Ejercicios: Contrastes de hipótesis

Un estudio nacional afirma que el $75\%$ de los estudiantes de preparatoria (high school) en Estados Unidos tienen un smartphone de una marca específica. Un profesor de estadística cree que la proporción en su distrito escolar es menor a la cifra nacional. Para investigarlo, selecciona una muestra aleatoria de estudiantes de su distrito.

Escribe la hipótesis nula ($H_0$) y la hipótesis alternativa ($H_a$) para esta prueba de significancia, definiendo claramente el parámetro utilizado.

Una fábrica de botanas empaca bolsas de papas fritas que, según la etiqueta, contienen $8.5$ onzas. El inspector de control de calidad selecciona una muestra aleatoria de $30$ bolsas y encuentra una media muestral de $8.35$ onzas con una desviación estándar de $0.4$ onzas.

Calcula el valor del estadístico de prueba $t$ que el inspector debe usar para contrastar si el peso promedio real de las bolsas es diferente de $8.5$ onzas.

El gerente de un restaurante de comida rápida en Chicago afirma que el tiempo de espera promedio en el auto-servicio (drive-thru) es inferior a $3$ minutos. Un auditor independiente realiza una prueba de hipótesis con $H_0: \mu = 3$ y $H_a: \mu < 3$. Tras analizar los datos de una muestra, el auditor obtiene un valor p (P-value) de $0.014$.

Considerando un nivel de significancia $\alpha = 0.05$, indica cuál debe ser la decisión sobre la hipótesis nula y redacta la conclusión en el contexto del problema.

Una compañía que fabrica detectores de humo para apartamentos afirma que sus alarmas se activan a una concentración de humo específica. Se realiza una prueba de control de calidad donde:

• $H_0$: El detector funciona correctamente y se activa al nivel adecuado.

• $H_a$: El detector es defectuoso y no se activa al nivel adecuado.

Describe qué significaría cometer un Error de Tipo I en el contexto de este problema y cuál sería su consecuencia para el consumidor.

Una revista de automóviles quiere comparar el rendimiento de combustible (en millas por galón, mpg) de dos modelos de camionetas (trucks), el Modelo A y el Modelo B. Los editores sospechan que el Modelo A tiene un mejor rendimiento promedio que el Modelo B.

Define los parámetros poblacionales y establece las hipótesis $H_0$ y $H_a$ para una prueba de dos muestras independientes.

Un investigador quiere evaluar si un nuevo aditivo para el aceite del motor reduce el desgaste del mismo. Para el estudio, recluta a $20$ conductores. Cada conductor usa el aceite regular durante $3,000$ millas, se mide el desgaste del motor, y luego el mismo conductor usa el aceite con el aditivo durante otras $3,000$ millas, midiendo nuevamente el desgaste.

Determina si este diseño corresponde a una prueba para dos muestras independientes o a una prueba $t$ para datos pareados (paired t-test), y justifica brevemente tu respuesta.

El alcalde de una ciudad afirma que más del $60\%$ de los votantes aprueban el nuevo proyecto de construcción de un parque público. En una encuesta aleatoria de $400$ votantes registrados, $256$ indicaron que aprueban el proyecto.

Calcula el estadístico de prueba $z$ para evaluar la afirmación del alcalde. Muestra la fórmula y la sustitución de los valores.

En el contexto de las pruebas de hipótesis, la "potencia de la prueba" (power of the test) es la probabilidad de rechazar correctamente una hipótesis nula falsa. Una compañía farmacéutica está probando un nuevo medicamento para reducir la presión arterial y calcula que la potencia de su prueba es de $0.85$ para detectar una diferencia de $5$ puntos.

Explica qué significa este valor de $0.85$ en el contexto del nuevo medicamento y determina cuál es la probabilidad de cometer un Error de Tipo II.

Una plataforma de streaming reporta que históricamente el $40\%$ de los usuarios que cancelan su suscripción lo hacen porque consideran que el precio es muy alto. El mes pasado, la compañía aumentó su tarifa en $2$ dólares. Para ver si esto cambió la proporción de cancelaciones por precio, seleccionan una muestra aleatoria de $150$ usuarios que cancelaron recientemente; de ellos, $72$ citaron el precio como la razón principal.

Realiza los primeros pasos de una prueba de significancia: verifica las condiciones necesarias para usar el modelo normal, calcula el estadístico de prueba y encuentra el valor p.

El departamento de tránsito de una ciudad en Texas afirma que los conductores manejan en promedio a $65$ millas por hora (mph) en una autopista donde el límite es $60$ mph. La policía local cree que la velocidad promedio es mayor a $65$ mph. Utilizan un radar oculto para registrar la velocidad de $45$ vehículos seleccionados al azar, obteniendo una media de $67.2$ mph y una desviación estándar de $5.8$ mph.

