Eventos y reglas de probabilidad

En el estudio de los fenómenos cotidianos, es fundamental distinguir entre la certeza y el azar. Clasifica los siguientes experimentos como aleatorios o deterministas:

1. a) Lanzar un penal en un entrenamiento y observar si el balón entra en la portería.
2. b) Medir el tiempo que tarda un objeto en caer desde una altura de 5 pies en el vacío.
3. c) Observar el número de mensajes de WhatsApp que recibes entre las 17:00 y las 18:00 de un lunes cualquiera.
4. d) Calcular el costo total de la compra de 3 libras de naranjas si el precio por libra es de $\$1,25 \text{ \$}$.
5. e) Extraer una carta de una baraja española y observar si es de bastos.

Disponemos de una ruleta de la fortuna dividida en 8 sectores iguales, numerados del 1 al 8. Se hace girar la ruleta y se anota el número indicado por la flecha.

Basándote en este experimento:

1. a) Escribe el espacio muestral $E$.
2. b) Indica los elementos que forman el suceso $A = \text{"obtener un número mayor que 5"}$.
3. c) Indica los elementos que forman el suceso $B = \text{"obtener un número par"}$.
4. d) Describe con palabras el suceso complementario $\bar{A}$.

Se lanzan dos dados cúbicos (de seis caras) y se anota la suma de los puntos obtenidos.

1. a) ¿Cuál es el espacio muestral $E$ de este experimento?
2. b) Escribe los sucesos elementales que componen el suceso $S = \text{"la suma es múltiplo de 5"}$.
3. c) Determina si el suceso $I = \text{"la suma es un número menor que 2"}$ es un suceso posible, imposible o seguro.

Un grupo de amigos analiza sus preferencias sobre redes sociales. Sea $I$ el suceso "usar Instagram" y $T$ el suceso "usar TikTok". Exprese simbólicamente mediante operaciones de sucesos las siguientes situaciones:

1. a) El amigo usa Instagram o TikTok (o ambas).
2. b) El amigo usa ambas redes sociales.
3. c) El amigo usa Instagram pero no usa TikTok.
4. d) El amigo no usa ninguna de las dos redes sociales.

En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Consideramos los siguientes sucesos:

$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$

Halle los elementos de los siguientes sucesos resultantes:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (suceso contrario de $A$)
4. d) $A - B$ (sucesos que están en $A$ pero no en $B$)

Considere el experimento de extraer una carta de una baraja española de 40 cartas. Indique si los siguientes pares de sucesos son compatibles o incompatibles:

1. a) $A = \text{"Sacar un Rey"}$ y $B = \text{"Sacar una Sota"}$.
2. b) $C = \text{"Sacar un Oro"}$ y $D = \text{"Sacar una Figura"}$.
3. c) $E = \text{"Sacar un número par"}$ y $F = \text{"Sacar el As de Espadas"}$.
4. d) $G = \text{"Sacar un Caballo"}$ y $H = \text{"Sacar una carta de Copas"}$.

Observe el siguiente diagrama de Venn que representa los sucesos $A$ y $B$ dentro de un espacio muestral $E$.

Si el punto $x$ representa un resultado del experimento, indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas basándose en el gráfico:

1. a) El resultado $x$ pertenece al suceso $A \cup B$.
2. b) El resultado $x$ pertenece al suceso $A \cap B$.
3. c) Los sucesos $A$ y $B$ son incompatibles.
4. d) El resultado $x$ pertenece al suceso $A - B$.

En un aula de 11.º grado hay 12 estudiantes que han elegido Francés como segunda lengua, 15 que han elegido Alemán y 3 que han elegido ambas. Si elegimos un estudiante al azar:

1. a) ¿Cuál es el número total de estudiantes que estudian alguna de las dos lenguas (suceso unión)?
2. b) ¿Cuántos estudiantes estudian solo Alemán?
3. c) Utilizando la Regla de Laplace, si en total hay 30 estudiantes en la clase, calcule la probabilidad de que el estudiante elegido estudie Alemán.

En una encuesta realizada a los estudiantes de 11.º grado sobre sus suscripciones a plataformas de streaming, se ha obtenido que el $60\%$ está suscrito a Netflix ($N$), el $45\%$ a HBO Max ($H$) y el $20\%$ no está suscrito a ninguna de las dos. Si elegimos un estudiante al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que esté suscrito a ambas plataformas.
2. b) La probabilidad de que esté suscrito a Netflix pero no a HBO Max ($P(N - H)$).
3. c) Representa la situación mediante un diagrama de Venn indicando las probabilidades de cada región.

