El club de teatro vendió 220 boletos para la obra de primavera y recaudó $\$1{,}250$. Los boletos de estudiante cuestan $\$5$ y los de adulto cuestan $\$8$. ¿Cuántos boletos de cada tipo vendieron? Resolver un sistema suele ser la parte fácil. Lo difícil es convertir las oraciones en ecuaciones y decidir cuántas incógnitas necesitas: dos, o tres cuando el problema mezcla tres cantidades.
Plantear: tantas ecuaciones como incógnitas
Volvamos al inicio: el club de teatro vendió 170 boletos de estudiante y 50 de adulto. Cada ecuación es una recta, y la solución es el punto donde las rectas se cruzan.
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La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
En una granja hay gallinas y vacas. Si se cuentan las cabezas de los animales, hay un total de $45$; si se cuentan las patas, hay $140$. ¿Cuántos animales de cada clase…
En una granja hay gallinas y vacas. Si se cuentan las cabezas de los animales, hay un total de $45$; si se cuentan las patas, hay $140$. ¿Cuántos animales de cada clase hay en la granja?
Un hotel de la costa dispone de habitaciones dobles y sencillas. En total hay $50$ habitaciones y $87$ camas. Suponiendo que todas las habitaciones están completas,…
Un hotel de la costa dispone de habitaciones dobles y sencillas. En total hay $50$ habitaciones y $87$ camas. Suponiendo que todas las habitaciones están completas, ¿cuántas habitaciones de cada tipo tiene el hotel?
Todos los problemas de precios y mezclas siguen un mismo patrón: (cantidad) × (precio o tasa) = (valor total). Una ecuación suma las cantidades. Otra suma los valores.
Los cambios porcentuales funcionan igual. Si una cantidad $x$ aumenta 10%, la nueva cantidad es $1.10x$. Si disminuye 20%, la nueva cantidad es $0.80x$.
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En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $\$2,10$. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $\$1,75$. Plantea un…
En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $\$2,10$. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $\$1,75$. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el precio de cada artículo.
En una bodega se mezclan dos tipos de vino, uno de $\$4$ por galón y otro de $\$5,50$ por galón, para obtener un barril de $300$ galones de mezcla que se venderá a…
En una bodega se mezclan dos tipos de vino, uno de $\$4$ por galón y otro de $\$5,50$ por galón, para obtener un barril de $300$ galones de mezcla que se venderá a $\$4,60$ por galón. ¿Cuántos galones de cada tipo de vino se han utilizado para hacer la mezcla?
Una familia destina una parte de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca y otra parte a alimentación. El mes pasado, la suma de estos dos gastos fue de $\$1200…
Una familia destina una parte de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca y otra parte a alimentación. El mes pasado, la suma de estos dos gastos fue de $\$1200$. Este mes, la cuota de la hipoteca ha subido un $5\%$ y el gasto en alimentación ha bajado un $10\%$, siendo el gasto total en estos dos conceptos de $\$1170$. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular cuánto gastaron en cada concepto el mes pasado.
Edades. Cuando pasa el tiempo, todos envejecen la misma cantidad. "Dentro de 12 años" suma 12 a la edad de cada persona.
Dígitos. Un número de dos dígitos con dígito de las decenas $t$ y dígito de las unidades $u$ vale $10t + u$, no $t + u$. Al invertir los dígitos se obtiene $10u + t$.
Geometría. El perímetro da una ecuación lineal, como $2x + 2y = P$. El área ($xy = A$) y las diagonales ($x^2 + y^2 = d^2$) no son lineales. Las trabajarás en la sección de sistemas no lineales más adelante.
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La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que…
La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que tienen actualmente ambos.
El perímetro de un terreno rectangular mide $130$ pies. Se sabe que el largo del terreno mide $15$ pies más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y determina…
El perímetro de un terreno rectangular mide $130$ pies. Se sabe que el largo del terreno mide $15$ pies más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y determina las dimensiones del terreno.
La suma de las tres cifras de un número es $12$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Si se invierte el orden de las cifras, el número…
La suma de las tres cifras de un número es $12$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el original. Plantea un sistema de ecuaciones y averigua de qué número se trata.
