Una rueda de la fortuna (Ferris wheel) en un muelle de Chicago gira a un ritmo constante. Sus cabinas van desde 4 pies sobre el suelo en la parte baja hasta 100 pies en la parte alta, y una vuelta completa tarda 8 minutos. ¿A qué altura está tu cabina 1 minuto después de subirte? ¿Cuándo llegas por primera vez a 76 pies? Una sola fórmula responde ambas preguntas. Usa las funciones trigonométricas, ahora medidas en radianes.
Seno y coseno como funciones
Coloca un punto en el círculo unitario con un ángulo de $x$ radianes. Su coordenada horizontal es $\cos x$ y su coordenada vertical es $\sin x$. A medida que $x$ crece, el punto da vueltas una y otra vez al círculo, así que ambas coordenadas se repiten. Esa repetición hace que estas funciones sean periódicas.
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Determina el dominio y el recorrido (imagen) de la función trigonométrica $f(x) = -4\cos(x) + 2$.
Determina el dominio y el recorrido (imagen) de la función trigonométrica $f(x) = -4\cos(x) + 2$.
Para evaluar funciones trigonométricas sin calculadora, usa el círculo unitario. Los tres ángulos especiales del primer cuadrante ($\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$) dan todos los demás valores exactos por simetría.
Las etiquetas de cada cuadrante indican cuáles de las funciones seno, coseno y tangente son positivas allí. En el Cuadrante I, todas son positivas. En el II, solo el seno. En el III, solo la tangente. En el IV, solo el coseno. En inglés se usa la regla mnemotécnica "All Students Take Calculus" (All, Sine, Tangent, Cosine).
$\theta$
$0$
$\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\pi}{2}$
$\sin\theta$
$0$
$\dfrac12$
$\dfrac{\sqrt2}{2}$
$\dfrac{\sqrt3}{2}$
$1$
$\cos\theta$
$1$
$\dfrac{\sqrt3}{2}$
$\dfrac{\sqrt2}{2}$
$\dfrac12$
$0$
$\tan\theta$
$0$
$\dfrac{\sqrt3}{3}$
$1$
$\sqrt3$
indefinida
Cuando un problema pide las intersecciones con el eje $x$ (ceros) de una función trigonométrica, iguala la función a $0$, aísla $\sin x$ o $\cos x$ y usa el ángulo de referencia. Normalmente hay dos soluciones en un período.
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Halla los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) de la función $h(x) = 2\sin(x) - 1$ en el intervalo $[0, 2\pi]$.
Halla los puntos de corte con el eje de abscisas (eje X) de la función $h(x) = 2\sin(x) - 1$ en el intervalo $[0, 2\pi]$.
La tangente es un cociente, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, así que no está definida donde $\cos x = 0$. Cerca de esos puntos la gráfica se dispara hacia $\pm\infty$ y tiene asíntotas verticales.
Cualquier denominador puede quitar puntos
La misma idea sirve para cualquier expresión con funciones trigonométricas en el denominador. Iguala el denominador a $0$, resuelve en el intervalo dado y excluye esos valores.
Raíces cuadradas y logaritmos
Una raíz cuadrada necesita que su radicando sea $\ge 0$. Un logaritmo necesita que su argumento sea $> 0$. Para una función con varias partes, escribe una condición para cada parte y luego encuentra dónde se cumplen todas a la vez.
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Determina el dominio de la función $f(x) = \frac{1}{2\cos(x) - 1}$ en el intervalo $[0, 2\pi]$.
Determina el dominio de la función $f(x) = \frac{1}{2\cos(x) - 1}$ en el intervalo $[0, 2\pi]$.
Toda onda de seno o coseno es la onda básica estirada, comprimida y movida. Es el mismo conjunto de transformaciones que ya conoces de otras funciones. Aquí tienen nombres especiales.
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Calcula el período de la función $g(t) = \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)$.
Calcula el período de la función $g(t) = \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)$.
Cómo escribir una ecuación a partir de una descripción
Muchas veces te dan el máximo, el mínimo y el período, y te piden la fórmula. Sigue siempre la misma receta.
Practica★★☆Sin empezar
Encuentra la expresión analítica de la función $f(x) = A\sin(Bx) + C$ sabiendo que: Su valor máximo es $4$ y su valor mínimo es $-2$. Su período es $\pi$. Pasa por el…
Encuentra la expresión analítica de la función $f(x) = A\sin(Bx) + C$ sabiendo que:
Su valor máximo es $4$ y su valor mínimo es $-2$.
