Cómo resolver otros tipos de ecuaciones
Resolver $x^2 - 5x + 6 = 0$ te sale con los ojos cerrados. Pero ¿y $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, o $\sqrt{x+7} = x + 1$, o $2^x = 5$? Ninguna parece una cuadrática, y sin embargo cada una es una ecuación cuadrática (o lineal) disfrazada. En esta sección aprenderás a descubrir el disfraz, a quitarlo con el truco adecuado y a pagar el "impuesto" que cobran algunos trucos: verificar si hay soluciones que en realidad no funcionan.
Ecuaciones cuadráticas en forma
¿Por qué funciona? Porque $x^4 = (x^2)^2$. Si le das un nombre nuevo, $t$, a $x^2$, la cuarta potencia se vuelve un cuadrado y la ecuación se parece a las que ya conoces.
La misma idea sirve con otros exponentes. Para $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$, usa $t = x^3$: $t^2 - 7t - 8 = (t - 8)(t + 1) = 0$, así que $x^3 = 8$ o $x^3 = -1$, de donde $x = 2$ o $x = -1$. Aquí un $t$ negativo sí sirve, porque un cubo puede ser negativo.
Las ecuaciones cuadráticas en forma suelen surgir de la geometría.
Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada encontrando todas sus soluciones reales: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Resuelve la siguiente ecuación bicuadrada encontrando todas sus soluciones reales:
$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
La diagonal de un rectángulo mide $10$ pulgadas y su área es de $48\text{ cm}^2$. Plantea una ecuación bicuadrada para hallar la longitud de sus lados y resuélvela.
La diagonal de un rectángulo mide $10$ pulgadas y su área es de $48\text{ cm}^2$. Plantea una ecuación bicuadrada para hallar la longitud de sus lados y resuélvela.
Ecuaciones polinomiales de grado 3 o mayor
No hay una "fórmula cúbica" sencilla que puedas usar en clase, así que se factoriza. El plan: pasa todo a un lado para que el otro quede en $0$, halla un cero, divídelo y sigue hasta llegar a factores de grado 1 o 2.
La gráfica de $y = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ cruza el eje $x$ en cada solución real de $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$. Vamos a hallarlas de forma exacta.
Las ecuaciones polinomiales también surgen de problemas con enunciado y de construir un polinomio al revés a partir de sus ceros.
Factoriza el polinomio y resuelve la ecuación de tercer grado: $x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$
Factoriza el polinomio y resuelve la ecuación de tercer grado:
$x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una cartulina rectangular de $20 \times 15$ pulgadas, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y…
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una cartulina rectangular de $20 \times 15$ pulgadas, recortando cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y doblando los bordes. Si el volumen de la caja debe ser de $378\text{ cm}^3$, plantea la ecuación polinómica de tercer grado correspondiente y halla el valor de $x$, sabiendo que es un número entero.
Un número PIN de una tarjeta está formado por cuatro dígitos enteros positivos, consecutivos y en orden creciente. Si formamos un polinomio mónico $P(x)$ de grado $4$…
Un número PIN de una tarjeta está formado por cuatro dígitos enteros positivos, consecutivos y en orden creciente. Si formamos un polinomio mónico $P(x)$ de grado $4$ cuyas raíces sean exactamente esos cuatro dígitos, resulta que su término independiente es igual a $24$. Determina el polinomio $P(x)$ desarrollado y el número PIN de cuatro dígitos.
Ecuaciones racionales
Una ecuación racional tiene la incógnita en un denominador. El truco es eliminar las fracciones multiplicando por el mínimo común denominador (mcd), lo que deja una ecuación polinomial.
Las soluciones de $\dfrac{5}{x} - \dfrac{6}{x^2} = 1$ son las coordenadas $x$ donde la curva corta la recta $y = 1$.
Halla el valor de $x$ que verifica la siguiente ecuación con la incógnita en el denominador: $\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$
Halla el valor de $x$ que verifica la siguiente ecuación con la incógnita en el denominador:
$\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$
Resuelve la siguiente ecuación racional reduciéndola a una ecuación polinómica: $\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 3$
Resuelve la siguiente ecuación racional reduciéndola a una ecuación polinómica:
$\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 3$
Ecuaciones racionales en problemas con enunciado
Dos tipos de problemas llevan a ecuaciones racionales.
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Problemas de trabajo. Si un trabajo toma $x$ horas hecho por una sola persona, esa persona hace $\dfrac{1}{x}$ del trabajo por hora. Cuando dos trabajadores (o dos tuberías) trabajan juntos, sus tasas se suman.
