Distribuciones de probabilidad discretas
Es viernes por la noche en una pizzería de Chicago. La gerente, Priya, anota cuántas entregas llegan tarde. Quiere saber dos cosas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya como máximo 2 entregas tardías en una noche cualquiera? ¿Y cuántas entregas tardías debería esperar en una noche típica? Una distribución de probabilidad responde ambas preguntas.
Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad
Una variable aleatoria asigna un número a cada resultado de un proceso aleatorio. Es discreta cuando sus valores posibles se pueden listar uno por uno, como $0, 1, 2, 3, \dots$ Contar cosas (entregas tardías, caras, hermanos) da una variable aleatoria discreta.
Algunos problemas la llaman función de probabilidad (o función de densidad discreta). Es lo mismo que una distribución de probabilidad.
¿Por qué la regla 2? Cada noche sucede algo. Los valores listados cubren todas las posibilidades, así que juntos deben acumular el 100% de la probabilidad.
Determine razonadamente si la siguiente tabla puede representar la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$. Para ello, compruebe que se cumplen…
Determine razonadamente si la siguiente tabla puede representar la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$. Para ello, compruebe que se cumplen las propiedades fundamentales de las probabilidades:
| $x_i$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $0,25$ | $0,40$ | $0,15$ | $0,20$ |
Explique por qué la siguiente función no puede ser la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$: $P(X=x_i) = \{0,2; 0,3; -0,1; 0,6\}$ Justifique su…
Explique por qué la siguiente función no puede ser la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$:
$P(X=x_i) = \{0,2; 0,3; -0,1; 0,6\}$
Justifique su respuesta mencionando qué propiedad de la probabilidad se está incumpliendo en este caso.
Cómo hallar una probabilidad faltante
A menudo una tabla tiene un hueco, o la distribución viene dada por una fórmula con una constante desconocida. En ambos casos la clave es la regla 2: las probabilidades deben sumar 1.
Aquí $P(X \ge 2) = 0.30 + 0.10 = 0.40$.
Cuando una fórmula da las probabilidades, sustituye cada valor de $x$, suma, iguala la suma a 1 y despeja la constante.
La tabla es $P(1)=0.1$, $P(2)=0.2$, $P(3)=0.3$, $P(4)=0.4$. Verifica que suman 1.
Frases como "el doble de probable" también se convierten en ecuaciones. Supón que en una ruleta el 3 es el doble de probable que el 2, y el 2 es el doble de probable que el 1. Sea $P(1) = p$. Entonces $P(2) = 2p$ y $P(3) = 4p$. Así, $p + 2p + 4p = 7p = 1$ y $p = \tfrac{1}{7}$.
Una plataforma de streaming* analiza el número de series que un usuario ve a la semana. Se define la variable aleatoria discreta $X$ como el "número de series…
Una plataforma de streaming analiza el número de series que un usuario ve a la semana. Se define la variable aleatoria discreta $X$ como el "número de series completadas". Su función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $0,1$ | $k$ | $0,3$ | $0,2$ |
Halle el valor de la constante $k$ para que la distribución esté bien definida y calcule la probabilidad de que un usuario vea al menos 2 series a la semana, es decir, $P(X \ge 2)$.
Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad viene dada por: $P(X=x) = \frac{x}{10}$ para $x \in \{1, 2, 3, 4\}$ a) Escriba la tabla de valores…
Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad viene dada por:
$P(X=x) = \frac{x}{10}$ para $x \in \{1, 2, 3, 4\}$
- a) Escriba la tabla de valores de la función de probabilidad.
- b) Compruebe que la suma de todas las probabilidades es igual a $1$.
- c) Calcule $P(X \ge 3)$.
Se lanza un dado de seis caras cargado, de tal forma que la probabilidad de obtener un número par es el doble que la de obtener un número impar. Si todos los números…
Se lanza un dado de seis caras cargado, de tal forma que la probabilidad de obtener un número par es el doble que la de obtener un número impar. Si todos los números pares tienen la misma probabilidad entre sí, y lo mismo ocurre con los impares:
- a) Determine la función de probabilidad de la variable aleatoria $X$ = "resultado obtenido al lanzar el dado".
