Distribuciones de probabilidad continuas y la curva normal

Se sabe que el tiempo que tarda un modelo de teléfono celular en cargar su batería del 0% al 100% sigue una distribución de probabilidad continua cuya función de densidad es constante en el intervalo $[80, 120]$ minutos, y vale $0$ en cualquier otro punto.

1. a) Determine el valor de la función de densidad en dicho intervalo para que sea válida.
2. b) Calcule la probabilidad de que el teléfono tarde menos de 90 minutos en cargarse.
3. c) Represente gráficamente la función de densidad.

Se está estudiando el tiempo que tarda un grupo de jóvenes en desconectar por completo después de apagar el celular antes de dormir. La función de densidad de esta variable aleatoria continua, $x$, expresada en minutos, viene dada por la siguiente gráfica:

Calcule razonadamente:

1. a) El valor de la ordenada máxima $k$ para que sea una función de densidad válida.
2. b) La probabilidad de que un joven tarde entre 15 y 20 minutos en desconectar.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que tarde exactamente 22 minutos?

Se considera la función de probabilidad continua definida por tramos de una variable aleatoria $X$, que representa el tiempo (en horas) que un grupo de adolescentes dedica al estudio de matemáticas en un fin de semana:

$f(x) = \begin{cases} kx & \text{si } 0 \le x < 2 \\ k(4 - x) & \text{si } 2 \le x \le 4 \\ 0 & \text{en el resto} \end{cases}$

1. a) Determine razonadamente el valor de la constante $k$ para que $f(x)$ sea una función de densidad.
2. b) Calcule la probabilidad de que un alumno elegido al azar estudie entre 1,5 y 3 horas.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que estudie exactamente 2 horas? Justifique su respuesta basándose en la naturaleza de la variable.

Observe las siguientes dos curvas correspondientes a distribuciones normales. Ambas representan el peso de dos razas distintas de gatos domésticos.

1. a) ¿Tienen ambas distribuciones la misma media $\mu$? Justifique su respuesta observando la posición del máximo.
2. b) ¿Cuál de las dos distribuciones tiene una desviación típica $\sigma$ mayor? Explique cómo influye este parámetro en la forma de la "campana".

Utilizando la tabla de la distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, obtenga las siguientes probabilidades directas:

1. a) $P(Z < 1,25)$
2. b) $P(Z \leq 0,47)$
3. c) $P(Z < 2,03)$

Explique brevemente qué representa el valor obtenido en el inciso (a) respecto al área total bajo la curva de Gauss.

En una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$, calcule las siguientes probabilidades utilizando las propiedades de simetría y el suceso contrario:

1. a) $P(Z > 1,12)$
2. b) $P(Z < -0,54)$
3. c) $P(Z \geq -1,96)$

Dibuje una campana de Gauss para el inciso (b) sombreando el área que está calculando.

Calcule el área encerrada en los siguientes intervalos para una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$:

1. a) $P(0,5 < Z < 1,5)$
2. b) $P(-1,2 < Z < 1,2)$

Represente gráficamente el intervalo del inciso (b) indicando por qué el área es simétrica respecto al eje vertical.

La puntuación en una popular prueba de agilidad mental para adolescentes sigue una distribución normal $X \sim N(100, 15)$.

1. a) Tipifique el valor $X = 115$ y explique qué significa el resultado obtenido (a cuántas desviaciones típicas de la media se encuentra).
2. b) Tipifique el valor $X = 80$. ¿Qué indica el signo negativo en este caso?

Dos amigos, Lucía y Marco, juegan en diferentes equipos de e-Sports. La puntuación de Lucía en el juego "Galaxy Quest" sigue una distribución $N(1200, 15)$, mientras que la de Marco en "Pixel Arena" sigue una distribución $N(850, 10)$.

En la última partida, Lucía obtuvo 1235 puntos y Marco obtuvo 875 puntos. Utilice la tipificación de variables para determinar cuál de los dos obtuvo un resultado más meritorio en comparación con su grupo.

La duración de la batería de unos audífonos inalámbricos de gama media sigue una distribución normal con una media de 6 horas y una desviación típica de 0,5 horas ($X \sim N(6; 0,5)$).

Calcule la probabilidad de que, al elegir unos audífonos al azar, la batería dure menos de 7 horas. (Recuerde tipificar primero la variable para poder usar la tabla).

La estatura de los alumnos de 11.º grado de una escuela secundaria sigue una distribución normal de media $172$ pulgadas y desviación típica $8$ pulgadas. Si elegimos un alumno al azar, halle la probabilidad de que:

1. a) Mida más de $185$ pulgadas.
2. b) Mida menos de $160$ pulgadas.
3. c) Su estatura esté comprendida entre $165$ y $180$ pulgadas.

Una empresa que fabrica audífonos inalámbricos ha comprobado que la duración de la batería sigue una distribución normal con una media de $24$ horas y una desviación típica de $3,5$ horas.

1. a) ¿Qué porcentaje de audífonos tienen una batería que dura entre $20$ y $28$ horas?
2. b) Si la empresa fabrica un lote de $5000$ audífonos, ¿cuántos se espera que duren menos de $18$ horas?

Busque en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$ el valor de la abscisa $k$ en los siguientes casos (problema inverso):

1. a) $P(Z < k) = 0,8413$
2. b) $P(Z < k) = 0,9750$
3. c) $P(Z < k) = 0,5000$

¿Qué ocurre con el valor de $k$ a medida que la probabilidad se acerca a 1? Justifique su respuesta observando la forma de la campana en sus extremos.