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Problemas de viaje. Tiempo $= \dfrac{\text{distancia}}{\text{rapidez}}$, así que una diferencia de tiempos da una ecuación con fracciones.
Dos mangueras llenan un tanque en $6$ horas trabajando juntas. Si la primera manguera tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el tanque por sí sola, ¿cuánto tarda…
Dos mangueras llenan un tanque en $6$ horas trabajando juntas. Si la primera manguera tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el tanque por sí sola, ¿cuánto tarda cada una? Plantea y resuelve la ecuación racional correspondiente.
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60$ millas, a una velocidad constante. En el viaje de vuelta, debido al viento en contra, su velocidad…
Un ciclista viaja de un pueblo A a un pueblo B, separados por $60$ millas, a una velocidad constante. En el viaje de vuelta, debido al viento en contra, su velocidad disminuye en $5$ mph, por lo que tarda $1$ hora más en realizar el mismo recorrido. Plantea la ecuación racional que modeliza la situación y determina la velocidad de ida.
Ecuaciones radicales
En una ecuación radical (en algunos problemas se le llama ecuación irracional) la incógnita está bajo una raíz. Para eliminar la raíz elevas ambos lados a una potencia, pero esa jugada puede crear soluciones falsas, así que la verificación final es obligatoria.
Cuando hay dos radicales, aísla uno de ellos, eleva al cuadrado y te quedará un solo radical.
Los radicales también aparecen cuando usas el teorema de Pitágoras para escribir una distancia.
Encuentra las soluciones reales de la ecuación irracional, comprobando la validez de las mismas: $\sqrt{2x+5} - x = 1$
Encuentra las soluciones reales de la ecuación irracional, comprobando la validez de las mismas:
$\sqrt{2x+5} - x = 1$
Resuelve la siguiente ecuación irracional con dos radicales y comprueba la solución obtenida: $\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$
Resuelve la siguiente ecuación irracional con dos radicales y comprueba la solución obtenida:
$\sqrt{x+4} + \sqrt{x-1} = 5$
Una torre de telecomunicaciones está situada en la orilla recta de un río. Se quiere tender un cable en línea recta desde un punto $P$ de la orilla hasta la torre, y…
Una torre de telecomunicaciones está situada en la orilla recta de un río. Se quiere tender un cable en línea recta desde un punto $P$ de la orilla hasta la torre, y otro cable desde $P$ hasta una cabaña situada a $5$ millas río abajo de la torre y a $1$ millas tierra adentro. Si la longitud total del cable utilizado es de $6$ millas, plantea una ecuación irracional y determina a qué distancia de la torre se encuentra el punto $P$.
Ecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto $|A|$ es la distancia de $A$ a $0$ en la recta numérica. (En algunos problemas se les llama ecuaciones con módulo.) La distancia nunca es negativa, y eso lo controla todo.
Si la expresión de adentro es una cuadrática, separa primero y luego resuelve cada cuadrática.
Los valores absolutos anidados se resuelven de afuera hacia adentro.
Halla los valores de $x$ que cumplen la ecuación con valor absoluto: $|2x - 5| = 7$
Halla los valores de $x$ que cumplen la ecuación con valor absoluto:
$|2x - 5| = 7$
Encuentra todos los valores reales de $x$ que verifican la siguiente ecuación con valor absoluto cuadrático: $|x^2 - 5x + 4| = 2$
Encuentra todos los valores reales de $x$ que verifican la siguiente ecuación con valor absoluto cuadrático:
$|x^2 - 5x + 4| = 2$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación con valor absoluto anidado: $||x - 2| - 3| = 1$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación con valor absoluto anidado:
$||x - 2| - 3| = 1$
Ecuaciones exponenciales
En una ecuación exponencial la incógnita está en un exponente. Estas son las estrategias principales.
Cuando las bases son distintas, factoriza la potencia común en cada lado.
Determina el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación exponencial: $3^{2x+1} - 27 = 0$
Determina el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación exponencial:
$3^{2x+1} - 27 = 0$
Un cultivo de bacterias crece según una ley exponencial. Para determinar el instante crítico de un experimento, un biólogo debe resolver la ecuación…
Un cultivo de bacterias crece según una ley exponencial. Para determinar el instante crítico de un experimento, un biólogo debe resolver la ecuación $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Halla los valores de $x$ aplicando un cambio de variable.
