Polinomios
Estás haciendo cajas de regalo para una venta de pasteles de la escuela con una lámina de cartón de 18 pulgadas por 12 pulgadas. Cortas un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y doblas los lados hacia arriba. ¿Cuánto cabe en la caja? El volumen resulta ser un polinomio en $x$, y las herramientas de esta página (dividir, factorizar, hallar ceros) son justo lo que necesitas para responder preguntas sobre él. Volveremos a la caja al final.
Polinomios y sus operaciones
Un polinomio en $x$ es una suma de términos $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$. Los números $a_i$ son los coeficientes y los exponentes son números enteros no negativos. El grado es el mayor exponente con coeficiente distinto de cero, $a_n$ es el coeficiente principal y $a_0$ es el término constante. Escribir los términos de mayor a menor grado es la forma estándar.
Para sumar o restar polinomios, combina los términos semejantes (la misma potencia de $x$). Para multiplicar, usa la propiedad distributiva: cada término del primer polinomio por cada término del segundo, y luego combina los términos semejantes.
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado…
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
División larga de polinomios
Dividir un polinomio $P(x)$ entre un polinomio $d(x)$ funciona como la división larga con números. Obtienes un cociente $q(x)$ y un residuo $r(x)$ (algunos problemas escriben el cociente como $C(x)$), y
$$P(x) = d(x)\cdot q(x) + r(x),$$donde el grado de $r(x)$ es menor que el grado de $d(x)$ (o $r(x)=0$).
Cuando el dividendo contiene un parámetro como $k$, llévalo en la división como cualquier otro coeficiente. Entonces el residuo contendrá $k$, y las condiciones sobre el residuo (por ejemplo, "debe ser una constante") te dan una ecuación para $k$.
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:…
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:
$(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) : (x^2 - x + 1)$
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un…
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un número constante (es decir, un polinomio de grado 0). ¿Cuál es el valor exacto de ese resto?
División sintética
Cuando el divisor tiene la forma $x-a$, no necesitas la división larga completa. La división sintética usa solo los coeficientes y el número $a$, y convierte las restas en sumas. Algunos problemas llaman a este atajo regla de Ruffini; es el mismo método.
Utiliza la regla de Ruffini para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indica el cociente y el resto.
Utiliza la regla de Ruffini para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indica el cociente y el resto.
El teorema del residuo y el teorema del factor
Antes de dividir, conviene preguntarse si vale la pena hacer la división. Dos teoremas responden eso.
La gráfica muestra qué es un cero: $P(a)=0$ justo donde la curva toca el eje $x$.
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división…
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división completa.
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los…
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Factorización de polinomios
Para factorizar por completo, sigue este orden:
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Saca el máximo común divisor (MCD).
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Busca un patrón de producto notable.
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Prueba la factorización de trinomios, la agrupación o una sustitución (forma cuadrática).
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Si nada funciona, busca un cero y usa el teorema del factor (siguiente sección).
Extrae el factor común y utiliza las identidades notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Extrae el factor común y utiliza las identidades notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Factoriza completamente el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de su forma factorizada, indica todas sus raíces reales.
Factoriza completamente el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de su forma factorizada, indica todas sus raíces reales.
Cómo hallar ceros y factorizar polinomios de grado mayor
Cuando no aparece ningún patrón, puedes buscar ceros. Si un polinomio tiene coeficientes enteros, el teorema de las raíces racionales dice que cualquier cero racional $\tfrac{p}{q}$ cumple que $p$ divide al término constante y $q$ divide al coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es $1$, los ceros racionales son enteros que dividen al término constante.
El plan:
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Haz una lista de los divisores del término constante (con $\pm$).
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Prueba los candidatos con el teorema del residuo o con la división sintética hasta que uno dé residuo $0$.
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Usa el cociente, que tiene grado menor, y repite. Termina con factorización o con la fórmula cuadrática.
Para resolver una ecuación polinómica, primero pasa todo a un lado para que quede $P(x)=0$ y luego factoriza.
Si un factor cuadrático no se factoriza fácilmente, usa la fórmula cuadrática. Cuando el discriminante $b^2-4ac$ es negativo, no hay ceros reales (los ceros complejos $a\pm bi$ los viste en Matemáticas Integradas II).
Por ejemplo, $x^4-81=(x-3)(x^3+3x^2+9x+27)$. También es igual a $(x^2-9)(x^2+9)$, lo que muestra cómo una misma expresión se puede factorizar de más de una manera.
