Eventos dependientes e independientes
Lanzas una moneda y sale cara tres veces seguidas. ¿"Le toca" ahora salir cruz? Ahora reparte dos cartas de una baraja: si la primera es un as, ¿la segunda tiene la misma probabilidad de ser un as? En un caso el pasado no importa, y en el otro sí. Esta página te enseña a distinguirlos y cómo cambia la manera de calcular $P(A \cap B)$.
¿Qué significa independiente?
Dos eventos son independientes cuando saber que uno ocurrió no cambia la probabilidad del otro. Si saberlo sí cambia la probabilidad, los eventos son dependientes.
Una tabla de doble entrada (two-way table, que algunos problemas llaman tabla de contingencia) es un buen lugar para comprobar la independencia. Aquí hay 100 estudiantes de una preparatoria, clasificados por grado y por si tienen un trabajo de medio tiempo:
| 11.º grado | 12.º grado | Total | |
|---|---|---|---|
| Tiene trabajo | 30 | 20 | 50 |
| No tiene trabajo | 30 | 20 | 50 |
| Total | 60 | 40 | 100 |
Se ha realizado una encuesta en una escuela secundaria sobre el uso de dos redes sociales: Instagram ($I$) y TikTok ($T$). Los resultados muestran que el $70\%$ de los…
Se ha realizado una encuesta en una escuela secundaria sobre el uso de dos redes sociales: Instagram ($I$) y TikTok ($T$). Los resultados muestran que el $70\%$ de los estudiantes usa Instagram, el $50\%$ usa TikTok y el $35\%$ usa ambas plataformas. Determina si el uso de Instagram es independiente del uso de TikTok en esta escuela secundaria.
Observa la siguiente tabla de contingencia que muestra el tipo de deporte preferido por un grupo de 100 adolescentes: | | Fútbol ($F$) | Baloncesto ($B$) | TOTAL |…
Observa la siguiente tabla de contingencia que muestra el tipo de deporte preferido por un grupo de 100 adolescentes:
| Fútbol ($F$) | Baloncesto ($B$) | TOTAL | |
|---|---|---|---|
| Chicos ($H$) | 45 | 15 | 60 |
| Chicas ($M$) | 30 | 10 | 40 |
| TOTAL | 75 | 25 | 100 |
Se elige un adolescente al azar. Calcula:
- a) $P(F)$, la probabilidad de que le guste el fútbol.
- b) $P(F|H)$, la probabilidad de que le guste el fútbol sabiendo que es un chico.
- c) A la vista de los resultados, ¿son independientes los sucesos "ser chico" y "gustar el fútbol"?
En una escuela secundaria de Chicago, se ha realizado un estudio sobre el uso de redes sociales y el grado en que están los estudiantes, obteniendo los siguientes datos:…
En una escuela secundaria de Chicago, se ha realizado un estudio sobre el uso de redes sociales y el grado en que están los estudiantes, obteniendo los siguientes datos:
| 11.º grado | 12.º grado | Total | |
|---|---|---|---|
| TikTok | 72 | 48 | 120 |
| 48 | 32 | 80 | |
| Total | 120 | 80 | 200 |
Se elige un estudiante al azar. Compruebe si el suceso "preferir TikTok" es independiente del suceso "estar en 11.º grado".
La regla del producto para eventos independientes
Para dos eventos cualesquiera, $P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B \mid A)$. Cuando $A$ y $B$ son independientes, $P(B \mid A)$ es simplemente $P(B)$, así que la regla se simplifica.
La regla del producto es una idea de área. Supón que Jayden encesta un tiro libre con probabilidad $0.75$ y Emma encesta el suyo con probabilidad $0.60$, de forma independiente. Divide un cuadrado unitario por el ancho para Jayden y por la altura para Emma. El área de cada región es la probabilidad de esa combinación.
La figura también muestra algo útil: las otras tres regiones también son productos. Si $A$ y $B$ son independientes, entonces $A$ y $\overline{B}$ son independientes, y también lo son $\overline{A}$ y $B$, y $\overline{A}$ y $\overline{B}$. (El complemento de $A$ también se escribe $A'$ o $A^c$.)
Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un experimento aleatorio. Sabemos que la probabilidad de que ocurra el suceso $A$ es $P(A) = 0,6$ y la probabilidad de que ocurra…
Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un experimento aleatorio. Sabemos que la probabilidad de que ocurra el suceso $A$ es $P(A) = 0,6$ y la probabilidad de que ocurra el suceso $B$ es $P(B) = 0,3$. Si se sabe que los sucesos son independientes, calcule la probabilidad de que ocurran los dos a la vez, es decir, $P(A \cap B)$.
Un estudiante de 11.º grado tiene dos exámenes el mismo día: Matemáticas e Inglés. La probabilidad de aprobar Matemáticas es $P(M) = 0,7$ y la de aprobar Inglés es…
Un estudiante de 11.º grado tiene dos exámenes el mismo día: Matemáticas e Inglés. La probabilidad de aprobar Matemáticas es $P(M) = 0,7$ y la de aprobar Inglés es $P(I) = 0,8$. Suponiendo que aprobar un examen no influye en el resultado del otro:
- a) Calcule la probabilidad de aprobar ambos exámenes.
- b) Calcule la probabilidad de no aprobar ninguno de los dos.
En un control de calidad de una fábrica de bombillas, se sabe que la probabilidad de que una bombilla sea defectuosa es $0,02$. Si se eligen dos bombillas al azar,…
En un control de calidad de una fábrica de bombillas, se sabe que la probabilidad de que una bombilla sea defectuosa es $0,02$. Si se eligen dos bombillas al azar, calcula la probabilidad de que:
- a) Ninguna sea defectuosa.
- b) Las dos sean defectuosas.
(Nota: El tamaño del lote es tan grande que se puede considerar que la extracción de una bombilla no afecta a la probabilidad de la siguiente).
"Al menos uno" y "exactamente uno"
Los problemas sobre respaldos, alarmas o varias oportunidades suelen pedir "al menos uno". El atajo es el complemento: "al menos uno" es todo excepto "ninguno".
¿Por qué funciona? Los resultados "ninguno", "exactamente uno" y "ambos" cubren todas las posibilidades, así que sus probabilidades suman 1. Calcular "ninguno" con un solo producto es mucho más rápido que sumar todo lo demás.
Dos componentes electrónicos de un dron, $A$ y $B$, funcionan de forma independiente. La probabilidad de que falle el componente $A$ es de $0,05$ y la probabilidad de…
Dos componentes electrónicos de un dron, $A$ y $B$, funcionan de forma independiente. La probabilidad de que falle el componente $A$ es de $0,05$ y la probabilidad de que falle el componente $B$ es de $0,08$.
- a) Calcule la probabilidad de que el dron pueda seguir volando si para ello es necesario que al menos uno de los dos componentes funcione correctamente.
- b) Calcule la probabilidad de que falle exactamente uno de los dos componentes.
Un estudiante de escuela secundaria tiene dos alarmas independientes en su celular. La primera ($D_1$) funciona el $95\%$ de las mañanas y la segunda ($D_2$) funciona el…
Un estudiante de escuela secundaria tiene dos alarmas independientes en su celular. La primera ($D_1$) funciona el $95\%$ de las mañanas y la segunda ($D_2$) funciona el $90\%$ de las veces.
- a) Calcule la probabilidad de que el estudiante se quede dormido porque no suene ninguna de las dos alarmas.
- b) Si sabemos que al menos una de las alarmas ha sonado, ¿cuál es la probabilidad de que la alarma $D_1$ haya fallado?
Con reemplazo y sin reemplazo
Sacar objetos de un frasco es la forma más clara de ver la independencia y la dependencia. Todo depende de si el objeto se devuelve o no.
-
Con reemplazo: el frasco es el mismo en cada extracción, así que las extracciones son independientes.
-
Sin reemplazo: el frasco cambia después de cada extracción, así que las extracciones son dependientes.
Para eventos dependientes usamos la regla general:
Muchos problemas usan cartas, así que aquí tienes cómo leer una baraja estándar.
A veces la incógnita es el número de objetos. Entonces la regla de probabilidad te da una ecuación.
En una máquina de chicles hay bolas de tres colores: 10 rojas, 6 azules y 4 verdes. Un niño saca un chicle, anota su color, lo vuelve a introducir en la máquina y saca…
En una máquina de chicles hay bolas de tres colores: 10 rojas, 6 azules y 4 verdes. Un niño saca un chicle, anota su color, lo vuelve a introducir en la máquina y saca un segundo chicle.