Resuelve la siguiente ecuación exponencial que involucra bases distintas, extrayendo factor común en cada miembro: $2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$
Resuelve la siguiente ecuación exponencial que involucra bases distintas, extrayendo factor común en cada miembro:
$2^{x+1} + 2^{x-1} = 3^{x} + 3^{x-2}$
Cuando las bases no coinciden: logaritmos
A veces no puedes reescribir ambos lados con la misma base. Por ejemplo, ¿cuánto tarda $\$1{,}000$ en convertirse en $\$1{,}500$ con un interés de $5\%$? Necesitas la inversa de una exponencial: el logaritmo.
Una muestra de material radiactivo se desintegra de modo que la cantidad restante $M(t)$ en onzas tras $t$ años obedece a la expresión $M(t) = 200 \cdot e^{-0.05t}$.…
Una muestra de material radiactivo se desintegra de modo que la cantidad restante $M(t)$ en onzas tras $t$ años obedece a la expresión $M(t) = 200 \cdot e^{-0.05t}$. ¿Cuántos años deben transcurrir para que queden exactamente $50$ onzas de material? Expresa el resultado exacto usando logaritmos naturales.
Ecuaciones logarítmicas
En una ecuación logarítmica la incógnita está dentro de un logaritmo. Tu meta: obtener un solo logaritmo en cada lado y luego convertir a forma exponencial o igualar los argumentos.
Los logaritmos también permiten comparar tamaños en una escala. La energía $E$ de un terremoto cumple $\log E = 11.8 + 1.5M$, donde $M$ es la magnitud en la escala de Richter. Supón que el terremoto 2 libera $10^k$ veces la energía del terremoto 1. Entonces $\log E_2 = k + \log E_1$, porque $\log(10^k E_1) = k + \log E_1$. Al restar las dos ecuaciones de magnitud se obtiene $1.5(M_2 - M_1) = k$.
Aplica las propiedades de los logaritmos para resolver la ecuación: $\log_2(x+3) + \log_2(x-3) = 4$
Aplica las propiedades de los logaritmos para resolver la ecuación:
$\log_2(x+3) + \log_2(x-3) = 4$
Aplica las propiedades de los logaritmos para agrupar los términos y resuelve la ecuación: $\log(x+1) - \log(x-1) = \log(x+4) - \log(x+1)$
Aplica las propiedades de los logaritmos para agrupar los términos y resuelve la ecuación:
$\log(x+1) - \log(x-1) = \log(x+4) - \log(x+1)$
La energía $E$ (en ergios) liberada por un terremoto se relaciona con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la ecuación $\log E = 11.8 + 1.5M$. Si un…
La energía $E$ (en ergios) liberada por un terremoto se relaciona con su magnitud $M$ en la escala de Richter mediante la ecuación $\log E = 11.8 + 1.5M$. Si un terremoto libera $1000$ veces más energía que otro cuya magnitud es de $4.2$, ¿cuál es la magnitud del primer terremoto en la escala de Richter?
Ecuaciones con un parámetro
A veces una ecuación contiene una letra como $k$, y la pregunta es cuántas soluciones reales tiene para cada valor de $k$. Reduce a una cuadrática con una sustitución y luego analiza las raíces con el discriminante y con la suma y el producto de las raíces.
Mueve $k$ y cuenta cuántas veces la gráfica de $y = x^4 - 4x^2 + k$ toca o cruza el eje $x$. Ese es el número de soluciones reales. Vamos a explicar lo que ves.
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación bicuadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales distintas. Justifica razonadamente tu…
Determina para qué valores del parámetro $k$ la ecuación bicuadrada $x^4 - kx^2 + 9 = 0$ tiene exactamente dos soluciones reales distintas. Justifica razonadamente tu respuesta.
Donde se cruzan dos gráficas
Un sistema con dos curvas, como $y = \sqrt{2x + 3}$ y $y = x$, pregunta dónde se intersecan las gráficas. Como ambas ecuaciones dicen "$y = $", iguala los lados derechos. Eso da una ecuación en $x$ de un tipo que ya conoces. Luego sustituye para hallar $y$ y verifica el punto en ambas ecuaciones originales.
Resuelve el siguiente sistema no lineal que modeliza el cruce de dos trayectorias en el plano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina los puntos de…
Resuelve el siguiente sistema no lineal que modeliza el cruce de dos trayectorias en el plano cartesiano: $y = \sqrt{x+2}$ e $y = |x|$. Determina los puntos de intersección algebraicamente.
Volvamos al comienzo: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ es una cuadrática en $t = x^2$, $\sqrt{x + 7} = x + 1$ se vuelve una cuadrática al elevar al cuadrado, y $2^x = 5$ se resuelve con un logaritmo. El disfraz siempre se quita con una sustitución, una potencia o un logaritmo, y el precio es el mismo cada vez: deshacer la sustitución y luego verificar las respuestas en la ecuación original.