Un envase cilíndrico se inscribe dentro de una esfera de radio $R = 10 \text{ cm}$. El volumen del cilindro en función de su semialtura $x$ es…
Un envase cilíndrico se inscribe dentro de una esfera de radio $R = 10 \text{ cm}$. El volumen del cilindro en función de su semialtura $x$ es $V(x) = 2\pi x (100 - x^2)$. Se desea que el volumen sea exactamente $768\pi \text{ cm}^3$. Formula la ecuación polinómica $P(x) = 0$, encuentra su raíz entera utilizando la regla de Ruffini y factoriza el polinomio resultante para hallar todas las posibles semialturas $x$ que cumplen la condición geométrica.
Demuestra, utilizando el Teorema del Factor, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n \ge 1$. A…
Demuestra, utilizando el Teorema del Factor, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n \ge 1$. A continuación, aplica esta propiedad para extraer la raíz evidente y factorizar completamente el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ en el conjunto de los números reales.
Simplificación y multiplicación de expresiones racionales
Una expresión racional es un cociente de dos polinomios. Se comporta como una fracción de números: la simplificas cancelando factores comunes. Todo valor de $x$ que hace $0$ un denominador es un valor excluido, y sigue excluido aun después de simplificar.
Para multiplicar, factoriza todo primero y luego cancela cualquier factor del numerador con cualquier factor del denominador. Para dividir, multiplica por el recíproco de la segunda expresión.
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica, factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Simplifica al máximo la siguiente fracción algebraica, factorizando previamente el numerador y el denominador:
$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
Realiza la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas y simplifica el resultado:
$\frac{2x}{x-1} \cdot \frac{x^2 - 1}{4x^2}$
El área de una ventana de diseño especial en un edificio viene dada por la expresión $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Simplifica esta fracción algebraica factorizando…
El área de una ventana de diseño especial en un edificio viene dada por la expresión $A(x) = \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Simplifica esta fracción algebraica factorizando previamente el numerador (diferencia de cubos) y el denominador. Luego, evalúa el área cuando $x = 3$ pies.
Suma, resta y fracciones complejas
Para sumar o restar expresiones racionales, halla el mínimo común denominador (MCD): factoriza cada denominador y toma cada factor el mayor número de veces que aparece. Reescribe cada fracción con ese denominador, combina los numeradores y simplifica.
Una fracción compleja tiene fracciones en su numerador o en su denominador. Trata la barra de fracción grande como una división: multiplica por el recíproco, factoriza y cancela.
Cuando un problema te pide hallar $x$ para que una expresión simplificada sea igual a un número, plantea la ecuación, elimina el denominador y resuelve. Revisa el discriminante si la ecuación resulta cuadrática: puede no tener solución real.
En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ viene dada por la siguiente expresión de fracciones algebraicas:…
En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ viene dada por la siguiente expresión de fracciones algebraicas:
$R_{eq}(x) = \frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x-1} + \frac{x}{x+1}$
Realiza las operaciones indicadas, calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores y simplifica la fracción resultante al máximo. ¿Cuál es el valor de la resistencia si $x = 3 \ \Omega$?
En el diseño de un mecanismo de engranajes, la relación de transmisión se modela mediante la siguiente expresión algebraica compleja:…
En el diseño de un mecanismo de engranajes, la relación de transmisión se modela mediante la siguiente expresión algebraica compleja:
$T(x) = \frac{\frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}}{\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 2x + 4}}$
Simplifica $T(x)$ al máximo factorizando previamente todos los numeradores y denominadores. ¿Qué problema matemático (y por tanto físico) ocurre con la relación de transmisión si $x = 2$?
Dada la fracción algebraica que modela la relación señal-ruido en una red de telecomunicaciones: $S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$…
Dada la fracción algebraica que modela la relación señal-ruido en una red de telecomunicaciones:
$S(x) = \frac{x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12}{x^3 - 5x^2 + 2x + 8}$
Factoriza completamente el numerador y el denominador utilizando la regla de Ruffini y la resolución de ecuaciones de segundo grado. Simplifica la fracción al máximo y determina, si existe, para qué valor real de $x$ la fracción simplificada es igual a $3$.
El teorema del binomio
Expandir $(a+b)^n$ a mano se vuelve largo muy rápido. Los coeficientes siguen un patrón, el triángulo de Pascal: cada número es la suma de los dos números que tiene encima.
Desarrolla completamente la potencia del binomio $(2x - y)^4$ utilizando la fórmula del Binomio de Newton o el triángulo de Pascal.
