Desigualdades cuadráticas
En el picnic del 4 de julio, Emma lanza un cohete de agua. Su altura en pies después de $t$ segundos es $h(t) = -16t^2 + 48t + 4$. ¿Durante cuánto tiempo está el cohete más alto que el roble de 36 pies que hay junto al campo? No puedes despejar $t$ como en una desigualdad lineal. En cambio, buscas dónde la parábola cruza una recta y luego decides qué lado te interesa. Responderemos la pregunta de Emma más adelante en esta página.
El método: raíces y tabla de signos
Una desigualdad cuadrática (también llamada inecuación cuadrática) pregunta dónde una parábola está arriba, abajo o sobre el eje $x$. La receta es siempre la misma: halla las raíces, divide la recta numérica en intervalos y decide el signo en cada uno.
Juega con la parábola de abajo. Cambia $a$, $b$ y $c$ y observa dónde la gráfica está arriba o abajo del eje $x$.
Resuelva la siguiente inecuación de segundo grado y exprese la solución en forma de intervalo: $x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Resuelva la siguiente inecuación de segundo grado y exprese la solución en forma de intervalo:
$x^2 - 5x + 6 \ge 0$
Encuentre el conjunto de soluciones de la inecuación: $-x^2 + 4x + 5 > 0$
Encuentre el conjunto de soluciones de la inecuación:
$-x^2 + 4x + 5 > 0$
Términos faltantes: factorizar o despejar
Algunas cuadráticas no tienen término constante o no tienen término en $x$. Algunos problemas las llaman desigualdades incompletas. No necesitas la fórmula cuadrática para resolverlas.
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Sin término constante ($ax^2 + bx$): factoriza $x$. Las raíces son $0$ y $-\dfrac{b}{a}$.
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Sin término en $x$ ($ax^2 - c$): despeja $x^2$ o factoriza como diferencia de cuadrados.
Resuelva la inecuación incompleta: $2x^2 - 8x \le 0$
Resuelva la inecuación incompleta:
$2x^2 - 8x \le 0$
Determine los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad: $3x^2 - 27 < 0$
Determine los valores de $x$ que verifican la siguiente desigualdad:
$3x^2 - 27 < 0$
Sin raíces o con raíz doble
El número de raíces depende del discriminante $b^2 - 4ac$. También decide si la parábola cruza el eje $x$, lo toca o se queda lejos de él.
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Discriminante $<0$: no hay raíces reales. El signo nunca cambia, así que es el signo de $a$ en todas partes. La solución es todos los números reales, $(-\infty, \infty)$, o ninguna solución, $\varnothing$.
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Discriminante $=0$: una raíz doble. El polinomio es un cuadrado perfecto, $a(x-r)^2$, que nunca es negativo si $a>0$. Es igual a $0$ solo en $x=r$.
Los cuadrados perfectos son especiales. Toma $(x-4)^2$, que tiene una sola raíz, $x=4$:
| Desigualdad | Solución |
|---|---|
| $(x-4)^2 > 0$ | todo $x$ excepto $4$: $(-\infty, 4) \cup (4, \infty)$ |
| $(x-4)^2 \ge 0$ | todos los números reales |
| $(x-4)^2 < 0$ | ninguna solución, $\varnothing$ |
| $(x-4)^2 \le 0$ | solo $x = 4$, el conjunto $\{4\}$ |
Halle el conjunto solución de la inecuación: $x^2 + 6x + 9 \le 0$
Halle el conjunto solución de la inecuación:
$x^2 + 6x + 9 \le 0$
Indique el conjunto solución de la inecuación, razonando su respuesta: $x^2 - 2x + 5 > 0$
Indique el conjunto solución de la inecuación, razonando su respuesta:
$x^2 - 2x + 5 > 0$
Determine para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad: $4x^2 - 12x + 9 > 0$
Determine para qué valores de $x$ se cumple la siguiente desigualdad:
$4x^2 - 12x + 9 > 0$
Forma estándar, gráficas y comparación de funciones
A veces la desigualdad no llega lista para resolverse. Quizás tengas que desarrollarla o leer la respuesta de una gráfica.
Primero desarrolla y simplifica. Multiplica, combina términos semejantes y pasa todo a un lado para que el otro lado sea $0$. A veces los términos $x^2$ se cancelan, y entonces tienes una desigualdad lineal.
Léelo de la gráfica. $f(x) \le 0$ significa "la gráfica está debajo del eje $x$ o tocándolo". Fíjate en los valores de $x$ donde eso ocurre.
Compara dos funciones. Para hallar dónde $f(x) < g(x)$, resta: $f(x) - g(x) < 0$. Los valores de $x$ donde las gráficas se cruzan son las raíces de esta diferencia, y entre ellas o fuera de ellas decides qué gráfica queda arriba.
