La fórmula del punto medio
Marcus vive en la esquina $(2, 6)$ de un mapa de la ciudad, donde cada unidad es una cuadra. Aaliyah vive en $(8, 2)$. Quieren encontrarse en el lugar que queda exactamente a la mitad entre sus casas. ¿Cuál es esa esquina? Un repetidor colocado a medio camino entre dos torres de celular, el centro de un círculo y el punto donde se cruzan las diagonales de un paralelogramo piden lo mismo: el punto medio de un segmento.
La fórmula del punto medio
En una recta numérica, el número que está a la mitad entre $2$ y $8$ es $5$, el promedio de los dos. En el plano cartesiano haces esto dos veces: una para $x$ y otra para $y$.
¿Por qué funciona? Estar a la mitad en horizontal significa estar a la mitad entre los dos valores de $x$. Estar a la mitad en vertical significa estar a la mitad entre los dos valores de $y$. El punto medio está a la misma distancia de ambos extremos en cada dirección.
Calcule las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, 4)$ y $B(6, 10)$.
Calcule las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, 4)$ y $B(6, 10)$.
Determine las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $P(-4, -6)$ y $Q(2, -8)$.
Determine las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $P(-4, -6)$ y $Q(2, -8)$.
Los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$ forman un segmento en el plano cartesiano. Calcule las coordenadas de su punto medio.
Los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$ forman un segmento en el plano cartesiano. Calcule las coordenadas de su punto medio.
Fracciones y decimales
A la fórmula no le importa qué tipo de números uses. Solo suma con cuidado y divide entre $2$.
Calcule el punto medio del segmento que une los puntos $C\left(\frac{1}{2}, 3\right)$ y $D\left(\frac{3}{2}, -1\right)$.
Calcule el punto medio del segmento que une los puntos $C\left(\frac{1}{2}, 3\right)$ y $D\left(\frac{3}{2}, -1\right)$.
Un dron agrícola está programado para volar en línea recta desde el punto $A(-15, 20)$ hasta el punto $B(45, -10)$ (coordenadas en pies). Si debe soltar una carga de…
Un dron agrícola está programado para volar en línea recta desde el punto $A(-15, 20)$ hasta el punto $B(45, -10)$ (coordenadas en pies). Si debe soltar una carga de fertilizante exactamente en la mitad de su recorrido, ¿en qué coordenadas lo hará?
Dos antenas de telefonía están situadas en las coordenadas $T_1(4.5, 8.2)$ y $T_2(-1.5, 3.4)$ en un plano topográfico a escala. Se quiere instalar un repetidor…
Dos antenas de telefonía están situadas en las coordenadas $T_1(4.5, 8.2)$ y $T_2(-1.5, 3.4)$ en un plano topográfico a escala. Se quiere instalar un repetidor exactamente en el punto medio entre ambas. Calcule las coordenadas exactas donde debe situarse el repetidor.
Cómo comprobar un punto medio y segmentos especiales
Para comprobar si un punto $M$ es el punto medio de $AB$, calcula el punto medio de $AB$ y compáralo. Deben coincidir las dos coordenadas.
Si falla aunque sea una coordenada, la respuesta es no. Por ejemplo, $(-1, 5)$ no es el punto medio de $EF$ porque su $y$ es incorrecta.
Los segmentos especiales son fáciles. En un segmento vertical, los dos extremos tienen la misma $x$, así que el punto medio tiene esa misma $x$. En un segmento horizontal, los dos extremos tienen la misma $y$.
Compruebe analíticamente si el punto $M(-1, 2)$ es el punto medio del segmento de extremos $E(-4, 5)$ y $F(2, -1)$.
Compruebe analíticamente si el punto $M(-1, 2)$ es el punto medio del segmento de extremos $E(-4, 5)$ y $F(2, -1)$.
Dado el segmento de extremos $G(-3, 7)$ y $H(-3, -1)$, halle su punto medio e indique sobre qué eje o recta paralela a los ejes se encuentra dicho segmento.
