Rectas horizontales y verticales
Imagina una ciudad organizada en una cuadrícula. Si caminas en línea recta hacia el este por Maple Street, tu posición norte-sur nunca cambia; solo cambia tu posición este-oeste. Si caminas hacia el norte por la 5th Avenue, pasa lo contrario. Estas dos clases de rectas son tan sencillas que puedes escribir sus ecuaciones sin ninguna fórmula. Veamos cómo, y qué ocurre cuando Maple Street y la 5th Avenue se cruzan.
Rectas horizontales
Una recta horizontal nunca sube ni baja. Todos sus puntos están a la misma altura, así que todos tienen la misma coordenada $y$.
Mueve el valor de $k$ y observa cómo la recta sube y baja sin dejar de ser plana.
Escriba la ecuación de la recta paralela al eje de abscisas (eje $X$) que pasa por el punto $A(3, -5)$.
Escriba la ecuación de la recta paralela al eje de abscisas (eje $X$) que pasa por el punto $A(3, -5)$.
Escriba las ecuaciones generales de los ejes de coordenadas $X$ e $Y$.
Escriba las ecuaciones generales de los ejes de coordenadas $X$ e $Y$.
Rectas verticales
Ahora gira la imagen un cuarto de vuelta. En una recta vertical puedes subir y bajar cuanto quieras, pero tu posición de izquierda a derecha nunca cambia.
Una recta vertical no es la gráfica de una función: a un valor de $x$ le corresponden muchos valores de $y$, así que no pasa la prueba de la recta vertical. Por eso no se puede escribir como $y = mx + b$.
Escriba la ecuación de la recta paralela al eje de ordenadas (eje $Y$) que pasa por el punto $B(-2, 7)$.
Escriba la ecuación de la recta paralela al eje de ordenadas (eje $Y$) que pasa por el punto $B(-2, 7)$.
Un dron de reparto se desplaza por una ciudad con calles en cuadrícula. Su trayectoria sigue una línea recta paralela al eje $Y$ pasando por la coordenada $(6, 2)$.…
Un dron de reparto se desplaza por una ciudad con calles en cuadrícula. Su trayectoria sigue una línea recta paralela al eje $Y$ pasando por la coordenada $(6, 2)$. Escriba la ecuación de su trayectoria y las coordenadas de dos puntos por los que pasará.
Vector director y pendiente
Toda recta tiene una dirección. Un vector director $\langle a, b\rangle$ de una recta es un vector que apunta a lo largo de ella: indica cuánto moverse a la derecha ($a$) y cuánto hacia arriba ($b$) para seguir sobre la recta. Cualquier múltiplo no nulo de un vector director también sirve.
La pendiente (slope) es el cambio vertical sobre el cambio horizontal, así que una recta con vector director $\langle a, b\rangle$ tiene pendiente $m = \dfrac{b}{a}$.
Indique cuál es el vector director y la pendiente de la recta de ecuación $y = 4$.
Indique cuál es el vector director y la pendiente de la recta de ecuación $y = 4$.
Indique cuál es el vector director y la pendiente de la recta de ecuación $x = -1$.
Indique cuál es el vector director y la pendiente de la recta de ecuación $x = -1$.
Ecuaciones paramétricas
Una recta también se puede escribir diciendo dónde está un punto en movimiento en el tiempo $t$. Parte de un punto $(x_0, y_0)$ y avanza según un vector director $\langle a, b\rangle$:
$$x = x_0 + a t, \qquad y = y_0 + b t$$En las rectas paralelas a los ejes, una de las coordenadas nunca cambia. Así las reconoces.
Dada la recta en forma paramétrica $x = -3$, $y = t$, indique a qué eje es paralela y escriba su ecuación general.
Dada la recta en forma paramétrica $x = -3$, $y = t$, indique a qué eje es paralela y escriba su ecuación general.
El cabezal de una impresora 3D debe trazar una línea de soporte horizontal constante a $15\text{ mm}$ del origen en el eje $Y$. Escriba las ecuaciones paramétricas y la…
El cabezal de una impresora 3D debe trazar una línea de soporte horizontal constante a $15\text{ mm}$ del origen en el eje $Y$. Escriba las ecuaciones paramétricas y la ecuación general de esta recta.
Reconocerlas a partir de dos puntos
No siempre te dan la ecuación. A veces te dan dos puntos. Busca la coordenada que se repite.
Arrastra el punto y observa qué coordenada queda fija al moverte a lo largo de cada eje.