Demuestra razonadamente, utilizando las Leyes de Morgan y las propiedades axiomáticas de la probabilidad, la siguiente igualdad para dos sucesos cualquiera $A$ y $B$:

$$P(\bar{A} \cap \bar{B}) - P(\bar{A}) = P(B) - P(A \cup B)$$

Posteriormente, interpreta qué significa esta igualdad en términos de la relación entre los sucesos $A$ y $B$ cuando el resultado es igual a cero.

Observa el siguiente diagrama de Venn que representa las probabilidades de los sucesos $A$ (estudiar francés) y $B$ (estudiar alemán) en un centro de idiomas.

A partir de los datos del gráfico, calcula:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(\bar{A} | B)$
3. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ utilizando las Leyes de Morgan.

En una prestigiosa academia de música, el $60\%$ de los estudiantes toca el piano ($P$), el $45\%$ toca el violín ($V$) y el $20\%$ no toca ninguno de estos dos instrumentos. Se selecciona un estudiante al azar.

1. a) Determina la probabilidad de que toque ambos instrumentos.
2. b) Si sabemos que el estudiante seleccionado toca el violín, ¿cuál es la probabilidad de que no toque el piano?
3. c) Se eligen tres estudiantes al azar de forma independiente. Calcula la probabilidad de que al menos uno de ellos toque el piano pero no el violín.

En un estudio sobre el consumo de medios digitales entre adolescentes, se analizan dos sucesos: $A$ (el usuario utiliza habitualmente una plataforma de microblogging) y $B$ (el usuario consume contenido en plataformas de streaming de video). Tras realizar una encuesta, se han obtenido los siguientes datos de probabilidad:

• La probabilidad de que un usuario no utilice ninguna de las dos plataformas es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,15$.

• La probabilidad de que utilice habitualmente la plataforma de microblogging es $P(A) = 0,6$.

• La probabilidad de que no utilice la plataforma de streaming sabiendo que sí utiliza la de microblogging es $P(\bar{B}/A) = 0,4$.

Calcula razonadamente las siguientes probabilidades:

1. a) La probabilidad de que el usuario consuma contenido en streaming, $P(B)$.
2. b) La probabilidad de que utilice la plataforma de microblogging pero no la de streaming, $P(A - B)$.
3. c) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes? Justifica tu respuesta mediante cálculos.

Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, sabemos que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,3$. Si además se conoce que $P(A) = 0,4$ y $P(B) = 0,5$, determina:

1. a) ¿Son $A$ y $B$ sucesos incompatibles? Justifica tu respuesta.
2. b) ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes?
3. c) Calcula $P(A \cap \bar{B})$.

En un torneo de e-sports, el $70\%$ de los participantes usa teclado mecánico ($T$) y el $40\%$ usa mouse ergonómico ($R$). Sabemos que la probabilidad de que un participante elegido al azar no use ni teclado mecánico ni mouse ergonómico es de $0,15$.

1. a) Calcula la probabilidad de que un jugador use ambas cosas.
2. b) Si sabemos que un jugador usa teclado mecánico, ¿cuál es la probabilidad de que también use mouse ergonómico?
3. c) ¿Es el uso del mouse ergonómico independiente del uso del teclado mecánico?

Un analista de datos estudia la probabilidad de que una publicación en Instagram sea exitosa. Define los sucesos $V$ (el post es un video) y $L$ (el post recibe más de 500 "likes"). Se sabe que $P(V) = 0,25$, $P(L) = 0,40$ y $P(V \cup L) = 0,55$.

1. a) Calcula $P(V \cap L)$.
2. b) Determina si los sucesos "ser video" y "recibir muchos likes" son independientes.
3. c) Calcula la probabilidad de que el post reciba muchos likes sabiendo que no es un video.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres sucesos de un mismo experimento aleatorio tales que:

• $A$ y $B$ son independientes.

• $A$ y $C$ son incompatibles.

• $P(A) = 0,4$; $P(B) = 0,5$ y $P(C) = 0,2$.

Calcula detalladamente aplicando las propiedades de la probabilidad:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cup C)$
3. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$
4. d) $P((A \cup B) \cap C)$ sabiendo además que $B$ y $C$ son independientes.