Su período es $\pi$.
Pasa por el punto $(0, 1)$ y es creciente en ese instante.
Halla los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ (con $a > 0$ y $b > 0$) de la función $f(x) = a\sin(bx) + c$ sabiendo que: El valor máximo de la función es $10$. El…
Halla los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ (con $a > 0$ y $b > 0$) de la función $f(x) = a\sin(bx) + c$ sabiendo que:
Modelos de movimiento periódico: ruedas de la fortuna, mareas y circuitos
Todo lo que se repite a un ritmo constante se puede modelar con una sinusoide, donde $t$ suele ser el tiempo. Para leer un modelo en una gráfica, encuentra los puntos más alto y más bajo para el máximo y el mínimo, y mide de cresta a cresta para el período. Luego usa la receta de la sección anterior.
Volvamos al inicio: un minuto después de subirte estás a unos $18.1$ pies de altura. Llegas por primera vez a $76$ pies después de $\dfrac{8}{3}\approx 2.67$ minutos, y a la cima ($100$ pies) después de exactamente $4$ minutos.
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La altura $h$ (en pies) a la que se encuentra una cabina de una noria respecto al suelo en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la gráfica adjunta. A…
La altura $h$ (en pies) a la que se encuentra una cabina de una noria respecto al suelo en función del tiempo $t$ (en minutos) viene dada por la gráfica adjunta.
A partir de la gráfica, determina la expresión analítica de la función en la forma $h(t) = A\cos(Bt) + C$. Justifica el valor de los parámetros $A$, $B$ y $C$.
La profundidad del agua $d$ (en pies) en la entrada de un puerto varía con las mareas y se puede modelizar mediante la función…
La profundidad del agua $d$ (en pies) en la entrada de un puerto varía con las mareas y se puede modelizar mediante la función $d(t) = 12 + 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, donde $t$ es el tiempo en horas transcurrido desde la medianoche ($t=0$).
¿Cuál es la profundidad máxima y mínima del agua en el puerto?
¿A qué horas del día se alcanza la profundidad máxima por primera y segunda vez?
El voltaje $V$ (en voltios) de un circuito de corriente alterna en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dado por $V(t) = 311\sin(100\pi t)$. Calcula la frecuencia…
El voltaje $V$ (en voltios) de un circuito de corriente alterna en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dado por $V(t) = 311\sin(100\pi t)$.
Calcula la frecuencia de la corriente (número de ciclos completos por segundo).
Determina el primer instante $t > 0$ en el que el voltaje alcanza su valor máximo de $311$ V.
Algunos ciclos no empiezan en un máximo o mínimo cuando $t=0$. El truco habitual es usar $\cos$ y hacer que $C$ sea igual a un momento en el que sabes que ocurre el máximo. Entonces $f(t)=A\cos\big(B(t-C)\big)+D$ tiene su cresta en $t=C$.
Un ciclo más una tendencia
Los datos reales suelen combinar un ciclo con un crecimiento, como $S(t)=100+10t+30\cos\left(\dfrac{\pi}{3}t\right)$. La parte del coseno oscila y la parte $10t$ sigue subiendo, así que la función completa no es periódica. Aun así, puedes comparar valores exactamente si eliges entradas donde el coseno tenga un valor conocido.
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La posición de un peso suspendido de un resorte que oscila verticalmente se modeliza mediante la función $y(t) = -5\cos(4\pi t)$, donde $y$ es el desplazamiento en…
La posición de un peso suspendido de un resorte que oscila verticalmente se modeliza mediante la función $y(t) = -5\cos(4\pi t)$, donde $y$ es el desplazamiento en pulgadas respecto a la posición de equilibrio ($y=0$) y $t$ es el tiempo en segundos.
¿Cuál es la amplitud y el período del movimiento?
¿En qué instante $t > 0$ pasa el peso por primera vez por la posición de equilibrio?
En una ciudad, el número de horas de luz solar a lo largo del año se puede aproximar mediante una función del tipo…
En una ciudad, el número de horas de luz solar a lo largo del año se puede aproximar mediante una función del tipo $L(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$, donde $t$ es el día del año ($t=1$ es el 1 de enero).
Sabiendo que el día con más horas de luz es el 21 de junio ($t=172$) con $15$ horas, y el día con menos horas de luz es el 21 de diciembre ($t=355$) con $9$ horas:
Halla los valores de los parámetros $A$, $C$ y $D$.
