Ejercicios: Sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra escalonado, utilizando el método de sustitución hacia atrás:

$x + 2y - z = 4$

$3y + z = 5$

$2z = 4$

Aplique el método de Gauss para triangular y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$x - y + z = 2$

$2x + y - z = 1$

$x + 2y + z = 7$

Compruebe si la terna $x = 1$, $y = -1$, $z = 2$ es solución del siguiente sistema. Justifique su respuesta.

$3x + y - z = 0$

$x - 2y + z = 5$

$2x + y + z = 3$

La suma de tres números es $12$. El primero más el segundo suman $7$. El segundo más el tercero suman $9$. Plantee un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y determine el valor de dichos números.

Triangule el siguiente sistema mediante el método de Gauss e indique si es un Sistema Incompatible (SIN):

$x + y + z = 1$

$2x + y - z = 0$

$3x + 2y = 5$

Resuelva el siguiente sistema donde en cada ecuación falta una incógnita:

$x + y = 5$

$y + z = 7$

$x + z = 6$

Aplique el método de Gauss al siguiente sistema y compruebe que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI) al obtener una ecuación del tipo $0 = 0$:

$x - y + 2z = 3$

$-2x + 2y - 4z = -6$

$3x - 3y + 6z = 9$

Escriba un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya única solución sea la terna $x = 2$, $y = 0$, $z = -1$.

En una cafetería se venden tres tipos de sándwiches: de jamón, de queso y de tortilla. Un grupo de amigos pide $3$ de jamón, $2$ de queso y $1$ de tortilla, pagando $\$14$. Otro grupo pide $2$ de jamón, $1$ de queso y $3$ de tortilla, pagando $\$13$. Un tercer grupo pide $1$ de jamón, $3$ de queso y $2$ de tortilla, pagando $\$15$. Plantee y resuelva un sistema para calcular el precio de cada tipo de sándwich.

La edad de un abuelo, su hijo y su nieto suman $120$ años. El abuelo tiene exactamente el doble de años que el hijo. Además, el hijo es $30$ años mayor que el nieto. Determine la edad de cada uno de ellos planteando un sistema de tres ecuaciones.

Resuelva el siguiente sistema compatible indeterminado y exprese sus infinitas soluciones en función de un parámetro $\lambda$:

$x + 2y - z = 4$

$2x - y + 3z = 3$

$3x + y + 2z = 7$

En un partido de baloncesto, un jugador ha anotado un total de $15$ canastas, consiguiendo $31$ puntos. Sabiendo que el número de canastas de dos puntos es el triple que el de canastas de tres puntos, y que también ha anotado tiros libres (que valen un punto), plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas canastas de cada tipo ha encestado.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales que contiene coeficientes fraccionarios. Simplifique las ecuaciones antes de aplicar el método de Gauss:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - z = 1$

$x - \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = 2$

$\frac{x}{3} + y - \frac{z}{2} = 3$

Encuentre los valores del parámetro $k$ para los que el siguiente sistema es incompatible:

$x + y - z = 2$

$2x - y + z = 1$

$3x + y - z = k$

Tres máquinas A, B y C fabrican piezas en una industria. Trabajando juntas, la máquina A y la B fabrican $50$ piezas por hora. La máquina B y la C fabrican juntas $70$ piezas por hora. Finalmente, la máquina A y la C fabrican juntas $60$ piezas por hora. Calcule cuántas piezas por hora fabrica cada máquina individualmente.

En un triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores $A$, $B$ y $C$ es $180^{\circ}$. El ángulo $A$ es igual a la suma de los ángulos $B$ y $C$. Además, el ángulo $B$ es el doble del ángulo $C$. Plantee un sistema de tres ecuaciones y determine la medida de los tres ángulos.

Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$. Indique para qué valores de $m$ el sistema es Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.

$x + y + z = 1$

$x + my + z = m$

$x + y + m^{2}z = m^{2}$

La suma de las tres cifras de un número es $15$. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el número original. Además, la cifra de las decenas es la media aritmética de las cifras de las centenas y de las unidades. Encuentre el número original. (Nota: Un número de tres cifras $c$, $d$, $u$ tiene un valor de $100c + 10d + u$).

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineal realizando un cambio de variable adecuado (por ejemplo, $u = \frac{1}{x}$, $v = \frac{1}{y}$, $w = \frac{1}{z}$):

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5$

$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 7$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 6$

Geométricamente, una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Observe la siguiente representación gráfica donde tres planos se intersecan a lo largo de una única recta, formando un haz de planos.

Dado el sistema:

$\pi_{1}: x + 2y - z = 3$

$\pi_{2}: 2x - y + z = 1$

$\pi_{3}: 4x + 3y - z = k$

Calcule el valor de $k$ para que los tres planos se corten en una única recta (Sistema Compatible Indeterminado con un grado de libertad) y exprese la ecuación paramétrica de dicha recta de intersección.

Una empresa de transportes adquiere tres tipos de vehículos: furgonetas, camiones ligeros y camiones pesados. Se sabe que el número total de vehículos adquiridos es $30$. El costo de cada furgoneta es de $\$20.000$, el de cada camión ligero $\$30.000$ y el de cada camión pesado $\$50.000$. Si la inversión total ha sido de $\$850.000$, plantee el sistema y demuestre que es un Sistema Compatible Indeterminado. Luego, encuentre todas las soluciones enteras posibles sabiendo que la empresa ha comprado al menos un vehículo de cada tipo.

Se dispone de tres aleaciones de plata, cobre y zinc. La primera contiene un $10\%$ de plata, un $70\%$ de cobre y un $20\%$ de zinc. La segunda contiene un $30\%$ de plata, un $40\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. La tercera contiene un $20\%$ de plata, un $50\%$ de cobre y un $30\%$ de zinc. Queremos obtener $100$ libras de una nueva aleación que contenga exactamente un $22\%$ de plata y un $52\%$ de cobre. Plantee el sistema de ecuaciones para calcular cuántas libras de cada aleación debemos mezclar y resuélvalo.

Halle los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea Compatible Indeterminado:

$x - y + 2z = 1$

$2x + ay - z = 3$

$3x + y + bz = 4$

Demuestre algebraicamente que si un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas admite dos soluciones distintas, por ejemplo $S_{1} = (1, 0, 0)$ y $S_{2} = (0, 1, 0)$, entonces admite infinitas soluciones. Para ello, compruebe que cualquier combinación lineal de la forma $S = \lambda S_{1} + (1-\lambda)S_{2}$ también es solución del sistema.