Dado el segmento de extremos $G(-3, 7)$ y $H(-3, -1)$, halle su punto medio e indique sobre qué eje o recta paralela a los ejes se encuentra dicho segmento.
Cómo hallar un extremo desconocido
A veces conoces un extremo $A$ y el punto medio $M$, y necesitas el otro extremo $B$. Parte de la fórmula y despeja $B$. Como $M = \dfrac{A + B}{2}$, se obtiene $2M = A + B$, y por tanto
$$B = 2M - A \qquad\text{es decir,}\qquad b_1 = 2m_1 - a_1,\quad b_2 = 2m_2 - a_2$$Hay otra manera de verlo. Para ir de $A$ a $M$ te mueves cierta cantidad de unidades a la derecha o a la izquierda y hacia arriba o hacia abajo. Haz el mismo movimiento otra vez y llegarás a $B$.
Algunos problemas piden el "punto simétrico de $A$ respecto al origen". Es la reflexión de $A$ a través del origen (una rotación de $180^\circ$ alrededor de $O$). El origen es el punto medio, así que $A' = 2(0, 0) - A = (-a_1, -a_2)$: solo cambia los dos signos.
El punto medio del segmento $AB$ es $M(3, 5)$. Si el extremo $A$ tiene por coordenadas $(1, 2)$, halle las coordenadas del extremo $B$.
El punto medio del segmento $AB$ es $M(3, 5)$. Si el extremo $A$ tiene por coordenadas $(1, 2)$, halle las coordenadas del extremo $B$.
Halle el punto simétrico de $A(5, -3)$ respecto del origen de coordenadas $O(0,0)$.
Halle el punto simétrico de $A(5, -3)$ respecto del origen de coordenadas $O(0,0)$.
Un rayo láser incide en una lente situada en el punto $L(2, 5)$. Si el punto de origen del láser es $O(-3, 1)$ y la lente actúa como punto de simetría central, calcule…
Un rayo láser incide en una lente situada en el punto $L(2, 5)$. Si el punto de origen del láser es $O(-3, 1)$ y la lente actúa como punto de simetría central, calcule las coordenadas del punto $P$ donde impactará el láser tras atravesar la lente asumiendo que mantiene su trayectoria recta.
Problemas de punto medio con incógnitas
Cuando una coordenada es una letra, plantea una ecuación por cada coordenada, con la fórmula del punto medio de un lado. Luego resuelve cada ecuación con operaciones inversas.
Datos como "está en el eje $x$" o "está en el eje $y$" te dan una coordenada gratis. Un punto en el eje $x$ tiene la forma $(x, 0)$. Un punto en el eje $y$ tiene la forma $(0, y)$.
El punto medio del segmento $AB$ es $M(a, 3)$. Si conocemos las coordenadas de los extremos $A(-2, 5)$ y $B(6, b)$, plantee las ecuaciones correspondientes y calcule los…
El punto medio del segmento $AB$ es $M(a, 3)$. Si conocemos las coordenadas de los extremos $A(-2, 5)$ y $B(6, b)$, plantee las ecuaciones correspondientes y calcule los valores de los parámetros $a$ y $b$.
El segmento $AB$ tiene su punto medio en $M(4, 3)$. Sabiendo que el extremo $A$ se encuentra sobre el eje de abscisas (eje X) y el extremo $B$ se encuentra sobre el eje…
El segmento $AB$ tiene su punto medio en $M(4, 3)$. Sabiendo que el extremo $A$ se encuentra sobre el eje de abscisas (eje X) y el extremo $B$ se encuentra sobre el eje de ordenadas (eje Y), plantee las ecuaciones correspondientes y determine las coordenadas exactas de $A$ y de $B$.