- a) Justifique si los sucesos "sacar bola roja en la primera" y "sacar bola azul en la segunda" son dependientes o independientes.
- b) Calcule la probabilidad de que el primer chicle sea azul y el segundo sea verde.
Extraemos dos cartas de una baraja española de 40 cartas, una tras otra y sin devolver la primera a la baraja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea un…
Extraemos dos cartas de una baraja española de 40 cartas, una tras otra y sin devolver la primera a la baraja.
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea un Rey?
- b) Sabiendo que la primera carta fue un Rey, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda también sea un Rey?
- c) ¿Son estos sucesos dependientes o independientes?
Una urna contiene $n$ bolas blancas y $6$ bolas negras. Se extraen sucesivamente dos bolas sin devolución. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas…
Una urna contiene $n$ bolas blancas y $6$ bolas negras. Se extraen sucesivamente dos bolas sin devolución. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas es exactamente $\frac{1}{3}$, determine mediante una ecuación algebraica cuántas bolas blancas había inicialmente en la urna.
Diagramas de árbol
Un diagrama de árbol organiza un experimento de varias etapas. Cada etapa es un conjunto de ramas. Las etiquetas del segundo conjunto de ramas son probabilidades condicionales, porque dependen de dónde vienes.
Este es el árbol para una bolsa con $4$ gomitas verdes (V) y $6$ naranjas (N), sacando dos sin reemplazo.
En un cajón de un vestidor de una tienda de ropa han quedado olvidados 4 calcetines negros y 2 calcetines blancos, todos del mismo tamaño y tacto. Si una empleada mete…
En un cajón de un vestidor de una tienda de ropa han quedado olvidados 4 calcetines negros y 2 calcetines blancos, todos del mismo tamaño y tacto. Si una empleada mete la mano y extrae dos calcetines al azar, uno tras otro y sin mirar:
- a) Completa el siguiente diagrama de árbol con las probabilidades correspondientes.
- b) Calcula la probabilidad de que los dos calcetines extraídos sean negros.
Una urna contiene 5 bolas amarillas y 3 bolas lilas. Extraemos dos bolas de la urna de forma consecutiva y sin devolución. a) Dibuje el diagrama de árbol correspondiente…
Una urna contiene 5 bolas amarillas y 3 bolas lilas. Extraemos dos bolas de la urna de forma consecutiva y sin devolución.
- a) Dibuje el diagrama de árbol correspondiente a este experimento, indicando la probabilidad de cada rama.
- b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.
Extraemos dos cartas de una baraja española de 40 cartas, una tras otra y sin devolver la primera. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda carta sea un Rey,…
Extraemos dos cartas de una baraja española de 40 cartas, una tras otra y sin devolver la primera.
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda carta sea un Rey, sabiendo que la primera carta fue el As de Oros?
- b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos figuras (Sota, Caballo o Rey) de palos distintos?
Cuando la segunda probabilidad depende de la primera
La dependencia no se trata solo de frascos. Todo lo que haga que "lo que pasó primero" cambie las probabilidades funciona igual: un jugador que se pone nervioso, un juego con bono por racha, una red que se congestiona. Solo dibujas el árbol con las probabilidades condicionales dadas.
Si quieres la probabilidad del segundo evento sin importar lo que pasó primero, suma los dos caminos que terminan en él.
Una cadena de tres o más pasos funciona igual: multiplica a lo largo de todo el camino, usando la probabilidad que corresponde a ese paso.
A veces la primera etapa tiene más de dos posibilidades, como un artículo que viene de una de tres fábricas. La probabilidad total se extiende de forma natural: si $F_1, F_2, F_3$ cubren todas las posibilidades y no se traslapan, suma un camino por cada una.
Un programador de videojuegos está probando el sistema de "golpes críticos" de un personaje. El personaje tiene una probabilidad de $0,2$ de asestar un golpe crítico…
Un programador de videojuegos está probando el sistema de "golpes críticos" de un personaje. El personaje tiene una probabilidad de $0,2$ de asestar un golpe crítico ($C$). Sin embargo, el sistema está diseñado para que, si el último golpe fue crítico, la probabilidad de que el siguiente también lo sea baje a $0,1$ debido al enfriamiento de la habilidad. Si el último golpe no fue crítico, la probabilidad del siguiente se mantiene en $0,2$.
- a) ¿Son los sucesos "primer golpe crítico" y "segundo golpe crítico" independientes? Razone la respuesta.