Desarrolla completamente la potencia del binomio $(2x - y)^4$ utilizando la fórmula del Binomio de Newton o el triángulo de Pascal.
En un estudio de combinaciones genéticas, la distribución de cierta probabilidad está relacionada con el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$.…
En un estudio de combinaciones genéticas, la distribución de cierta probabilidad está relacionada con el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$. Encuentra el valor numérico exacto del término independiente (el término que no depende de $x$) en este desarrollo.
En el desarrollo del binomio $(x + 2)^n$, se sabe que el coeficiente del término que contiene $x^{n-2}$ es exactamente $180$. Plantea la ecuación correspondiente…
En el desarrollo del binomio $(x + 2)^n$, se sabe que el coeficiente del término que contiene $x^{n-2}$ es exactamente $180$. Plantea la ecuación correspondiente utilizando la fórmula del Binomio de Newton, halla el valor del número natural $n$ y calcula el término independiente de dicho desarrollo.
Polinomios como modelos de volumen
Ahora volvamos a la caja de la venta de pasteles. Los problemas de geometría suelen producir polinomios: longitudes como $18-2x$ se multiplican para dar un área o un volumen. La receta es: nombra cada dimensión en términos de $x$, multiplica, expande y di qué valores de $x$ tienen sentido.
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de…
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de lado $x$ en cada esquina y pliegan los bordes hacia arriba. Expresa el volumen $V(x)$ de la caja como un polinomio en forma estándar (desarrollado). Después, calcula el volumen exacto si se recortan cuadrados de $x = 4 \text{ cm}$.
En un proyecto de diseño 3D, se parte de un cubo macizo de arista $x+2 \text{ cm}$. Se perfora su interior extrayendo otro cubo concéntrico de arista $x-1 \text{ cm}$.…
En un proyecto de diseño 3D, se parte de un cubo macizo de arista $x+2 \text{ cm}$. Se perfora su interior extrayendo otro cubo concéntrico de arista $x-1 \text{ cm}$. Expresa el volumen de material restante como un polinomio en forma estándar (desarrollando los binomios al cubo y simplificando). Después, halla el valor de $x$ si se sabe que el volumen de material restante es exactamente de $117 \text{ cm}^3$.
Cómo hallar coeficientes desconocidos
A menudo un polinomio modelo tiene coeficientes desconocidos. Cada dato que te dan se convierte en una ecuación:
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"El valor en $x=c$ es $v$" significa $P(c)=v$.
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"El residuo al dividir entre $x-c$ es $v$" significa $P(c)=v$ (teorema del residuo).
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"$P$ es divisible entre $x-c$" significa $P(c)=0$ (teorema del factor).
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"$P$ tiene ceros $r_1, r_2, \dots$" significa $P(x)=k(x-r_1)(x-r_2)\cdots$ para alguna constante $k$.
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"$P$ es divisible entre $(x-c)^2$" significa $P(x)=(x-c)^2\,q(x)$ para algún polinomio $q$.
Necesitas tantas condiciones independientes como incógnitas.
También puedes resolver el último ejemplo como un sistema: $P(1)=0$, el cociente de la división sintética entre $x-1$ también debe ser $0$ en $x=1$, y $P(2)=3$. Ambos métodos dan la misma respuesta, y la forma factorizada suele ser más corta.
Las ganancias diarias de una empresa, en miles de dólares, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7).…
Las ganancias diarias de una empresa, en miles de dólares, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7). Se sabe que el día 1 la ganancia es cero. Además, al dividir $B(x)$ entre $x-2$, el resto es $2$. Calcula los parámetros $a$ y $b$, y factoriza el polinomio para determinar en qué otro día de la semana la ganancia vuelve a ser exactamente cero.
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha…
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha comprobado que a las temperaturas $t = 1 \ ^\circ\text{C}$, $t = 2 \ ^\circ\text{C}$ y $t = -1 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es nula. Sin embargo, a $t = 0 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es de $2 \text{ mm}$. Determina el valor de los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio.
La curva de flexión de una viga sometida a carga se modela con el polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que el polinomio es exactamente divisible por…
La curva de flexión de una viga sometida a carga se modela con el polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que el polinomio es exactamente divisible por $(x-1)^2$. Además, al dividirlo por $x+1$ el resto es $-8$, y al dividirlo por $x-2$ el resto es $4$. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y halla los valores de $a, b, c$ y $d$.