El diseño de un puente atirantado sitúa los anclajes de un cable en los puntos $A(2k, -4)$ y $B(6, k+2)$, siendo $k$ un parámetro desconocido. El punto medio del cable…
El diseño de un puente atirantado sitúa los anclajes de un cable en los puntos $A(2k, -4)$ y $B(6, k+2)$, siendo $k$ un parámetro desconocido. El punto medio del cable debe apoyarse sobre un pilar vertical situado exactamente sobre el eje de abscisas (es decir, su ordenada es $y=0$). Calcule el valor de $k$ y las coordenadas exactas del punto de apoyo.
El punto medio de un diámetro
El centro de un círculo es el punto medio de cada diámetro. Por eso, si conoces los extremos de un diámetro, la fórmula del punto medio te da el centro. El radio es la distancia del centro a cualquiera de los extremos.
Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos $P(-3, 5)$ y $Q(7, -1)$. Calcule las coordenadas del centro de la circunferencia y la medida de su radio.
Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos $P(-3, 5)$ y $Q(7, -1)$. Calcule las coordenadas del centro de la circunferencia y la medida de su radio.
Diagonales de un paralelogramo
Esto te da dos herramientas.
Prueba: calcula los puntos medios de las dos diagonales. Si son el mismo punto, el cuadrilátero es un paralelogramo. Para $P(0, 0)$, $Q(5, 1)$, $R(7, 5)$, $S(2, 4)$, el punto medio de $PR$ es $(3.5, 2.5)$ y el punto medio de $QS$ es $(3.5, 2.5)$. Es el mismo punto, así que $PQRS$ es un paralelogramo.
Hallar un vértice: si conoces tres vértices, halla el punto medio de la diagonal que une dos de ellos y luego usa $2M - (\text{el otro vértice})$.
Compruebe si el cuadrilátero de vértices $A(-1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(4, 0)$ y $D(0, -2)$ es un paralelogramo. Para ello, calcule los puntos medios de sus dos diagonales y…
Compruebe si el cuadrilátero de vértices $A(-1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(4, 0)$ y $D(0, -2)$ es un paralelogramo. Para ello, calcule los puntos medios de sus dos diagonales y verifique si coinciden.
Tres vértices consecutivos de una parcela topográfica con forma de paralelogramo son $A(-3, -1)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 2)$. Utilizando la propiedad geométrica de que las…
Tres vértices consecutivos de una parcela topográfica con forma de paralelogramo son $A(-3, -1)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 2)$. Utilizando la propiedad geométrica de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, calcule las coordenadas del cuarto vértice $D$.
Medianas y segmentos medios de un triángulo
Una mediana de un triángulo es un segmento que va de un vértice al punto medio del lado opuesto. Para hallar su longitud, halla primero el punto medio y luego usa la fórmula de la distancia.
Un segmento que une los puntos medios de dos lados se llama segmento medio (midsegment).
Aquí los puntos medios de $AC$ y $BC$ son $(0, 4)$ y $(3, 4)$. El segmento medio es horizontal (paralelo a la base $AB$) y mide $3$, la mitad de $6$. Como los tres segmentos medios miden la mitad del lado al que son paralelos, el triángulo formado por los tres puntos medios tiene la mitad del perímetro del triángulo original.
Dado el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 5)$ y $C(2, -3)$, halle las coordenadas del punto medio del lado $BC$ y, a continuación, calcule la longitud de la…
Dado el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 5)$ y $C(2, -3)$, halle las coordenadas del punto medio del lado $BC$ y, a continuación, calcule la longitud de la mediana que parte del vértice $A$.
Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, calcule los puntos medios de sus tres lados ($M_1$, $M_2$, $M_3$). A continuación, demuestre…
Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, calcule los puntos medios de sus tres lados ($M_1$, $M_2$, $M_3$). A continuación, demuestre analíticamente calculando las distancias que el perímetro del triángulo formado por los puntos medios es exactamente la mitad del perímetro del triángulo original.