- b) Calcule la probabilidad de obtener un valor menor o igual a $3$.
- c) Calcule la media o valor esperado de esta distribución.
Cómo construir una distribución a partir de un experimento
Muchos problemas describen un experimento en vez de dar una tabla. Esta es la receta.
-
Lista los resultados posibles (el espacio muestral).
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Decide el valor de $X$ para cada resultado.
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Para cada valor de $X$, suma las probabilidades de los resultados que lo producen.
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Verifica que las probabilidades sumen 1.
Cuando se sacan objetos sin reemplazo, las probabilidades cambian después de cada extracción. Usa un diagrama de árbol y multiplica a lo largo de las ramas.
Debes obtener $P(2) = \tfrac26 \cdot \tfrac15 = \tfrac{2}{30} = \tfrac1{15}$. El total es $\tfrac{12}{30} + \tfrac{16}{30} + \tfrac{2}{30} = 1$.
Se lanzan dos monedas equilibradas al aire. Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de caras obtenidas". a) Escriba el espacio muestral del experimento. b)…
Se lanzan dos monedas equilibradas al aire. Definimos la variable aleatoria $X$ como el "número de caras obtenidas".
- a) Escriba el espacio muestral del experimento.
- b) Elabore la tabla de la función de probabilidad de $X$.
- c) Represente gráficamente la distribución mediante un diagrama de barras.
En una urna hay 5 bolas numeradas: tres de ellas con el número $1$ y dos de ellas con el número $2$. Se extrae una bola al azar y se anota su valor. a) Defina la…
En una urna hay 5 bolas numeradas: tres de ellas con el número $1$ y dos de ellas con el número $2$. Se extrae una bola al azar y se anota su valor.
- a) Defina la variable aleatoria $X$ y su recorrido (posibles valores).
- b) Construya la tabla de la función de probabilidad.
- c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número obtenido sea mayor que $1$?
Se dispone de una urna con $3$ bolas blancas y $2$ bolas rojas. Se extraen dos bolas sucesivamente y sin devolución. Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número…
Se dispone de una urna con $3$ bolas blancas y $2$ bolas rojas. Se extraen dos bolas sucesivamente y sin devolución. Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas extraídas.
- a) Describa el espacio muestral del experimento y los valores que puede tomar $X$.
- b) Calcule la función de probabilidad de $X$.
- c) Determine la probabilidad de que al menos una de las bolas extraídas sea roja.
Conteo de resultados y pruebas independientes
Con experimentos más grandes, listar cada resultado es demasiado lento. Dos herramientas ayudan.
Herramienta 1: combinaciones. Supón que $N$ objetos incluyen $a$ "especiales" y $b = N - a$ ordinarios. Eliges $n$ objetos al azar, todos a la vez. Sea $X$ el número de objetos especiales elegidos. Entonces
$$P(X = k) = \frac{\binom{a}{k}\binom{b}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$¿Por qué? El denominador cuenta todos los grupos igualmente probables de $n$ objetos. El numerador cuenta los grupos con exactamente $k$ objetos especiales y $n - k$ ordinarios.
Obtienes $P(2) = \dfrac{10\cdot 7}{220} = \dfrac{70}{220}$ y $P(3) = \dfrac{10}{220}$. Los numeradores cumplen $35 + 105 + 70 + 10 = 220$.
Herramienta 2: pruebas independientes. Si las pruebas no se afectan entre sí, multiplica las probabilidades a lo largo de cada camino y suma los caminos que dan el mismo valor de $X$.
Si las probabilidades de éxito involucran una incógnita $k$ (como en un juego de dardos con zonas de probabilidad $k$, $2k$, $3k$), primero usa "las zonas cubren todo" para obtener una ecuación para $k$. Luego construye la distribución como antes.
