Datos bivariados, correlación y rectas de regresión

En el estudio de las relaciones entre dos variables, es fundamental distinguir si existe una dependencia exacta o una relación estadística. Indique en cuáles de los siguientes casos la relación es funcional (existe una fórmula exacta) y en cuáles es estadística (existe una tendencia pero con variabilidad):

• a) El número de galones de gasolina repostados en una gasolinera y el costo total a pagar.

• b) La calificación obtenida en un examen de Matemáticas y el número de horas que el alumno ha dedicado a estudiar esa semana.

• c) El tiempo que permanece encendido un foco de bajo consumo y el gasto energético registrado por el contador.

• d) La estatura de una persona y el número de calzado que utiliza.

• e) La temperatura máxima diaria en una ciudad y el número de helados vendidos en un kiosco de esa misma ciudad.

Se ha realizado una encuesta a 10 estudiantes de 11.º grado sobre el número de horas semanales que dedican a realizar deporte ($X$) y su frecuencia cardíaca en reposo ($Y$). Los resultados se han representado en la siguiente nube de puntos:

Dadas las siguientes parejas de variables, indique si espera encontrar una correlación positiva, negativa o nula:

• a) El número de millas recorridas por un carro y la cantidad de combustible que queda en el tanque.

• b) La calificación promedio de la escuela secundaria y el número de horas que se pasa un alumno jugando a videojuegos.

• c) La edad de una persona y su número de Seguro Social.

• d) Los ingresos mensuales de una persona y la cantidad de dinero que ahorra al mes.

• e) La velocidad media de un atleta en una carrera y el tiempo que tarda en completarla.

Un analista de redes sociales ha recopilado datos sobre el número de vídeos cortos publicados por un grupo de creadores de contenido ($X$) y el número de nuevos seguidores obtenidos en una semana ($Y$). La nube de puntos resultante se muestra a continuación:

A partir del gráfico:

1. Indique si existe correlación entre ambas variables y, en caso afirmativo, determine su signo y su fuerza aproximada.

2. ¿Se trata de una relación funcional o estadística? Justifique su respuesta.

3. Estime razonadamente cuál de los siguientes valores podría corresponder al coeficiente de correlación lineal de Pearson $r$: $-0,92$; $0,15$; $0,94$ o $1$.

Un grupo de 20 adolescentes ha sido clasificado según su hábito de lectura (Lector frecuente / No lector) y su preferencia por el formato de libros (Papel / Digital). Los datos obtenidos son:

• 8 son lectores frecuentes y prefieren el formato papel.

• 4 son lectores frecuentes y prefieren el formato digital.

• 2 no son lectores pero prefieren el formato papel.

• 6 no son lectores y prefieren el formato digital.

Organice esta información en una tabla de frecuencias conjuntas (tabla de contingencia), incluyendo los totales marginales en las filas y columnas.

A partir de la siguiente tabla de contingencia que muestra el tipo de dispositivo principal usado para estudiar y el curso del alumno (10.º grado o 11.º grado), responda a las preguntas planteadas:

• a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta conjunta de los alumnos que están en 11.º grado y usan principalmente la computadora portátil?

• b) Determine la frecuencia marginal de los alumnos que usan tableta.

• c) ¿Cuántos alumnos en total han participado en el estudio?

• d) ¿Qué porcentaje de los alumnos totales son de 10.º grado?

Una empresa de mensajería estudia la relación entre el peso de los paquetes en libras ($X$) y el costo del envío en dólares ($Y$). Se han analizado 5 envíos con los siguientes resultados:

Calcule:

1. El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Las desviaciones típicas marginales $\sigma_x$ y $\sigma_y$.

Dada la siguiente tabla de frecuencias conjuntas de las variables $X$ (número de hijos) e $Y$ (número de habitaciones en la vivienda):

1. a) Calcule las distribuciones marginales de $X$ e $Y$.
2. b) Determine la media y la varianza de la variable $Y$ condicionada a que $X = 1$.
3. c) Calcule la covarianza $S_{xy}$ y dictamine si las variables son independientes o presentan algún tipo de asociación.

Asocie cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$, con la gráfica que mejor lo represente:

• 1) $r = 0,95$

• 2) $r = -0,85$

• 3) $r = 0,05$

Se ha realizado un estudio sobre la relación entre el tiempo que un estudiante de 11.º grado dedica a jugar videojuegos diariamente en horas ($X$) y su tiempo de reacción medido en milisegundos en un test específico ($Y$). Los parámetros obtenidos son:

$\bar{x} = 2,5$; $\bar{y} = 310$; $\sigma_x = 1,2$; $\sigma_y = 45$ y la covarianza $\sigma_{xy} = -48,6$.

1. Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

2. Interprete el resultado obtenido en función del contexto del problema. ¿Qué ocurre con la capacidad de reacción a medida que aumentan las horas de juego?

Un club de baloncesto quiere predecir el número de puntos anotados por sus jugadores ($Y$) en función de los minutos jugados ($X$). Tras analizar a los jugadores, se obtienen los siguientes datos:

$\sum x_i = 240$

$\sum y_i = 120$

$\sum x_i^2 = 6500$

$\sum y_i^2 = 1800$

$\sum x_i y_i = 3200$

Número de jugadores analizados: $n = 10$.

1. Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

2. Si un jugador juega $25$ minutos, realice una estimación de los puntos que anotará utilizando la recta de regresión correspondiente.

Se dispone de una variable bidimensional $(X, Y)$ donde $X$ representa la temperatura exterior en $^\circ\text{C}$ e $Y$ el consumo eléctrico de un centro comercial en $kW$. Sabemos que el centro medio de la distribución es el punto $(\bar{x}, \bar{y}) = (22, 450)$.

Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ tiene una pendiente de $b = 15$:

• a) Escriba la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ utilizando la forma punto-pendiente: $y - \bar{y} = b(x - \bar{x})$.

• b) ¿Cuál sería el consumo esperado para una temperatura de $30^\circ\text{C}$?

Se ha obtenido la recta de regresión que relaciona el tiempo de uso diario de una red social en minutos ($X$) con el nivel de batería consumido en porcentaje ($Y$). La ecuación de la recta es:

$y = 0,15x + 2,5$

• a) Estime el porcentaje de batería consumido si un usuario utiliza la red social durante $120$ minutos.

• b) Si el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,92$, ¿cree que la estimación anterior es confiable? Justifique su respuesta.

La siguiente tabla muestra las notas obtenidas por 6 alumnos en un examen de Matemáticas ($X$) y en uno de Economía ($Y$):

1. Halle la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Obtenga la ecuación de la recta de regresión de Economía ($Y$) sobre Matemáticas ($X$).

3. ¿Qué nota se esperaría en Economía para un alumno que ha sacado un $10$ en Matemáticas?

Una plataforma de streaming analiza la relación entre la temperatura exterior media en grados Fahrenheit ($X$) y el número de horas que sus usuarios pasan viendo series en un fin de semana ($Y$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ obtenida es:

$y = -0,45x + 18,2$

1. Si un fin de semana la temperatura media es de $8 ^\circ C$, ¿cuántas horas se estima que pasará un usuario viendo series?

2. Si el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,81$, ¿qué fiabilidad tiene la predicción anterior? Explique el significado de este valor.

Se investiga si el precio de un modelo de teléfono celular de segunda mano ($Y$, en dólares) depende de su antigüedad ($X$, en meses). Los datos de 100 teléfonos muestran que:

$\bar{x} = 18$ meses; $\$\bar{y} = 450$; $\sigma_x = 6$; $\sigma_y = 80$ y $r = -0,88$.

1. Calcule la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Halle la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

3. ¿Cuál es el significado físico de la pendiente de la recta en este contexto?

4. Estime el precio de un teléfono que tiene un año y medio de antigüedad. ¿Es muy confiable esta estimación? ¿Por qué?

En un estudio sobre hábitos saludables, se mide la distancia recorrida en bicicleta a la semana en millas ($X$) y el gasto en mantenimiento de la bicicleta en dólares ($Y$). Se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,12x + 15$ y que el coeficiente de correlación es $r = 0,85$.

1. Justifique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

   • a) Existe una dependencia funcional entre las millas recorridas y el gasto.

   • b) La relación entre las variables es directa.

   • c) Si un ciclista no recorre ninguna milla ($x=0$), el modelo estima un gasto de $\$15$.

2. Si el gasto medio anual es de $\$\bar{y} = 33$, ¿cuál es la media de millas recorridas semanalmente $\bar{x}$?

En un estudio sobre el rendimiento de un nuevo panel solar, se han determinado las dos rectas de regresión que relacionan la intensidad lumínica captada ($X$, en cientos de lux) y la energía eléctrica generada ($Y$, en vatios). Las ecuaciones obtenidas son:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,84x + 12,2$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,95y - 7,4$

Calcule, justificando cada paso:

1. a) El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) El coeficiente de correlación lineal de Pearson ($r$) e interprete su signo y su fuerza.
3. c) ¿Qué porcentaje de la varianza de la energía generada queda explicada por la intensidad lumínica a través del modelo lineal?