- b) Calcule la probabilidad de que, en una secuencia de dos golpes, el personaje no aseste ningún crítico.
Un sistema de seguridad de doble autenticación envía un código al celular del usuario. Si el primer mensaje no llega (lo cual ocurre con una probabilidad de $0,12$), el…
Un sistema de seguridad de doble autenticación envía un código al celular del usuario. Si el primer mensaje no llega (lo cual ocurre con una probabilidad de $0,12$), el sistema intenta un segundo envío. Sin embargo, debido a la saturación de la red, si el primer envío falló, la probabilidad de que el segundo también falle aumenta a $0,45$. Por otro lado, si el primer envío fue exitoso, la probabilidad de que el usuario reciba un segundo mensaje de confirmación es de $0,98$.
Calcule la probabilidad de que un usuario reciba el segundo mensaje, independientemente de lo que haya ocurrido con el primero.
En un popular videojuego de estrategia, los jugadores abren "cofres legendarios" para obtener recompensas. La probabilidad de obtener un héroe de nivel S en el primer…
En un popular videojuego de estrategia, los jugadores abren "cofres legendarios" para obtener recompensas. La probabilidad de obtener un héroe de nivel S en el primer cofre es de solo $0,05$. Sin embargo, el juego tiene un sistema de "suerte acumulada": si no obtienes el héroe en un cofre, la probabilidad de obtenerlo en el siguiente aumenta en $0,02$ respecto a la probabilidad del cofre anterior. Si obtienes el héroe, la probabilidad vuelve a ser $0,05$ para el siguiente intento.
Calcule la probabilidad de que un jugador necesite abrir exactamente tres cofres para obtener su primer héroe de nivel S.
Trabajar al revés: probabilidad condicional inversa
El árbol da las probabilidades en orden: primero una etapa y luego la otra. Pero muchas preguntas van al revés: "Dado que el correo fue marcado, ¿cuál es la probabilidad de que realmente fuera spam?" Para invertir la condición, usa
$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$con $P(B)$ calculada a partir de todos los caminos que terminan en $B$. Este paso inverso suele llamarse teorema de Bayes.
A veces la condición abarca más de un camino. Entonces el denominador suma todos ellos.
La misma idea funciona con tres fuentes. En el ejemplo de los audífonos, dado que un par es defectuoso, la probabilidad de que venga de $F_3$ es $\dfrac{0.010}{0.021} \approx 0.476$.
En un entrenamiento de baloncesto, un jugador lanza dos tiros libres consecutivos. La probabilidad de encestar el primero es de $0,7$. Si encesta el primero, su…
En un entrenamiento de baloncesto, un jugador lanza dos tiros libres consecutivos. La probabilidad de encestar el primero es de $0,7$. Si encesta el primero, su confianza aumenta y la probabilidad de encestar el segundo es de $0,8$. Si falla el primero, se pone nervioso y la probabilidad de encestar el segundo baja a $0,4$.
Si sabemos que el jugador ha encestado solo uno de los dos lanzamientos, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido el segundo?
En un centro de inteligencia, un software de reconocimiento facial analiza imágenes. La probabilidad de que identifique correctamente a un individuo si este está en la…
En un centro de inteligencia, un software de reconocimiento facial analiza imágenes. La probabilidad de que identifique correctamente a un individuo si este está en la base de datos es de $0,95$. Sin embargo, el software tiene un margen de error y a veces identifica erróneamente a personas que no están en la base de datos con una probabilidad de $0,02$.
Sabiendo que solo el $1\%$ de las personas que pasan por una aduana están en la base de datos, calcule:
- a) La probabilidad de que el software dé una alerta (identifique a alguien).
- b) Si el software ha identificado a una persona, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté en la base de datos?
Tres laboratorios farmacéuticos ($L_1$, $L_2$ y $L_3$) fabrican el mismo tipo de prueba de antígenos. $L_1$ produce el $45\%$ del total, $L_2$ el $30\%$ y $L_3$ el…
Tres laboratorios farmacéuticos ($L_1$, $L_2$ y $L_3$) fabrican el mismo tipo de prueba de antígenos. $L_1$ produce el $45\%$ del total, $L_2$ el $30\%$ y $L_3$ el resto. Se sabe que el porcentaje de pruebas defectuosas es del $1\%$ para $L_1$, del $2\%$ para $L_2$ y del $3\%$ para $L_3$.