Un ciclista realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos pueblos separados por una distancia $d$. A la ida, con el viento a favor, circula a una velocidad constante de…
Un ciclista realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos pueblos separados por una distancia $d$. A la ida, con el viento a favor, circula a una velocidad constante de $30$ mph. A la vuelta, con el viento en contra, circula a $20$ mph. Si el tiempo total empleado en el trayecto completo de ida y vuelta es de $2,5$ horas, plantea un sistema de ecuaciones y halla la distancia entre los dos pueblos y el tiempo empleado en cada trayecto.
Dos llaves de agua llenan un tanque en $6$ horas si se abren a la vez. Si la primera llave tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el tanque por separado, plantea…
Dos llaves de agua llenan un tanque en $6$ horas si se abren a la vez. Si la primera llave tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el tanque por separado, plantea un sistema de ecuaciones (que incluirá fracciones algebraicas) para determinar cuánto tardaría cada llave en llenarlo de forma individual.
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ millas, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$…
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ millas, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas. Si el tren que sale de A hubiera salido $1$ hora antes que el tren de B, se habrían cruzado a $306$ millas de la estación A. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular las velocidades constantes de ambos trenes.
Cuando un problema tiene tres cantidades desconocidas, necesitas un sistema de $3 \times 3$. Lo resuelves por eliminación: lo reduces a un sistema de $2 \times 2$, lo resuelves y luego sustituyes hacia atrás.
Algunos problemas te dan una relación que facilita las cosas, como "el número de A es igual a la suma de B y C" o "A recibe el doble que B". Úsala para sustituir de inmediato y reducir el sistema.
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En una tienda de deportes se venden balones de fútbol, baloncesto y voleibol. El precio de un balón de fútbol es de $\$25$, el de baloncesto $\$30$ y el de voleibol…
En una tienda de deportes se venden balones de fútbol, baloncesto y voleibol. El precio de un balón de fútbol es de $\$25$, el de baloncesto $\$30$ y el de voleibol $\$20$. Un club ha comprado $40$ balones por un total de $\$1030$. Sabiendo que el número de balones de fútbol comprados es igual a la suma de los de baloncesto y voleibol, plantea un sistema de tres ecuaciones y determina cuántos balones de cada deporte se han adquirido.
Una empresa reparte sus ganancias anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $\$4000…
Una empresa reparte sus ganancias anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $\$4000$ más que el socio B. Si la ganancia total a repartir es de $\$52000$, plantea un sistema de tres ecuaciones lineales y calcula la cantidad que recibe cada socio.
En una competición deportiva, las medallas de oro, plata y bronce otorgan $5$, $3$ y $1$ punto respectivamente. Un equipo ha conseguido un total de $25$ medallas y $75$…
En una competición deportiva, las medallas de oro, plata y bronce otorgan $5$, $3$ y $1$ punto respectivamente. Un equipo ha conseguido un total de $25$ medallas y $75$ puntos. Sabiendo que el número de medallas de plata supera en $1$ al número de medallas de oro, plantea un sistema de ecuaciones y averigua cuántas medallas de cada tipo ha ganado el equipo.
Los sistemas con tres incógnitas suelen esconder decimales y fracciones. Dos hábitos los hacen mucho más fáciles:
Las ecuaciones deben comparar el mismo tipo de cantidad. En una mezcla, compara la cantidad de sustancia pura (litros, mL, onzas), no los porcentajes.
Elimina primero los decimales y las fracciones. Multiplica por 10 o por 100 para quitar decimales, o por el mínimo común denominador para quitar fracciones. Por ejemplo, toma $\dfrac{x}{20} + \dfrac{y}{10} + \dfrac{z}{8} = 10$ y multiplica ambos lados por 40: obtienes $2x + 4y + 5z = 400$.
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En un laboratorio de química se dispone de tres soluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $40\%$. Se quieren obtener $100$ ml de una nueva…
En un laboratorio de química se dispone de tres soluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $40\%$. Se quieren obtener $100$ ml de una nueva solución al $25\%$. Si se utiliza la misma cantidad de volumen de la solución al $10\%$ que de la del $20\%$, ¿qué volumen de cada solución se debe mezclar?
Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: básico, medio y avanzado. La producción diaria total es de $400$ unidades. El costo de fabricación es de $\$300…
Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: básico, medio y avanzado. La producción diaria total es de $400$ unidades. El costo de fabricación es de $\$300$ para el básico, $\$500$ para el medio y $\$800$ para el avanzado, con un costo total diario de $\$195000$. Si la empresa decide aumentar la producción del modelo básico en un $20\%$ y reducir la del modelo avanzado en un $10\%$, la producción total aumentaría en $15$ unidades. Plantea un sistema de ecuaciones de tres incógnitas y determina la producción inicial de cada modelo.
Una aleación está compuesta por oro, plata y cobre. El peso total de una pieza de esta aleación es de $120$ onzas. Se sabe que el peso del oro y la plata juntos supera…
Una aleación está compuesta por oro, plata y cobre. El peso total de una pieza de esta aleación es de $120$ onzas. Se sabe que el peso del oro y la plata juntos supera en $40$ onzas al peso del cobre. Al sumergir la pieza en agua, esta pierde $10$ onzas de su peso aparente por el empuje hidrostático. Si se sabe que la pérdida de peso en el agua para el oro puro es de $1/20$ de su peso, para la plata de $1/10$ y para el cobre de $1/8$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuántas onzas de cada metal contiene la pieza.
El área, las diagonales y el teorema de Pitágoras dan ecuaciones que no son lineales. La estrategia es la misma de antes, pero la sustitución lleva a una ecuación cuadrática.
La gráfica muestra por qué hay dos soluciones: la hipérbola $y = \dfrac{48}{x}$ y la recta $y = 14 - x$ se cruzan en $(6, 8)$ y $(8, 6)$.
Cajas de cartón. Si cortas un cuadrado de lado $c$ en cada esquina y doblas hacia arriba los lados, obtienes una caja de altura $c$. Cada lado de la hoja pierde $2c$, porque cortas en ambos extremos.
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Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ pies cuadrados y la longitud de su diagonal es $130$ pies. Plantea un sistema de…
Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ pies cuadrados y la longitud de su diagonal es $130$ pies. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal para calcular el largo y el ancho del campo.
Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su perímetro es de $60$ pulgadas y que la altura trazada sobre la hipotenusa mide $12$…
Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su perímetro es de $60$ pulgadas y que la altura trazada sobre la hipotenusa mide $12$ pulgadas. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal de tres incógnitas (catetos e hipotenusa) para resolverlo.
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón, cortando cuadrados de $5$ pulgadas de lado en cada esquina y doblando los bordes…
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón, cortando cuadrados de $5$ pulgadas de lado en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. El largo de la lámina original es el doble que el ancho. Si el volumen de la caja resultante debe ser de $1500$ pulgadas cúbicas, plantea la ecuación o sistema necesario y determina las dimensiones de la lámina de cartón original.
Antes de resolver un problema por completo, pregúntate si tiene solución y si tiene solo una.
Problemas no lineales. Después de sustituir, mira la ecuación cuadrática. Su discriminante $b^2 - 4ac$ te dice cuántas soluciones reales hay: dos si es positivo, una si es cero y ninguna si es negativo. Una cerca a lo largo de un río o de una pared reemplaza un lado del rectángulo, así que la ecuación del perímetro tiene solo tres lados.
Sistemas con un parámetro. Algunos modelos contienen una constante desconocida $k$, como la distribución del tráfico en tres rutas. Para discutir el sistema, resuélvelo con la letra dentro, halla qué valores de $k$ causan problemas y prueba esos valores por separado.
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Un agricultor quiere cercar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner cerca en el lado del río. Dispone de exactamente $400$…
Un agricultor quiere cercar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner cerca en el lado del río. Dispone de exactamente $400$ pies de cerca. Sabiendo que el área cercada debe ser de $20000$ pies cuadrados, plantea un sistema de ecuaciones para encontrar las dimensiones del campo y discute justificadamente si existe una única solución para el problema.
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:…
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:
$ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + kz = 250 \\ x + 2y + 3z = 160 \end{cases} $
Determina para qué valores del parámetro $k$ el modelo tiene una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución, e interpreta qué significa físicamente que el sistema resulte incompatible.