Considera un experimento aleatorio donde el espacio muestral es $E$. Sean $S_1$ y $S_2$ dos sucesos tales que sus probabilidades dependen de un valor desconocido $k \in \mathbb{R}$. Se sabe que:

• $P(S_1) = k$

• $P(S_2) = k^2 + 0,1$

• $P(S_1 \cup S_2) = 0,7$

Determina el valor de $k$ sabiendo que los sucesos $S_1$ y $S_2$ son incompatibles. Una vez hallado $k$, comprueba si sería posible que $S_1$ y $S_2$ fueran independientes bajo las mismas condiciones de probabilidad individual (ignorando la unión anterior). Justifica si existe algún valor de $k$ que permita la independencia y la unión simultáneamente.

Una empresa de ciberseguridad ha instalado dos sistemas de detección de intrusos, $D_1$ y $D_2$, que funcionan de forma independiente. La probabilidad de que ante un ataque externo el sistema $D_1$ dé la alarma es de $0,92$. Por otro lado, la probabilidad de que el sistema $D_2$ no detecte el ataque es de $0,15$.

Si se produce un ataque inesperado, calcula:

1. a) La probabilidad de que al menos uno de los dos sistemas detecte el ataque.
2. b) La probabilidad de que solo el sistema $D_2$ dé la alarma.
3. c) Sabiendo que el ataque ha sido detectado por al menos uno de los sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sistemas hayan funcionado correctamente?

Un equipo de trabajo de 11.º grado está formado por 5 chicas y 3 chicos. El profesor debe elegir a 2 personas al azar para presentar el proyecto. Calcula:

1. a) El espacio muestral del experimento (atendiendo al género de los elegidos).
2. b) La probabilidad de que los dos elegidos sean del mismo género.
3. c) La probabilidad de que al menos uno de los elegidos sea una chica.

En una caja de seguridad hay dos compartimentos. El compartimento A contiene 4 billetes de $\$10$ y 6 de $\$20$. El compartimento B contiene 7 billetes de $\$10$ y 3 de $\$20$. Se lanza un dado: si sale un número menor que 3 se elige el compartimento A, y en caso contrario el B. A continuación, se extrae un billete al azar.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol correspondiente.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el billete extraído sea de $\$20$?
3. c) Si el billete extraído es de $\$10,$ ¿cuál es la probabilidad de que proceda del compartimento A?

En un torneo de e-sports, un equipo tiene que superar tres fases eliminatorias consecutivas para ganar el premio. Las probabilidades de superar cada fase son dependientes del éxito en la anterior debido a la fatiga acumulada:

• La probabilidad de superar la Fase 1 es $P(F_1) = 0,8$.

• Si superan la Fase 1, la probabilidad de superar la Fase 2 es $P(F_2/F_1) = 0,7$.

• Si no superan la Fase 1, quedan eliminados automáticamente (obviamente no hay Fase 2).

• Si han superado las dos primeras fases, la probabilidad de ganar la Fase 3 es $P(F_3 / F_1 \cap F_2) = 0,5$.

Calcula:

1. a) La probabilidad de que el equipo sea eliminado exactamente en la Fase 2.
2. b) La probabilidad de que el equipo gane el torneo (supere las tres fases).
3. c) Sabiendo que el equipo no ha ganado el torneo, ¿cuál es la probabilidad de que ni siquiera superara la primera fase?

Se ha realizado un estudio sobre el uso de lentes de sol y la fatiga visual en conductores. De 200 conductores, 120 usan lentes de sol habitualmente. De los que usan lentes de sol, el $10\%$ afirma tener fatiga visual tras un viaje largo, mientras que entre los que no las usan, el porcentaje de fatiga se eleva al $35\%$.

1. a) Organiza la información en una tabla de contingencia.
2. b) Si elegimos un conductor al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga fatiga visual?
3. c) Si un conductor afirma no tener fatiga visual, ¿cuál es la probabilidad de que use lentes de sol?

Un laboratorio de diagnóstico analiza muestras de agua para detectar una bacteria específica. Se sabe que el $5\%$ de las fuentes de una región están contaminadas ($C$). El test utilizado tiene una probabilidad de dar un falso positivo (dar positivo cuando no hay bacteria) del $2\%$, y una probabilidad de dar un falso negativo (dar negativo cuando sí hay bacteria) del $1\%$.

1. a) Construye el diagrama de árbol correspondiente a esta situación.
2. b) Calcula la probabilidad de que el test resulte positivo ($+$).
3. c) Si el test de una fuente ha dado positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté contaminada? Comenta el resultado obtenido desde el punto de vista de la fiabilidad del test.