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional son $4x - 5y + 12 = 0$ y $9x - 10y + 15 = 0$.

1. a) Identifique cuál de ellas es la de $Y$ sobre $X$ y cuál la de $X$ sobre $Y$. Justifique su respuesta utilizando el hecho de que el producto de sus pendientes debe ser igual a $r^2$ y que $0 \leq r^2 \leq 1$.
2. b) Calcule el coeficiente de correlación lineal $r$.
3. c) Determine los valores medios $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

Un equipo de analistas de datos de una conocida red de microblogging estudia la relación entre el número de palabras de una publicación ($X$) y el número de "me gusta" recibidos ($Y$). Tras analizar una muestra aleatoria, se conocen los siguientes parámetros:

$\bar{x} = 45$ palabras

$\sigma_x = 12$

$S_{xy} = 156$

Recta de regresión de $Y$ sobre $X$: $y = 1,083x + 11,25$

Sabiendo que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,64$, determine:

1. a) La desviación típica de la variable $Y$.
2. b) La ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.
3. c) Si una publicación tiene un número de "me gusta" que es el doble de la media $\bar{y}$, ¿cuál sería la predicción para su número de palabras?

Un estudio sociológico relaciona el índice de digitalización de un hogar ($X$, escala 1-10) con el ahorro anual ($Y$, en miles de dólares). Se conoce que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -1,2x + 15$ y que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,81$.

1. a) Si la varianza de los índices de digitalización es $\sigma_x^2 = 4$, ¿cuál es la varianza de la variable ahorro $\sigma_y^2$?
2. b) Si un hogar tiene un índice de digitalización de 8, estime su ahorro anual y calcule el error típico de la estimación (desviación típica residual), definida como $\sigma_{res} = \sigma_y \sqrt{1 - R^2}$.

Se investiga la relación entre la altitud de una localidad ($X$, en pies) y la presión atmosférica ($Y$, en mb). Los datos de 5 localidades muestran una correlación casi perfecta ($r = -0,99$). Las desviaciones típicas son $\sigma_x = 400$ y $\sigma_y = 45$.

Si la presión media es de $950$ mb a una altitud media de $600$ pies:

1. a) Halle la ecuación de la recta de regresión para predecir la presión en función de la altitud.
2. b) ¿A qué altitud se esperaría una presión de $1013$ mb? Evalúe la fiabilidad de esta respuesta considerando si se trata de una interpolación o extrapolación.
3. c) Si se descubriera que los medidores de altitud tenían un error sistemático y todas las altitudes reales son $50$ pies superiores a las registradas, ¿cómo afectaría esto a la pendiente de la recta de regresión?

Se analiza la relación entre el tiempo de estudio semanal ($X$, en horas) y la nota media ($Y$) de un grupo de estudiantes. Se sabe que la covarianza es $S_{xy} = 4,5$ y que el coeficiente de correlación es $r = 0,75$. Si a todos los estudiantes se les premia con 1 punto extra en su nota media y, además, deciden estudiar el doble de horas la semana siguiente:

1. a) Demuestre matemáticamente cómo varían la nueva covarianza $S'_{xy}$ y el nuevo coeficiente de correlación $r'$.
2. b) ¿Cambiaría la fiabilidad de las predicciones del modelo lineal tras estos cambios? Justifique la respuesta basándose en las propiedades de los parámetros bidimensionales.

En una competencia de e-sports, se mide la edad de los jugadores ($X$) y su tiempo de reacción ante un estímulo visual ($Y$, en milisegundos). La nube de puntos sugiere una relación lineal inversa. Se dispone de la siguiente información simplificada:

$\sum x_i = 200$, $\sum y_i = 2500$, $\sum x_i^2 = 4150$, $\sum y_i^2 = 628000$, $\sum x_i y_i = 49200$ (para $n = 10$ jugadores).

1. a) Calcule el coeficiente de correlación lineal.
2. b) Un jugador de 32 años (fuera del rango de la muestra original que era de 18 a 25 años) entra en el estudio. Si su tiempo de reacción fuera de 280 ms, ¿cómo afectaría este nuevo punto a la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$? Razone su respuesta sin necesidad de recalcular todo.