A un nivel de significancia $\alpha = 0.01$, ¿hay evidencia convincente para apoyar la sospecha de la policía? Muestra el cálculo del estadístico $t$, los grados de libertad y la conclusión en contexto.

Un hospital está evaluando un nuevo examen para detectar una enfermedad basándose en el nivel de un biomarcador en la sangre. El gráfico ilustra las distribuciones de pacientes sanos ($H_0$) y enfermos ($H_a$).

Basándote en el diagrama y los conceptos de inferencia estadística:

1. Explica qué representa el área $\alpha$ y cuáles serían las consecuencias de este error para un paciente en la vida real.

2. Explica qué representa el área $\beta$ y cuáles serían sus consecuencias.

3. Si el hospital decide mover el valor crítico hacia la derecha para reducir los falsos positivos, ¿cómo afectaría esto a la potencia de la prueba?

El departamento de educación de un estado quiere saber si existe una diferencia significativa en la tasa de graduación de preparatoria entre las escuelas del Condado Norte y las del Condado Sur. En una muestra aleatoria de $500$ estudiantes del Condado Norte, $415$ se graduaron a tiempo. En una muestra aleatoria de $450$ estudiantes del Condado Sur, $360$ se graduaron a tiempo.

Calcula la proporción combinada (pooled proportion) que se utilizaría en el error estándar bajo la hipótesis nula $H_0: p_N = p_S$. Luego, calcula el estadístico de prueba $z$.

Una revista de tecnología prueba la duración de la batería de dos marcas de computadoras portátiles (laptops) al reproducir video continuamente.

• Marca X: $n_1 = 15$, media $\bar{x}_1 = 11.2$ horas, desviación estándar $s_1 = 1.1$ horas.

• Marca Y: $n_2 = 18$, media $\bar{x}_2 = 9.8$ horas, desviación estándar $s_2 = 1.4$ horas.

Asumiendo que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal, realiza una prueba de hipótesis para determinar si la duración promedio de la batería de la Marca X es significativamente mayor que la de la Marca Y. Usa $\alpha = 0.05$ y proporciona el estadístico $t$ y los grados de libertad conservadores (o calculados por tecnología).

Una empresa evalúa si un nuevo teclado ergonómico aumenta la velocidad de escritura en palabras por minuto (ppm) comparado con el teclado estándar. Se seleccionaron $4$ empleados al azar y se midió su velocidad en ambos teclados. El diagrama muestra los resultados pareados y la diferencia para cada sujeto ($\Delta = \text{Ergonómico} - \text{Estándar}$).

Usando los datos del diagrama, calcula la media de las diferencias ($\bar{x}_d$) y la desviación estándar de las diferencias ($s_d$). Luego, plantea $H_0$ y $H_a$ para determinar si el teclado ergonómico mejora la velocidad promedio de escritura.

Un investigador realiza una prueba $t$ de una muestra para $H_0: \mu = 100$ contra $H_a: \mu \neq 100$. Toma una muestra de $n = 25$ y obtiene un estadístico de prueba $t = -2.064$.

Usando una tabla $t$ o tecnología, determina el rango en el que se encuentra el valor p (P-value) y decide si se rechaza $H_0$ a un nivel de significancia del $5\%$.

Una máquina embotelladora debe llenar botellas de refresco con exactamente $12$ onzas. Si la máquina llena de más o de menos, debe ser detenida para mantenimiento. El supervisor toma una muestra aleatoria de $50$ botellas todos los días y realiza una prueba de hipótesis de dos colas con $\alpha = 0.05$. El mismo día, también calcula un intervalo de confianza del $95\%$ para el volumen promedio.

Si el intervalo de confianza calculado es $(11.92, 11.98)$ onzas, ¿cuál será la conclusión de la prueba de hipótesis? Explica la relación matemática entre el intervalo de confianza y la prueba de significancia en este contexto.

Una fábrica produce varillas de acero que deben tener una longitud promedio de $100$ centímetros. Se sabe históricamente que la desviación estándar poblacional es $\sigma = 2$ cm. El ingeniero de calidad toma una muestra diaria de $n = 36$ varillas para probar $H_0: \mu = 100$ contra $H_a: \mu < 100$ con $\alpha = 0.05$.

1. Encuentra la regla de decisión (región de rechazo) en términos de la media muestral $\bar{x}$.

2. Si la verdadera longitud promedio de la máquina se ha desajustado y ahora es $\mu = 99.2$ cm, calcula la potencia de la prueba (power of the test) para detectar este cambio.

3. Si el ingeniero quisiera aumentar la potencia sin cambiar el nivel de significancia $\alpha$, ¿qué modificación debería hacer en el diseño del estudio?