Una recta pasa por los puntos $P(4, 2)$ y $Q(-3, 2)$. ¿Es paralela a alguno de los ejes? Escriba su ecuación.
Una recta pasa por los puntos $P(4, 2)$ y $Q(-3, 2)$. ¿Es paralela a alguno de los ejes? Escriba su ecuación.
Reconocerlas en forma estándar
Una recta en la forma $Ax + By + C = 0$ (también verás $Ax + By = C$) es paralela a un eje exactamente cuando una de las dos variables desaparece. En algunos problemas a esta forma se le llama ecuación general.
Determine el valor de $k$ para que la recta de ecuación general $kx + 3y - 6 = 0$ sea paralela al eje $X$. Escriba la ecuación resultante.
Determine el valor de $k$ para que la recta de ecuación general $kx + 3y - 6 = 0$ sea paralela al eje $X$. Escriba la ecuación resultante.
Determine el valor de $a$ para que la recta de ecuación $4x + (a+1)y - 8 = 0$ sea paralela al eje $Y$. Escriba la ecuación resultante.
Determine el valor de $a$ para que la recta de ecuación $4x + (a+1)y - 8 = 0$ sea paralela al eje $Y$. Escriba la ecuación resultante.
Encuentre el valor de $m$ para que la recta $(m^2-9)x + (m+3)y + 5 = 0$ sea paralela al eje $X$. ¿Existe algún valor de $m$ para el que esta misma recta sea paralela al…
Encuentre el valor de $m$ para que la recta $(m^2-9)x + (m+3)y + 5 = 0$ sea paralela al eje $X$. ¿Existe algún valor de $m$ para el que esta misma recta sea paralela al eje $Y$? Justifique su respuesta.
Intersecciones, rectas perpendiculares y distancia
Una recta horizontal y una vertical siempre se cruzan en ángulo recto. Eso facilita varias preguntas.
Determine las coordenadas del punto de intersección de las rectas $r: x = 5$ y $s: y = -2$.
Determine las coordenadas del punto de intersección de las rectas $r: x = 5$ y $s: y = -2$.
Halle la ecuación de la recta perpendicular a $x = 7$ que pasa por el punto $M(-4, 9)$.
Halle la ecuación de la recta perpendicular a $x = 7$ que pasa por el punto $M(-4, 9)$.
Calcule la distancia mínima que separa a las rectas paralelas $r: y = 8$ y $s: y = -3$.
Calcule la distancia mínima que separa a las rectas paralelas $r: y = 8$ y $s: y = -3$.
Caminos, alturas y parámetros
Ahora combina las ideas.
Caminos escalonados
Un camino formado por un movimiento horizontal y uno vertical está sobre dos rectas paralelas a los ejes.
Alturas
Una altura de un triángulo es el segmento desde un vértice perpendicular al lado opuesto. Si ese lado es horizontal, la altura es vertical, y viceversa.
Rectas con un parámetro
Cuando una recta tiene un parámetro $k$, separa en casos: los valores de $k$ que anulan un coeficiente suelen comportarse distinto de todos los demás. Sustituye la recta paralela a un eje en la otra ecuación y mira qué queda.
Ahora prueba con una recta vertical y un parámetro. Esta vez el caso $k = 0$ se comporta distinto.
Un brazo robótico debe moverse desde el punto $P(-2, -5)$ hasta el punto $Q(4, 7)$ siguiendo una trayectoria escalonada compuesta por dos segmentos: primero un…
Un brazo robótico debe moverse desde el punto $P(-2, -5)$ hasta el punto $Q(4, 7)$ siguiendo una trayectoria escalonada compuesta por dos segmentos: primero un movimiento paralelo al eje $X$ y luego un movimiento paralelo al eje $Y$. Escriba las ecuaciones de las rectas que contienen a estos dos segmentos.
Dado el triángulo de vértices $A(-3, 2)$, $B(5, 2)$ y $C(1, 8)$, halle la ecuación de la altura que parte del vértice $C$. ¿A qué eje es paralela esta altura?
Dado el triángulo de vértices $A(-3, 2)$, $B(5, 2)$ y $C(1, 8)$, halle la ecuación de la altura que parte del vértice $C$. ¿A qué eje es paralela esta altura?
Discuta la posición relativa de la recta $r: x = 4$ y la recta $s: 2x + ky - 8 = 0$ en función del parámetro $k$.