Algunos problemas te piden comprobar tu álgebra con un dibujo que muestra ambas gráficas y la región entre ellas. Esa región es el conjunto de puntos que están arriba de la gráfica inferior y debajo de la superior. Su extensión horizontal es exactamente el intervalo donde $f(x) < g(x)$ (la distancia vertical $g(x) - f(x)$ es positiva ahí). Sus bordes izquierdo y derecho son los valores de $x$ donde las gráficas se cruzan, que son las raíces de $f(x) - g(x) = 0$.
Aquí están $f(x) = x^2 - 2x - 3$ (azul) y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$ (naranja), con la región entre ellas sombreada:
Las dos gráficas se cruzan en $x = -1$ y $x = 4$. Entre esos valores, la gráfica naranja de $g$ está arriba de la gráfica azul de $f$, y ahí vive la región sombreada. Fuera de ese intervalo, $f$ queda arriba. Así que el dibujo debe coincidir con el álgebra: al restar se obtiene $f(x) - g(x) = 2x^2 - 6x - 8 < 0$, que resuelves con el método de signos de siempre.
Resuelva la siguiente inecuación operando previamente para reducirla a su forma general y exprese el resultado en forma de intervalo:…
Resuelva la siguiente inecuación operando previamente para reducirla a su forma general y exprese el resultado en forma de intervalo:
$(2x - 1)^2 - (x + 3)(x - 3) < 5x + 14$
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, determine visualmente el conjunto de soluciones de la inecuación $f(x) \le 0$.
A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, determine visualmente el conjunto de soluciones de la inecuación $f(x) \le 0$.
Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determine analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$.…
Dadas las funciones cuadráticas $f(x) = x^2 - 2x - 3$ y $g(x) = -x^2 + 4x + 5$, determine analíticamente en qué intervalo de la recta real se cumple que $f(x) < g(x)$. Basándose en la gráfica adjunta que representa ambas funciones y el área comprendida entre ellas, compruebe la coherencia de su resultado.
Sistemas de desigualdades
Un sistema exige que todas las desigualdades se cumplan al mismo tiempo. Resuelve cada desigualdad por separado y luego intersecta los conjuntos solución (quédate solo con lo que se traslapa). Una desigualdad doble como $10 \le q(x) \le 22$ es un sistema disfrazado: $q(x) \ge 10$ y $q(x) \le 22$.
A veces la intersección son dos piezas separadas.
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita: $x^2 - 4 \le 0$ $x^2 - x \ge 0$
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita:
$x^2 - 4 \le 0$
$x^2 - x \ge 0$
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones y dé la solución final en forma de intervalo: $x^2 - 3x - 10 < 0$ $2x + 5 \ge 1$
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones y dé la solución final en forma de intervalo:
$x^2 - 3x - 10 < 0$
$2x + 5 \ge 1$
El cable principal de suspensión de un puente adopta la forma de una parábola. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, la altura $y$ (en pies)…
El cable principal de suspensión de un puente adopta la forma de una parábola. Tomando como origen de coordenadas el punto más bajo del cable, la altura $y$ (en pies) del cable respecto a la calzada a una distancia horizontal $x$ (en pies) del centro viene dada por la función $y = 0,005x^2 + 2$. Por razones de seguridad aeronáutica, se deben instalar luces de gálibo en los tramos del cable cuya altura respecto a la calzada esté comprendida entre $10 \text{ m}$ y $22 \text{ m}$. Plantee el sistema de inecuaciones y calcule en qué intervalos de distancia horizontal desde el centro se instalarán estas luces.
Modelos con desigualdades cuadráticas
Muchas situaciones reales se modelan con una función cuadrática: la altura de un proyectil, la ganancia de un negocio, el tamaño de una población. Una pregunta como "¿cuándo está arriba de...?" o "¿cuándo da ganancias?" es una desigualdad cuadrática.
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Define la variable y escribe la función.
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Convierte la pregunta en una desigualdad ("más alto que 36" significa $h(t) > 36$).
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Pasa todo a un lado y resuelve.
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Interpreta la respuesta en contexto. El tiempo no puede ser negativo, y "al menos" significa que los extremos cuentan.
Volvamos al cohete de Emma. Aquí está su altura, junto con la recta de 36 pies:
La altura $h$ en pies de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$.…
La altura $h$ en pies de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Plantee y resuelva la inecuación correspondiente para determinar durante qué intervalo de tiempo el proyectil se encuentra a una altura estrictamente superior a $17$ pies.
La ganancia diaria de una empresa, expresada en cientos de dólares, al fabricar $x$ unidades de un producto se modeliza mediante la función cuadrática…
La ganancia diaria de una empresa, expresada en cientos de dólares, al fabricar $x$ unidades de un producto se modeliza mediante la función cuadrática $B(x) = -0,5x^2 + 40x - 350$. ¿Cuántas unidades debe fabricar diariamente para no tener pérdidas? Exprese el resultado en forma de intervalo.