Si elegimos dos pruebas al azar de un gran lote donde están mezclados todos los fabricantes (puedes considerar que la extracción es con reemplazamiento debido al gran volumen):
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean defectuosas?
- b) Sabiendo que la primera ha resultado defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda también lo sea? Justifique si estos sucesos son dependientes o independientes.
Hallar probabilidades a partir de información parcial
Con frecuencia te dan $P(A)$, $P(B)$ y quizás $P(A \cup B)$, y debes construir el resto. La herramienta clave es la fórmula de la unión:
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$De la figura: la parte de $A$ fuera de $B$ es $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$. Eso te da probabilidades condicionales con un complemento, como $P(A \mid \overline{B}) = \dfrac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})}$.
La intersección no puede ser cualquier valor. No puede ser mayor que el evento más pequeño, y la unión no puede exceder $1$:
$$\max\{0,\ P(A) + P(B) - 1\} \le P(A \cap B) \le \min\{P(A),\ P(B)\}$$Si $P(A) + P(B) > 1$, entonces $P(A \cap B)$ debe ser positiva, así que $A$ y $B$ nunca pueden ser mutuamente excluyentes.
En una plataforma de música por streaming, el $60\%$ de los usuarios escuchan el género "Urban" ($U$) y el $45\%$ escuchan "Pop" ($P$). Se sabe además que el $27\%$ de…
En una plataforma de música por streaming, el $60\%$ de los usuarios escuchan el género "Urban" ($U$) y el $45\%$ escuchan "Pop" ($P$). Se sabe además que el $27\%$ de los usuarios escuchan ambos géneros musicales.
- a) Determine si los sucesos "escuchar Urban" y "escuchar Pop" son independientes. Justifique su respuesta matemáticamente.
- b) Si seleccionamos a un usuario que sabemos que escucha música "Pop", ¿cuál es la probabilidad de que también escuche "Urban"?
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,58$. a) Calcule $P(A \cap B)$. b) Determine si los sucesos $A$…
Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,3$ y $P(A \cup B) = 0,58$.
- a) Calcule $P(A \cap B)$.
- b) Determine si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.
- c) Calcule la probabilidad condicionada $P(A | \bar{B})$, siendo $\bar{B}$ el suceso contrario de $B$.
Dos sucesos $A$ y $B$ cumplen que $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,7$. Determine el intervalo de valores posibles para la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$ y,…
Dos sucesos $A$ y $B$ cumplen que $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,7$. Determine el intervalo de valores posibles para la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$ y, basándose en ello, razone por qué los sucesos $A$ y $B$ no pueden ser nunca incompatibles. ¿Qué valor debería tener $P(A \cap B)$ para que $A$ y $B$ fuesen independientes?
Varios eventos a la vez
Con tres o más eventos, no basta con revisar los pares.
Cuando los resultados son igualmente probables, puedes comprobar la independencia contando el espacio muestral. Lanza dos dados justos de seis caras, así que hay $36$ resultados igualmente probables.
Observa también que los dos dados son independientes entre sí: todos los pares de resultados son igualmente probables, así que para cualesquiera caras $i$ y $j$, $P(\text{primero} = i \cap \text{segundo} = j) = P(\text{primero} = i)\cdot P(\text{segundo} = j)$. Esto vale para un dado con cualquier número de caras.
Se lanzan dos dados tetraédricos (caras numeradas del 1 al 4). Sean los sucesos: $A$: "La suma de las caras es un número primo". $B$: "El producto de las caras es un…
Se lanzan dos dados tetraédricos (caras numeradas del 1 al 4). Sean los sucesos:
-
$A$: "La suma de las caras es un número primo".
-
$B$: "El producto de las caras es un múltiplo de 4".
-
$C$: "Al menos uno de los dados muestra un 1".
Estudie la independencia de los sucesos $A$ y $B$, y de los sucesos $B$ y $C$. ¿Existe alguna relación de dependencia entre el resultado del primer dado y el resultado del segundo? Explíquelo matemáticamente.
Volvamos al principio: a la cruz no le toca después de tres caras, porque los lanzamientos son independientes. Pero la segunda carta es menos probable que sea un as después de sacar un primer as, porque la baraja cambió. Ese cambio en la segunda probabilidad es justo lo que separa a los eventos dependientes de los independientes.