Discuta la posición relativa de la recta $r: x = 4$ y la recta $s: 2x + ky - 8 = 0$ en función del parámetro $k$.
Rectángulos alineados con los ejes
Todo rectángulo con sus lados paralelos a los ejes está limitado por dos rectas horizontales y dos verticales. Así se describen en coordenadas las canchas, las pantallas y los planos de una casa.
En la cancha de la figura, el largo de $94$ ft va a lo largo del eje x y el ancho de $50$ ft a lo largo del eje y. Así, los lados son $x = \pm 47$ y $y = \pm 25$.
En un campo de fútbol representamos el centro del campo en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si el campo tiene $100\text{ m}$ de largo (situado sobre el eje $X$) y…
En un campo de fútbol representamos el centro del campo en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si el campo tiene $100\text{ m}$ de largo (situado sobre el eje $X$) y $60\text{ m}$ de ancho (situado sobre el eje $Y$), escriba las ecuaciones de las cuatro líneas rectas que delimitan el terreno de juego.
En el desarrollo de un videojuego, la pantalla tiene una resolución de $1920 \times 1080$ píxeles. Si se sitúa el origen $(0,0)$ en la esquina inferior izquierda,…
En el desarrollo de un videojuego, la pantalla tiene una resolución de $1920 \times 1080$ píxeles. Si se sitúa el origen $(0,0)$ en la esquina inferior izquierda, escriba las ecuaciones de las dos líneas rectas (una horizontal y otra vertical) que dividen la pantalla exactamente en cuatro cuadrantes iguales.
Un cuadrado tiene su centro en el punto $C(3, 3)$ y sus lados son paralelos a los ejes de coordenadas. Si el lado del cuadrado mide $4\text{ u}$, escriba las ecuaciones…
Un cuadrado tiene su centro en el punto $C(3, 3)$ y sus lados son paralelos a los ejes de coordenadas. Si el lado del cuadrado mide $4\text{ u}$, escriba las ecuaciones de las cuatro rectas que contienen a sus lados.
Constantes en situaciones reales
Cuando una cantidad se mantiene igual sin importar lo que haga la otra, su gráfica es una recta horizontal. Cuando una posición es fija mientras la otra coordenada varía, su gráfica es una recta vertical. En una gráfica del tiempo, el tiempo va en el eje x, así que una cantidad constante da $y = k$ con vector director $\langle 1, 0\rangle$.
Si un problema da una temperatura u otra cantidad, usa el número exactamente como se indica y rotula el eje con él. Por ejemplo, un horno que se mantiene a $450^\circ$F durante todo el tiempo $t$ da $T = 450$, una recta horizontal con vector director $\langle 1, 0\rangle$.
En un experimento de química, la temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) se mantiene constante a $35^\circ\text{C}$ a lo largo del tiempo $t$ (en minutos). Representando…
En un experimento de química, la temperatura $T$ (en grados Fahrenheit) se mantiene constante a $35^\circ\text{C}$ a lo largo del tiempo $t$ (en minutos). Representando el tiempo en el eje $X$ y la temperatura en el eje $Y$, escriba la ecuación de la recta y su vector director.
Un sistema de riego por goteo está instalado a lo largo de una tubería paralela al eje $Y$. Sabemos que la tubería debe regar un árbol situado en el punto $A(5, 12)$ y…
Un sistema de riego por goteo está instalado a lo largo de una tubería paralela al eje $Y$. Sabemos que la tubería debe regar un árbol situado en el punto $A(5, 12)$ y que la distancia exacta de la tubería al eje $Y$ es de $5\text{ m}$. Escriba la ecuación de la recta que representa la tubería.
Una fábrica de componentes electrónicos tiene unos costos fijos mensuales de $\$12000\text{ \$}$, independientemente de la cantidad $x$ de piezas fabricadas. Los…
Una fábrica de componentes electrónicos tiene unos costos fijos mensuales de $\$12000\text{ \$}$, independientemente de la cantidad $x$ de piezas fabricadas. Los ingresos vienen dados por la recta $y = 30x$. Escriba la ecuación de la recta de costos fijos en el plano $(x, y)$ y halle el punto exacto donde los ingresos igualan a los costos fijos.
Resumen
Volvamos a la cuadrícula de calles: Maple Street es una recta horizontal como $y = 3$ y la 5th Avenue es una recta vertical como $x = 5$. Son perpendiculares y se encuentran en una sola esquina, $(5, 3)$.