Cómo dividir un segmento en partes iguales
Si tomas puntos medios de puntos medios, cortas un segmento en $4$, luego $8$, luego $16$ partes iguales. El punto medio de $AB$ da las mitades. Los puntos medios de cada mitad dan los cuartos.
Si solo quieres el del medio de los tres puntos de división, es simplemente el punto medio del segmento completo. Una cadena de puntos medios también funciona paso a paso: cuando un problema dice "haz una pausa en el punto medio, luego ve de ahí al siguiente punto y haz una pausa en ese punto medio", calcula un punto medio a la vez y usa el resultado para el siguiente.
En un programa de diseño por computadora, se traza un segmento desde $P_1(-4, -2)$ hasta $P_2(8, 6)$. El diseñador necesita colocar tres puntos en el segmento que lo…
En un programa de diseño por computadora, se traza un segmento desde $P_1(-4, -2)$ hasta $P_2(8, 6)$. El diseñador necesita colocar tres puntos en el segmento que lo dividan en cuatro partes exactamente iguales. Calcule las coordenadas del punto central de esos tres puntos de división.
Un brazo robótico mueve una pieza en línea recta desde el punto $P_1(-8, 4)$ hasta $P_2(2, -6)$, y hace una pausa en el punto medio $M_1$. Luego, mueve la pieza desde…
Un brazo robótico mueve una pieza en línea recta desde el punto $P_1(-8, 4)$ hasta $P_2(2, -6)$, y hace una pausa en el punto medio $M_1$. Luego, mueve la pieza desde $M_1$ hasta $P_3(10, 8)$, haciendo una nueva pausa en el punto medio $M_2$ del segmento $M_1 P_3$. Calcule las coordenadas exactas de $M_2$.
Se desea dividir el segmento de extremos $A(-5, 1)$ y $B(7, 9)$ en cuatro partes de igual longitud utilizando exclusivamente el cálculo de puntos medios. Detalle el…
Se desea dividir el segmento de extremos $A(-5, 1)$ y $B(7, 9)$ en cuatro partes de igual longitud utilizando exclusivamente el cálculo de puntos medios. Detalle el proceso y calcule las coordenadas de los tres puntos que dividen dicho segmento.
Puntos medios con variables y demostraciones
La fórmula del punto medio funciona igual de bien cuando las coordenadas son expresiones. La respuesta es entonces un par de expresiones. Para un punto que se mueve, eso representa una trayectoria.
Para demostrar que un punto medio siempre está sobre cierta recta, no uses números. Calcula el punto medio con letras y luego muestra que sus coordenadas cumplen la ecuación de la recta.
Dos masas puntuales iguales se desplazan de tal forma que en un instante $t$ (en segundos) se encuentran en las posiciones $A(t, 2t-1)$ y $B(3t+2, -t+5)$. Encuentre la…
Dos masas puntuales iguales se desplazan de tal forma que en un instante $t$ (en segundos) se encuentran en las posiciones $A(t, 2t-1)$ y $B(3t+2, -t+5)$. Encuentre la expresión de las coordenadas del centro de masas (punto medio $M$) en función del tiempo. ¿En qué instante $t$ el centro de masas cruza el eje de ordenadas ($x=0$)?
Un segmento en el plano cartesiano tiene por extremos los puntos genéricos $A(a, b)$ y $B(b, a)$, con $a \neq b$. Demuestre algebraicamente que el punto medio de dicho…
Un segmento en el plano cartesiano tiene por extremos los puntos genéricos $A(a, b)$ y $B(b, a)$, con $a \neq b$. Demuestre algebraicamente que el punto medio de dicho segmento siempre pertenece a la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante (cuya ecuación es $y = x$), independientemente de los valores numéricos que tomen $a$ y $b$.
Volvamos al inicio: Marcus en $(2, 6)$ y Aaliyah en $(8, 2)$ se encuentran en $\left(\dfrac{2 + 8}{2}, \dfrac{6 + 2}{2}\right) = (5, 4)$.