Resolución de desigualdades lineales con una variable

Resolución despejando la variable

Puedes representar un conjunto solución en la recta numérica. Un círculo cerrado significa que el extremo está incluido ($\le$ o $\ge$, se escribe con corchete). Un círculo abierto significa que no está incluido ($<$ o $>$, se escribe con paréntesis). El infinito siempre lleva paréntesis.

Para comprobar si un número pertenece al conjunto solución, sustitúyelo en la desigualdad original y mira si la afirmación es verdadera. Para $4x - 7 \ge 2x + 1$, prueba $x = 5$: $13 \ge 11$ es verdadero, así que 5 está en el conjunto solución. Prueba $x = 0$: $-7 \ge 1$ es falso, así que 0 no está.

Paréntesis, fracciones y decimales

Primero simplifica la desigualdad. Aplica la propiedad distributiva para quitar paréntesis y luego combina términos semejantes en cada lado. Si hay fracciones, multiplica todos los términos por el mínimo común denominador. Ese denominador común es positivo, así que el signo no se invierte en ese paso. Con decimales, multiplica por 10, 100, etc., para convertirlos en números enteros.

Cuando la variable desaparece

A veces los términos con $x$ se cancelan. Entonces te queda una afirmación hecha solo de números, que es siempre verdadera o siempre falsa.

Cada paso de estas soluciones convierte la desigualdad en una equivalente (con las mismas soluciones). Así se justifica una respuesta de forma analítica: se enumeran los pasos y se explica por qué cada uno está permitido.

Traducir palabras a desigualdades

La mayoría de los problemas reales te dan una oración, no un símbolo. Aprende las frases clave:

"Entre 48 y 76 inclusive" significa dos condiciones a la vez: $48 \le x \le 76$.

Sigue cuatro pasos: (1) define la variable, (2) traduce la oración a una desigualdad, (3) resuélvela, (4) interpreta la respuesta en contexto (unidades, números enteros, valores imposibles).

Comparar planes, promedios y mezclas

Tres situaciones más aparecen una y otra vez. Para dos planes, escribe cada costo como una expresión en la misma variable y luego pregunta cuál es menor. Para un promedio, recuerda que el promedio de $n$ números es su suma dividida entre $n$. Para mezclas e interés, la cantidad de sustancia es porcentaje × total.

Aquí tienes la comparación de los servicios de transporte como una gráfica. Donde una recta está por debajo de la otra, ese plan es más barato.

Cuando un plan cobra por unidades adicionales (por ejemplo, gigabytes extra), el costo extra es tarifa × (cantidad usada − cantidad incluida), y solo se aplica cuando la cantidad usada supera la incluida.

Los problemas de interés funcionan igual. Si repartes $\$5{,}000$ entre una cuenta al 3% y otra al 5%, y $x$ va a la cuenta del 5%, entonces $5000 - x$ está en la cuenta del 3%. El interés total después de un año es $0.05x + 0.03(5000 - x)$.

De vuelta con Emma: necesita $45 + 12h \ge 120$. Resta 45: $12h \ge 75$. Divide entre 12: $h \ge 6.25$. Tiene que trabajar al menos 6.25 horas, es decir, 6 horas y 15 minutos.

Desigualdades con un parámetro

A veces una desigualdad tiene otra letra además de $x$, llamada parámetro (como $k$ o $m$). Después de reunir los términos con $x$, el coeficiente de $x$ puede involucrar el parámetro. Su signo decide si se invierte el signo de la desigualdad, así que debes tratar cada caso por separado.

Hallar un parámetro y desigualdades literales

A veces el problema va al revés. Te dicen cuál es el conjunto solución y debes hallar el parámetro. El plan: despeja $x$ en términos del parámetro, iguala el extremo al número dado, resuelve para el parámetro y comprueba.

Una desigualdad literal usa letras para todos los números. Se resuelve igual, siempre que las condiciones dadas te indiquen los signos.

Resumen