Una empresa de logística organiza un torneo de dardos para sus empleados. La probabilidad de acertar en la zona roja es $k$, en la zona azul es $2k$ y en la zona blanca…
Una empresa de logística organiza un torneo de dardos para sus empleados. La probabilidad de acertar en la zona roja es $k$, en la zona azul es $2k$ y en la zona blanca es $3k$. Si un jugador lanza dos dardos de forma independiente, definimos la variable aleatoria $X$ como "el número de veces que el dardo impacta en la zona roja".
-
Halla el valor de $k$ para que la distribución de probabilidad sea válida (asume que el dardo siempre impacta en alguna de las tres zonas).
-
Obtén la función de probabilidad de $X$.
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Calcula el número esperado de impactos en la zona roja si el empleado realizara $50$ series de dos lanzamientos cada una.
En una urna hay $10$ bolas numeradas del $1$ al $10$. Se extraen dos bolas simultáneamente (sin repetición). Sea $X$ la variable aleatoria que asigna a cada extracción…
En una urna hay $10$ bolas numeradas del $1$ al $10$. Se extraen dos bolas simultáneamente (sin repetición). Sea $X$ la variable aleatoria que asigna a cada extracción el valor absoluto de la diferencia de los números obtenidos.
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Indique cuál es el espacio muestral del experimento y los valores que puede tomar la variable $X$.
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¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia sea máxima?
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Sin construir la tabla completa, razone si es más probable que $X=1$ o que $X=9$. Calcule ambas probabilidades.
Un examen de oposición consta de $4$ temas elegidos al azar de un total de $10$. Un candidato se ha preparado solo $6$ temas. Definimos la variable aleatoria $X$ como…
Un examen de oposición consta de $4$ temas elegidos al azar de un total de $10$. Un candidato se ha preparado solo $6$ temas. Definimos la variable aleatoria $X$ como "el número de temas que el candidato domina de los $4$ elegidos".
-
Calcule la probabilidad de que el candidato no domine ninguno de los temas elegidos.
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Determine la probabilidad de que domine exactamente $2$ temas.
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Halle la esperanza matemática de la variable $X$ e interprete el resultado en el contexto del examen. ¿Es probable que el candidato apruebe si necesita conocer al menos $3$ temas?
Probabilidades de eventos con varios valores
Una vez que tienes la tabla, suma las probabilidades de los valores que quieres.
| Palabras | Símbolos |
|---|---|
| al menos 2 | $X \ge 2$ |
| como máximo 2 (no más de 2) | $X \le 2$ |
| menos de 2 | $X < 2$ |
| más de 2 | $X > 2$ |
| entre 1 y 3, inclusive | $1 \le X \le 3$ |
Ambas maneras dan $0.60$: $0.35 + 0.15 + 0.10 = 0.60$ y $1 - (0.10 + 0.30) = 0.60$. El complemento es más rápido cuando el evento tiene muchos valores.
Dada la siguiente función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$, calcule las probabilidades que se piden a continuación: | $x_i$ | $10$ | $20$ | $30$ |…
Dada la siguiente función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$, calcule las probabilidades que se piden a continuación:
| $x_i$ | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | $50$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $p_i$ | $0,15$ | $0,25$ | $0,35$ | $0,15$ | $0,10$ |
- a) $P(X < 30)$
- b) $P(X \le 30)$
- c) $P(20 < X \le 40)$
Se ha realizado una encuesta en una escuela secundaria sobre el número de hermanos de los alumnos de 11.º grado. A partir de los datos, se ha definido la variable $X$ =…
Se ha realizado una encuesta en una escuela secundaria sobre el número de hermanos de los alumnos de 11.º grado. A partir de los datos, se ha definido la variable $X$ = "número de hermanos". La tabla de frecuencias relativas (probabilidades estimadas) es la siguiente:
| Hermanos ($x_i$) | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = x_i)$ | $0,12$ | $0,54$ | $0,24$ | $0,10$ |
Represente esta información mediante un diagrama de barras y calcule la probabilidad de que un alumno elegido al azar tenga menos de 2 hermanos.