Estima el número de horas de luz el 21 de marzo ($t=80$).
Las ventas mensuales $S$ (en miles de unidades) de un producto estacional se modelizan mediante la función $S(t) = 120 + 20t + 50\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, donde…
Las ventas mensuales $S$ (en miles de unidades) de un producto estacional se modelizan mediante la función $S(t) = 120 + 20t + 50\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$, donde $t$ es el tiempo en meses ($t=0$ corresponde a enero).
Calcula las ventas en enero ($t=0$) y en julio ($t=6$).
Demuestra analíticamente si las ventas en julio son mayores o menores que en enero y calcula la diferencia exacta.
El seno, el coseno y la tangente no son uno a uno en todo $\mathbb{R}$, porque repiten sus valores. Para obtener funciones inversas restringimos el dominio a un tramo donde cada función sea uno a uno.
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Calcula el valor exacto en radianes de las siguientes expresiones con funciones trigonométricas inversas, sin utilizar la calculadora:…
Calcula el valor exacto en radianes de las siguientes expresiones con funciones trigonométricas inversas, sin utilizar la calculadora:
Funciones trigonométricas en problemas de geometría
Las funciones trigonométricas también describen longitudes y áreas que cambian con un ángulo.
Ángulos de elevación
Si una cámara está a $d$ pies de la base de algo que se eleva verticalmente, y el objeto tiene altura $h$, entonces $\tan\theta=\dfrac{h}{d}$. Para obtener el ángulo a partir de la altura, usa la inversa: $\theta=\arctan\dfrac{h}{d}$. Esto es válido porque $\theta$ es agudo, dentro del rango de $\arctan$.
Áreas que dependen de un ángulo
Cuando una figura está inscrita en un círculo, coloca una esquina en el punto $(R\cos\theta,\ R\sin\theta)$ del círculo. Entonces las longitudes de los lados son productos de $R$ con $\cos\theta$ o $\sin\theta$. El área se convierte en una función trigonométrica cuyo máximo puedes leer del rango del seno o del coseno.
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Una cámara de seguimiento está situada a $50\text{ m}$ de la base de lanzamiento de un cohete. El cohete asciende verticalmente. Expresa el ángulo de elevación $\theta$…
Una cámara de seguimiento está situada a $50\text{ m}$ de la base de lanzamiento de un cohete. El cohete asciende verticalmente.
Expresa el ángulo de elevación $\theta$ de la cámara como una función trigonométrica inversa de la altura $h$ del cohete.
Calcula el ángulo de elevación exacto (en radianes y grados) cuando el cohete se encuentra a una altura de $50\sqrt{3}\text{ m}$.
Se inscribe un rectángulo dentro de un semicírculo de radio $R = 10\text{ cm}$, de modo que su base descansa sobre el diámetro del semicírculo, como muestra la figura.…
Se inscribe un rectángulo dentro de un semicírculo de radio $R = 10\text{ cm}$, de modo que su base descansa sobre el diámetro del semicírculo, como muestra la figura.
Sea $\theta$ el ángulo que forma el radio trazado hasta un vértice superior del rectángulo con el diámetro.
Expresa el área del rectángulo en función del ángulo $\theta$. (Pista: usa la fórmula del seno del ángulo doble).
¿Para qué valor de $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ el área del rectángulo es máxima y cuál es dicho valor máximo?
Dos herramientas más aparecen cuando se mezclan funciones trigonométricas.
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Dadas las funciones $f(x) = \sin(2x)$ y $g(x) = \sin(x)$ representadas en la gráfica adjunta en el intervalo $[0, 2\pi]$. Calcula analíticamente las coordenadas exactas…
Dadas las funciones $f(x) = \sin(2x)$ y $g(x) = \sin(x)$ representadas en la gráfica adjunta en el intervalo $[0, 2\pi]$.
Calcula analíticamente las coordenadas exactas de todos los puntos de intersección entre ambas curvas en el intervalo $[0, 2\pi]$. (Pista: utiliza la identidad del seno del ángulo doble).
Expresa la función $f(x) = \sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)$ en la forma $f(x) = A\sin(x + \alpha)$. A partir de esta nueva expresión, indica la amplitud y el desfase de la…
Expresa la función $f(x) = \sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)$ en la forma $f(x) = A\sin(x + \alpha)$. A partir de esta nueva expresión, indica la amplitud y el desfase de la función.