determine su dominio.
- b) Construya una tabla de valores evaluando la función en puntos cercanos a $x = 2$ por la izquierda y por la derecha ($x = 1.9, 1.99, 2.1, 2.01$).
- c) A partir de los resultados obtenidos, ¿qué elemento gráfico presenta la función en $x = 2$?
Funciones definidas por partes: revisar el corte
Una función definida por partes usa una regla distinta en cada intervalo. Revisa cada par de tramos en el punto donde cambia la regla.
Una función es continua en el corte $x = c$ cuando ambas reglas dan el mismo valor ahí. Esta idea permite hallar un parámetro desconocido.
Dada la función definida por partes: $f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$ a) Construya una tabla de valores…
Dada la función definida por partes:
$f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$
- a) Construya una tabla de valores evaluando la función en $x = -2, 0, 0.99, 1, 2, 3$.
- b) Grafique la función e indique si es continua en $x = 1$.
Dada la función definida por partes dependiente de un parámetro $k$: $f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$ a)…
Dada la función definida por partes dependiente de un parámetro $k$:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
- a) Halle el valor de $k$ para que las dos ramas de la función "conecten" en el punto $x = 2$ (es decir, para que la función sea continua).
- b) Con el valor de $k$ hallado, construya una tabla de valores en el intervalo $[0, 4]$ y esboce la gráfica de la función.
Funciones exponenciales y logarítmicas
En una función exponencial $y = a \cdot b^x$ la entrada está en el exponente. Cada vez que $x$ aumenta $1$, la salida se multiplica por el factor de crecimiento $b$ (en lugar de aumentar una cantidad fija).
La función logarítmica es la inversa de una exponencial. $y = \log_2 x$ significa $2^y = x$. El argumento de un logaritmo debe ser positivo, así que el dominio sale de "argumento $> 0$", y la recta donde el argumento es $0$ es una asíntota vertical.
En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias. El número de bacterias $N(t)$ en miles viene dado por la función $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde…
En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias. El número de bacterias $N(t)$ en miles viene dado por la función $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas.
- a) Construya una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t = 0, 1, 2, 3, 4$).
- b) Grafique la función. ¿Qué tipo de crecimiento se observa?
La masa $M(t)$ en onzas de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en días) según la función exponencial $M(t) = M_0 \cdot (0.5)^{\frac{t}{T}}$, donde $M_0$…
La masa $M(t)$ en onzas de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en días) según la función exponencial $M(t) = M_0 \cdot (0.5)^{\frac{t}{T}}$, donde $M_0$ es la masa inicial y $T$ es el periodo de semidesintegración.
Sabiendo que en el instante $t=0$ había $200\text{ g}$ de sustancia y que tras $60\text{ días}$ quedan $50\text{ g}$:
- a) Calcule el valor de los parámetros $M_0$ y $T$.
- b) Construya una tabla de valores para $t = 0, 30, 60, 90, 120$ y esboce la gráfica.
Dada la función logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$: a) Determine analíticamente su dominio y la ecuación de su asíntota vertical. b) Construya una tabla de valores…
Dada la función logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$:
- a) Determine analíticamente su dominio y la ecuación de su asíntota vertical.
- b) Construya una tabla de valores eligiendo valores estratégicos de $x$ que den como resultado potencias exactas de base 2 para el argumento del logaritmo.
- c) Grafique la función.
Tablas para una función inversa
Si $f$ envía $x$ a $y$, su inversa $f^{-1}$ envía $y$ de vuelta a $x$. Así que obtienes una tabla de $f^{-1}$ intercambiando las columnas de la tabla de $f$.
En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$ y la recta $y = x$. a) A partir de los puntos destacados en la curva azul de $f(x)$,…
En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$ y la recta $y = x$.
- a) A partir de los puntos destacados en la curva azul de $f(x)$, construya una tabla de valores para su función inversa $f^{-1}(x)$.
- b) Dibuje en su cuaderno la gráfica de la función inversa aprovechando la simetría respecto a la recta $y=x$.
- c) Escriba la expresión analítica de $f^{-1}(x)$.
Cómo leer una gráfica: dominio, rango, tendencias y asíntotas
A veces la gráfica ya está dibujada y necesitas leerla. Mírala en este orden: qué valores de $x$ se usan (dominio), qué valores de $y$ se alcanzan (rango), los puntos especiales, si sube o baja y qué pasa en los extremos.
Las gráficas de situaciones reales suelen estabilizarse. Una bebida caliente se enfría rápido al principio, luego cada vez más despacio, y termina a la temperatura del cuarto.
También puedes ir al revés, de una gráfica a una fórmula. Una función racional $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ tiene asíntota vertical $x = -\dfrac{d}{c}$ y asíntota horizontal $y = \dfrac{a}{c}$.
Observe la siguiente gráfica de una función $f(x)$ definida por tramos rectos: A partir de la gráfica, determine: a) El dominio y el rango de la función. b) El valor de…
Observe la siguiente gráfica de una función $f(x)$ definida por tramos rectos:
A partir de la gráfica, determine:
- a) El dominio y el rango de la función.
- b) El valor de $f(-2)$ y $f(1)$.
El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se sirve. A…
El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se sirve.
A partir de la gráfica:
- a) Indique la temperatura inicial del café.
- b) ¿Hacia qué valor tiende la temperatura a medida que transcurre mucho tiempo? ¿Qué significado físico tiene la asíntota horizontal?
- c) ¿La función es creciente o decreciente? Justifique su respuesta.
Observa la siguiente gráfica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$: A partir de la información proporcionada por la gráfica (asíntotas y puntos…
Observa la siguiente gráfica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$:
A partir de la información proporcionada por la gráfica (asíntotas y puntos de intersección):
- a) Determine el dominio y el rango de la función.
- b) Duzca la expresión analítica de la función $f(x)$.
Volvamos al inicio: para el tiro libre de Marcus, los cinco mejores puntos son el vértice (lo más alto del tiro), las dos intersecciones con el eje $x$ donde el balón está al nivel del suelo (o de la altura de lanzamiento) y un punto a cada lado del vértice para confirmar la simetría. Es la misma estrategia que usaste con cada función de esta página.