En un taller especializado en reparación de dispositivos celulares, se ha realizado un estudio sobre el número de dispositivos que un técnico es capaz de reparar…
En un taller especializado en reparación de dispositivos celulares, se ha realizado un estudio sobre el número de dispositivos que un técnico es capaz de reparar completamente en una jornada de ocho horas. Sea $X$ la variable aleatoria que expresa dicho número. La función de probabilidad viene dada por la siguiente tabla, aunque falta un dato por completar:
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0,15$ | $0,25$ | $0,35$ | $k$ | $0,05$ |
- a) Calcule el valor de $k$ para que la tabla represente una distribución de probabilidad legítima.
- b) ¿Cuál es la probabilidad de que el técnico repare al menos dos dispositivos en una jornada?
- c) Si el taller recibe un bono de productividad los días en los que se reparan más de 2 dispositivos, ¿qué probabilidad hay de recibir dicho bono?
La función de distribución acumulada
La primera pregunta de Priya ("como máximo 2 entregas tardías") es un total acumulado. Esa idea tiene nombre.
Entre dos valores, $F$ se mantiene plana. Por ejemplo, $F(2.7) = F(2)$ porque no se agrega probabilidad nueva entre 2 y 2.7. Además, $F(x) = 0$ a la izquierda del valor más pequeño, y $F(x) = 1$ en el valor más grande y después de él.
¿Por qué? $F(b)$ ya incluye todo hasta $b$. Al restar $F(a)$ se elimina todo hasta $a$, de modo que solo quedan los valores posteriores a $a$, hasta $b$ inclusive.
La suma es $0.30 + 0.25 = 0.55$, y $F(2) - F(0) = 0.85 - 0.30 = 0.55$. Coinciden.
Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de distribución acumulada $F(x)$ se presenta a continuación: $$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 0,2 &…
Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de distribución acumulada $F(x)$ se presenta a continuación:
$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 1 \\ 0,2 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0,5 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 0,9 & \text{si } 3 \le x < 4 \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases}$$- a) A partir de $F(x)$, obtenga la función de probabilidad $P(X=x_i)$ para cada valor de la variable.
- b) Calcule la probabilidad $P(2 \le X < 4)$.
- c) Represente gráficamente la función de probabilidad mediante un diagrama de barras.
La función de distribución acumulada $F(x)$ de una variable aleatoria discreta $X$ viene dada por la siguiente gráfica: A partir de la gráfica, construye la tabla de la…
La función de distribución acumulada $F(x)$ de una variable aleatoria discreta $X$ viene dada por la siguiente gráfica:
A partir de la gráfica, construye la tabla de la función de probabilidad $P(X=x_i)$ y calcula la varianza $V[X]$. Explica razonadamente el significado de $P(0,5 < X \le 2)$.
Valor esperado
La segunda pregunta de Priya: ¿cuántas entregas tardías debería esperar en una noche típica? Imagina 1,000 viernes por la noche. Aproximadamente el $10\%$ tiene 0 entregas tardías, el $30\%$ tiene 1, y así sucesivamente. Promedia con esos pesos.
Para Priya: $E(X) = 0(0.10) + 1(0.30) + 2(0.35) + 3(0.15) + 4(0.10) = 0 + 0.30 + 0.70 + 0.45 + 0.40 = 1.85$.
La media es el punto de equilibrio de la gráfica de barras. Observa que 1.85 no es un valor que $X$ pueda tomar realmente. No importa, porque es un promedio de muchas noches.
Juegos y justicia. En un juego, sea $X$ tu ganancia neta (lo que ganas menos lo que pagaste). Si $E(X) = 0$, el juego es justo. Si $E(X) < 0$, pierdes dinero a la larga.
Los valores esperados se suman en juegos repetidos: $50 \cdot (-1) = -50$. Debería esperar perder unos $\$50$.