Utilizando la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$, calcule las siguientes probabilidades:

1. a) $P(Z < 1,48)$
2. b) $P(Z > 0,72)$
3. c) $P(Z < -1,15)$
4. d) $P(-0,5 < Z < 1,2)$

Además, halle el valor de la constante positiva $a$ tal que $P(-a < Z < a) = 0,90$.

En una plataforma de streaming de música, el tiempo que los usuarios escuchan una lista de reproducción "Top 50" sigue una distribución $N(45, 12)$ minutos. La plataforma decide enviar una encuesta de satisfacción al $15\%$ de los usuarios que más tiempo pasan escuchando dicha lista. ¿A partir de cuántos minutos de escucha recibirá un usuario la encuesta?

El peso de las tabletas de chocolate producidas por una fábrica sigue una distribución normal de media $200$ onzas. El control de calidad rechaza aquellas tabletas que pesan menos de $195$ onzas. Sabiendo que el $3\%$ de las tabletas son rechazadas, calcule el valor de la desviación típica de esta producción.

En una prestigiosa escuela de diseño, la calificación final de los aspirantes sigue una distribución normal. Se sabe que la calificación media es de $6,8$ y que el $33\%$ de los alumnos obtiene una calificación superior a $7,5$.

1. a) Halle la desviación típica de las calificaciones.
2. b) Si para obtener una beca de excelencia se requiere estar en el $5\%$ superior de las calificaciones, ¿cuál es la calificación mínima necesaria para conseguir dicha beca?

Una empresa de logística analiza el tiempo de entrega de sus paquetes locales. El tiempo de entrega sigue una distribución normal con una desviación típica de $12$ minutos. Se sabe que el $75\%$ de los paquetes se entregan en menos de $50$ minutos.

1. a) Calcule el tiempo medio de entrega.
2. b) La empresa garantiza un reembolso del envío si el paquete tarda más de una hora ($60$ minutos) en llegar. Si en un mes se envían $5000$ paquetes, ¿cuántos reembolsos se estima que tendrá que realizar la empresa?
3. c) Si la empresa quiere reducir el número de reembolsos a la mitad mejorando la logística pero manteniendo la misma media, ¿cuál debería ser la nueva desviación típica?

La latencia (ping) en un popular videojuego en línea sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Tras realizar miles de mediciones, los desarrolladores han observado que el $15,87\%$ de las partidas tienen una latencia superior a $110$ ms, mientras que el $6,68\%$ de las partidas presentan una latencia inferior a $75$ ms.

1. a) Calcule los parámetros $\mu$ (media) y $\sigma$ (desviación típica) de esta distribución.
2. b) Si un jugador considera que una partida es "injugable" cuando la latencia supera los $125$ ms, ¿qué porcentaje de partidas entrarán en esta categoría?

Una empresa tecnológica fabrica sensores de precisión para drones. El margen de error en la medición de altura de estos sensores sigue una distribución normal con una media de $0$ pulgadas y una desviación típica de $1,5$ pulgadas. Por motivos de seguridad, la empresa descarta todos los sensores cuyo error absoluto sea superior a un valor crítico $k$.

1. a) Si se sabe que el $10\%$ de la producción total es descartada, calcule el valor de dicho margen de error $k$.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un sensor aceptado (no descartado), su error sea positivo?

Se están comparando dos modelos de baterías para monopatines eléctricos. El modelo A tiene una duración media de $40$ millas con una desviación típica de $4$ millas. El modelo B tiene una duración media de $42$ millas con una desviación típica de $8$ millas. Ambas duraciones siguen distribuciones normales.

1. a) Si un usuario necesita realizar un trayecto de $48$ millas sin recargar, ¿qué modelo de batería le ofrece mayor seguridad (mayor probabilidad de éxito)? Justifique los cálculos.
2. b) ¿Para qué distancia la probabilidad de que ambos modelos fallen es la misma?

Se ha realizado una encuesta sobre el uso de redes sociales y se sabe que el $30\%$ de los adolescentes estadounidenses prefiere utilizar TikTok sobre otras plataformas. Si seleccionamos una muestra aleatoria de $200$ adolescentes:

1. a) Justifique si es posible aproximar la distribución de la variable "número de adolescentes que prefieren TikTok" mediante una distribución normal.
2. b) Utilizando dicha aproximación (con la corrección de continuidad de Yates), calcule la probabilidad de que prefieran TikTok más de $70$ adolescentes.

Una aplicación de streaming de música ha lanzado un nuevo algoritmo de recomendación. Se estima que la probabilidad de que a un usuario le guste una canción recomendada es del $65\%$. Si en un día el algoritmo recomienda canciones a un grupo de $400$ usuarios:

1. a) Justifique si es posible aproximar la distribución del número de usuarios a los que les gusta la recomendación mediante una distribución normal.
2. b) Utilizando la aproximación adecuada (con corrección de continuidad), calcule la probabilidad de que la recomendación sea exitosa para un número de usuarios comprendido entre $250$ y $275$ (ambos inclusive).

El peso de las botellas de plástico reciclado recogidas en un centro de sostenibilidad sigue una distribución $N(120, 15)$ onzas. El centro clasifica las botellas en tres categorías: "Ligeras" (el $20\%$ que menos pesa), "Estándar" (el $60\%$ central) y "Pesadas" (el $20\%$ que más pesa).

1. a) Determine los pesos que delimitan cada una de las tres categorías.
2. b) Si elegimos $5$ botellas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente $3$ de ellas sean clasificadas como "Estándar"?