La población de cierta especie invasora en un lago, medida en miles de individuos, sigue el modelo $P(t) = -0,2t^2 + 3,2t + 4$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que…
La población de cierta especie invasora en un lago, medida en miles de individuos, sigue el modelo $P(t) = -0,2t^2 + 3,2t + 4$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que se detectó la invasión. Las autoridades deciden intervenir cuando la población supera los $14.000$ individuos. Sin embargo, el tratamiento ecológico solo es efectivo si se puede aplicar durante al menos $3$ meses consecutivos en los que la población se mantenga por encima de ese umbral. Plantee la inecuación y determine si será posible aplicar el tratamiento con éxito según este modelo.
Problemas de geometría y límites del contexto
Los problemas de área suelen darte un producto de dos expresiones. Dibuja la figura, rotula los lados con la variable y escribe el área como una cuadrática. Luego ten cuidado: las longitudes deben ser positivas, así que la solución del álgebra puede tener que recortarse según el contexto.
Se dispone de una cuerda de $40$ pies para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro ya existente como uno de los lados. Si $x$ es la longitud de los lados…
Se dispone de una cuerda de $40$ pies para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro ya existente como uno de los lados. Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, ¿para qué valores de $x$ el área cercada será de al menos $150 \text{ m}^2$? Tenga en cuenta que las dimensiones del huerto deben ser positivas.
El área de la zona central rectangular de una cancha deportiva debe ser estrictamente menor que $800 \text{ m}^2$. Si el largo de la cancha es el doble de su ancho $x$…
El área de la zona central rectangular de una cancha deportiva debe ser estrictamente menor que $800 \text{ m}^2$. Si el largo de la cancha es el doble de su ancho $x$ más $10$ pies, plantee la inecuación correspondiente y deduzca qué valores puede tomar el ancho de la cancha.
Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las…
Se quiere construir una bandeja sin tapa a partir de una lámina rectangular de aluminio de $30 \times 20 \text{ cm}$, recortando cuadrados idénticos de lado $x$ en las cuatro esquinas y doblando las pestañas resultantes hacia arriba. Si por requisitos de diseño se necesita que el área de la base de la bandeja sea de al menos $200 \text{ cm}^2$, plantee y resuelva la inecuación correspondiente para hallar el intervalo de posibles valores de $x$.
Dominios con raíces cuadradas y denominadores
Las desigualdades determinan el dominio de una función:
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Una raíz cuadrada necesita un radicando no negativo: $\sqrt{q(x)}$ requiere $q(x) \ge 0$.
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Un denominador no puede ser $0$. Para $\dfrac{1}{\sqrt{q(x)}}$ necesitas $q(x) > 0$ (estricta).
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Si aparecen varias restricciones, el dominio es su intersección.
Aquí están graficados ambos radicandos. La primera función está definida donde la parábola azul está sobre el eje $x$ o en él, y la segunda donde la naranja está por encima.
Halle el dominio de definición de la siguiente función real de variable real: $f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$
Halle el dominio de definición de la siguiente función real de variable real:
$f(x) = \sqrt{-2x^2 + 7x - 3}$
Halle el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores: $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$
Halle el dominio de definición de la siguiente función, que combina restricciones de radicandos y denominadores:
$g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} + \sqrt{9 - x^2}$
Desigualdades con un parámetro
A veces una desigualdad contiene una letra como $k$ o $m$ además de $x$. Una pregunta típica es: "¿Para qué valores del parámetro se cumple la desigualdad para todo $x$ real?" Eso significa que la parábola nunca toca ni cruza el eje $x$, así que necesitamos que el discriminante sea negativo y que el coeficiente principal tenga el signo correcto.
Mueve el control deslizante para ver cuándo la parábola se queda sobre el eje $x$.
A veces la condición sobre el parámetro es en sí misma una desigualdad cuadrática.
Determine para qué valores del parámetro $m$ la inecuación cuadrática $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ se verifica para cualquier número real $x$.
Determine para qué valores del parámetro $m$ la inecuación cuadrática $x^2 - mx + (m + 3) > 0$ se verifica para cualquier número real $x$.
Forma cuadrática y valor absoluto
Dos tipos más difíciles se reducen a lo que ya sabes.
Forma cuadrática. Una expresión como $x^4 - 10x^2 + 9$ es cuadrática en $x^2$. Algunos problemas la llaman desigualdad bicuadrática. Sustituye $u = x^2$, resuelve para $u$ y luego regresa a $x$. Recuerda que $u = x^2 \ge 0$.
Valor absoluto. $|A| \le k$ (con $k>0$) significa $-k \le A \le k$, que es un sistema. Aquí $A$ es una expresión cuadrática. El caso opuesto, $|A| \ge k$, significa $A \le -k$ o $A \ge k$, y tomas la unión.
Resuelva la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y exprese la solución final como unión de intervalos: $x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$
Resuelva la siguiente inecuación bicuadrada mediante un cambio de variable y exprese la solución final como unión de intervalos:
$x^4 - 13x^2 + 36 \le 0$
Resuelva la inecuación con valor absoluto transformándola previamente en un sistema de inecuaciones de segundo grado: $|x^2 - 4x| \le 5$
Resuelva la inecuación con valor absoluto transformándola previamente en un sistema de inecuaciones de segundo grado:
$|x^2 - 4x| \le 5$