¿Por qué? Multiplicar cada valor por $a$ multiplica el promedio por $a$, y sumar $b$ a cada valor desplaza el promedio en $b$.
Una asociación juvenil organiza una rifa para financiar un viaje de fin de curso. Se venden boletos a $\$2…
Una asociación juvenil organiza una rifa para financiar un viaje de fin de curso. Se venden boletos a $\$2$. El premio es una tarjeta de regalo de Amazon valorada en $\$50$. Se han emitido $200$ boletos. Sea $X$ la variable aleatoria que define la ganancia neta de un estudiante que compra un solo boleto (teniendo en cuenta el costo del mismo).
- a) Defina el espacio muestral de los posibles valores de $X$.
- b) Determine la función de probabilidad de $X$.
- c) Calcule la esperanza matemática $E[X]$ e interprete el resultado obtenido. ¿Es un juego justo para el comprador?
Un creador de contenido en redes sociales analiza el número de "desuscripciones" diarias en su canal. Ha comprobado que la función de probabilidad de la variable $X$…
Un creador de contenido en redes sociales analiza el número de "desuscripciones" diarias en su canal. Ha comprobado que la función de probabilidad de la variable $X$ (número de bajas) responde a la fórmula $P(X = x) = \frac{k \cdot x}{2^x}$ para $x \in \{1, 2, 3\}$.
-
Halla el valor exacto de la constante $k$.
-
Calcula la probabilidad de que en un día haya al menos 2 bajas.
-
El creador estima que cada baja le supone una pérdida de $\$5$ en ingresos publicitarios, pero ganar un nuevo suscriptor le reporta $\$8$. Si cada día gana exactamente $3$ suscriptores nuevos, calcula la ganancia media esperada por día.
Dos jugadores, Alba y Bruno, lanzan un dado de seis caras. Si sale un número primo, Alba gana tantos dólares como indique el dado. Si sale un número compuesto, Bruno…
Dos jugadores, Alba y Bruno, lanzan un dado de seis caras. Si sale un número primo, Alba gana tantos dólares como indique el dado. Si sale un número compuesto, Bruno gana el doble de lo que indique el dado en dólares. Si sale el número $1$, nadie gana nada.
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Defina la variable aleatoria $G$ como la ganancia neta de Alba en un lanzamiento (considerando que lo que gana Bruno es una pérdida para Alba). Escriba su función de probabilidad.
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Calcule la esperanza matemática de $G$. ¿A quién favorece el juego a largo plazo?
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¿Qué cantidad debería pagar Bruno a Alba cada vez que salga un número compuesto para que el juego fuera equitativo ($E[G]=0$)?
Varianza y desviación estándar
Dos noches pueden tener el mismo promedio y aun así ser muy diferentes. Una pizzería siempre tiene cerca de 2 entregas tardías. Otra tiene 0 algunas noches y 4 otras. La varianza y la desviación estándar miden esa dispersión.
La segunda forma suele ser más rápida: halla $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ y resta $\mu^2$.
Para la pizzería de Priya: $E(X^2) = 0(0.10) + 1(0.30) + 4(0.35) + 9(0.15) + 16(0.10) = 4.65$. Así, $\sigma^2 = 4.65 - 1.85^2 = 4.65 - 3.4225 = 1.2275$ y $\sigma \approx 1.11$.
Obtienes $\sigma^2 = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$ y $\sigma = 0.7$.
Una empresa de mensajería analiza el número de paquetes que llegan dañados en cada camioneta de reparto. Tras un largo periodo de observación, han definido la siguiente…
Una empresa de mensajería analiza el número de paquetes que llegan dañados en cada camioneta de reparto. Tras un largo periodo de observación, han definido la siguiente función de probabilidad para la variable $X$ = "número de paquetes dañados por trayecto":
$P(X=x) = \frac{x+1}{15}$ para $x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$
- a) Compruebe que efectivamente se trata de una función de probabilidad.