Una agencia inmobiliaria quiere comprobar si existe una diferencia significativa en el precio promedio de alquiler de apartamentos de una habitación entre Nueva York y Los Ángeles. Seleccionan muestras aleatorias e independientes de listados recientes:

• Nueva York: $n_1 = 35$, $\bar{x}_1 = \$2,850$, $s_1 = \$420$

• Los Ángeles: $n_2 = 40$, $\bar{x}_2 = \$2,600$, $s_2 = \$380$

Realiza una prueba de hipótesis completa (4 pasos: hipótesis, condiciones, cálculos, conclusión) para determinar si hay una diferencia en el precio promedio a un nivel $\alpha = 0.01$. Para los grados de libertad, puedes usar la fórmula conservadora $df = \min(n_1-1, n_2-1)$.

Una clínica de pérdida de peso afirma que su programa de 8 semanas logra una reducción significativa de peso. Se seleccionan $6$ participantes al azar y se registra su peso (en libras) antes y después del programa:

Participante	1	2	3	4	5	6
Antes	210	195	225	180	200	215
Después	202	190	227	175	192	205

Asumiendo que las diferencias poblacionales se distribuyen normalmente, realiza una prueba $t$ para datos pareados para evaluar la afirmación de la clínica con $\alpha = 0.05$. Además, explica si un intervalo de confianza del $90\%$ para la diferencia media contendría el valor cero, basándote en el resultado de tu prueba.

Una empresa de comercio electrónico realiza un experimento "A/B testing" para ver si un nuevo diseño de su página web aumenta la proporción de visitantes que compran boletos para conciertos.

• Versión A (Diseño actual): De $1,200$ visitantes, $102$ compraron boletos.

• Versión B (Nuevo diseño): De $1,500$ visitantes, $165$ compraron boletos.

El equipo de marketing afirma que el nuevo diseño es superior. Realiza una prueba $z$ de dos proporciones para evaluar esta afirmación con $\alpha = 0.05$. En tu respuesta, debes mostrar el cálculo del error estándar combinado (pooled standard error) y discutir por qué se utiliza la proporción combinada en el denominador del estadístico de prueba en lugar de los errores estándar individuales.

Considera una prueba de hipótesis de una cola para la media poblacional $\mu$. Un estudiante argumenta lo siguiente: "Si disminuimos el nivel de significancia $\alpha$ de $0.05$ a $0.01$, hacemos que la prueba sea más estricta, lo que reduce la probabilidad de cometer un Error de Tipo I. Como la prueba es mejor, la probabilidad de cometer un Error de Tipo II también disminuirá, aumentando la potencia de la prueba".

Identifica el error conceptual en el razonamiento del estudiante. Explica detalladamente la relación matemática y conceptual entre $\alpha$, $\beta$ (Error de Tipo II) y la potencia de la prueba, y describe bajo qué condiciones es posible reducir tanto $\alpha$ como $\beta$ simultáneamente.

Un estudio ambiental analizó los niveles de plomo en el agua potable de dos condados. Un estudiante de estadística procesó los datos para probar si el Condado A tiene niveles promedio de plomo mayores que el Condado B ($H_a: \mu_A > \mu_B$).

El estudiante escribió en su reporte: "Obtuve un estadístico $t = 1.85$ con un valor p de $0.035$. Como $0.035 < 0.05$, acepto la hipótesis alternativa y concluyo que la probabilidad de que el Condado A tenga más plomo es del $96.5\%$."

Identifica y corrige dos errores graves en la interpretación del valor p y en la conclusión redactada por el estudiante. Reescribe la conclusión de forma estadísticamente rigurosa.

Un investigador perdió parte de la hoja de cálculo de su estudio sobre el peso de los recién nacidos en un hospital local. Sabe que la hipótesis nula era $H_0: \mu = 7.5$ libras, y que utilizó una muestra de $n = 16$ bebés. En sus notas, encuentra que el estadístico de prueba fue $t = 2.13$ y que la media muestral fue $\bar{x} = 7.8$ libras.

A partir de esta información limitada, reconstruye la desviación estándar muestral $s$ que el investigador debió haber obtenido. Luego, determina si rechazaría $H_0$ a un nivel de significancia $\alpha = 0.05$ para una prueba de dos colas.

Un analista de transporte urbano quiere comparar los tiempos de espera de dos aplicaciones de viaje compartido, Uber y Lyft, en el centro de la ciudad durante la hora pico. Recopila dos conjuntos de datos:

1. Toma una muestra de $30$ solicitudes de Uber y, de manera independiente, $30$ solicitudes de Lyft, midiendo el tiempo de espera de cada una.

2. Un mes después, cambia la metodología: recluta a $30$ usuarios y les pide que abran ambas aplicaciones simultáneamente en el mismo lugar y momento, registrando la diferencia de tiempo de espera estimado (Uber - Lyft) en sus celulares.

Explica detalladamente qué tipo de prueba de significancia es apropiada para el primer diseño y cuál para el segundo. Discute qué diseño experimental tiene mayor poder estadístico para detectar una diferencia real en los tiempos de espera y por qué el control de variables de confusión (confounding variables) juega un papel clave en esa ventaja.