- b) Calcule la probabilidad de que en un trayecto lleguen, como máximo, $2$ paquetes dañados.
- c) Halle la media y la desviación estándar de la distribución.
En una aplicación de idiomas, los usuarios pueden ganar entre $0$ y $3$ insignias diarias según su constancia. Se sabe que la probabilidad de ganar $x$ insignias es…
En una aplicación de idiomas, los usuarios pueden ganar entre $0$ y $3$ insignias diarias según su constancia. Se sabe que la probabilidad de ganar $x$ insignias es proporcional al valor de $x+1$ para los valores posibles de la variable.
- a) Escriba la tabla de la distribución de probabilidad determinando la constante de proporcionalidad necesaria.
- b) ¿Cuál es el número medio de insignias que gana un usuario al día?
- c) Calcule la varianza de la distribución.
Un restaurante analiza el número de reservaciones para grupos de más de 10 personas que recibe los sábados por la noche. La variable $X$ sigue la distribución de…
Un restaurante analiza el número de reservaciones para grupos de más de 10 personas que recibe los sábados por la noche. La variable $X$ sigue la distribución de probabilidad:
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0,4$ | $0,3$ | $0,2$ | $0,1$ |
- a) Si el restaurante tiene una ganancia de $\$50$ por cada grupo que asiste, pero tiene unos costos fijos de preparación de $\$30$ independientemente de cuántos grupos vayan, defina una nueva variable $Y$ que represente el beneficio neto del sábado.
- b) Calcule la esperanza de $Y$.
- c) Calcule la desviación estándar de $X$.
Cómo usar la media y la varianza para hallar incógnitas
A veces hay dos probabilidades desconocidas y el problema te da $E(X)$ (y quizás $\sigma^2$). Escribe una ecuación por cada dato y resuelve el sistema.
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Suma de probabilidades: $p_1 + p_2 + \cdots = 1$
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Media: $x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots = \mu$
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Varianza: $E(X^2) = \sigma^2 + \mu^2$, así que $x_1^2p_1 + x_2^2p_2 + \cdots = \sigma^2 + \mu^2$
Solo $X = 2$ queda en el intervalo, así que la probabilidad dentro es $0.4$, o $40\%$.
Cuando el problema da la varianza en vez de lo anterior, usa $E(X^2) = \sigma^2 + \mu^2$ para convertirla en una tercera ecuación lineal en las probabilidades desconocidas.
Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad viene definida en la siguiente tabla, donde $a$ y $b$ son dos números reales desconocidos: | $x_i$ |…
Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad viene definida en la siguiente tabla, donde $a$ y $b$ son dos números reales desconocidos:
| $x_i$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | $0,1$ | $a$ | $b$ | $0,2$ |
Sabiendo que la esperanza matemática de la distribución es $E[X] = 2,85$, determina los valores de $a$ y $b$. Posteriormente, calcula la desviación típica $\sigma$ de la variable e indica qué porcentaje de la probabilidad total se encuentra en el intervalo $[E[X] - \sigma, E[X] + \sigma]$.
Se tiene una variable aleatoria discreta $X$ con la siguiente función de probabilidad: $P(X=0) = p$ $P(X=1) = q$ $P(X=2) = 0,2$ Si sabemos que la esperanza es…
Se tiene una variable aleatoria discreta $X$ con la siguiente función de probabilidad:
$P(X=0) = p$
$P(X=1) = q$
$P(X=2) = 0,2$
Si sabemos que la esperanza es $E[X] = 0,8$ y que la varianza es $V[X] = 0,56$, plantee un sistema de ecuaciones y calcule los valores de $p$ y $q$. Verifique que la suma de las probabilidades es igual a la unidad.
De vuelta a la pizzería: la probabilidad de como máximo 2 entregas tardías es $F(2) = 0.75$, y Priya debería esperar $E(X) = 1.85$ entregas tardías en una noche típica, con una variación de aproximadamente $\sigma \approx 1.11$.