Ejercicios: Punto medio de un segmento

Calcule las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $A(2, 4)$ y $B(6, 10)$.

El punto medio del segmento $AB$ es $M(3, 5)$. Si el extremo $A$ tiene por coordenadas $(1, 2)$, halle las coordenadas del extremo $B$.

Determine las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos $P(-4, -6)$ y $Q(2, -8)$.

Halle el punto simétrico de $A(5, -3)$ respecto del origen de coordenadas $O(0,0)$.

Calcule el punto medio del segmento que une los puntos $C\left(\frac{1}{2}, 3\right)$ y $D\left(\frac{3}{2}, -1\right)$.

Compruebe analíticamente si el punto $M(-1, 2)$ es el punto medio del segmento de extremos $E(-4, 5)$ y $F(2, -1)$.

Los puntos $A(0, 4)$ y $B(4, 0)$ forman un segmento en el plano cartesiano. Calcule las coordenadas de su punto medio.

Dado el segmento de extremos $G(-3, 7)$ y $H(-3, -1)$, halle su punto medio e indique sobre qué eje o recta paralela a los ejes se encuentra dicho segmento.

Un dron agrícola está programado para volar en línea recta desde el punto $A(-15, 20)$ hasta el punto $B(45, -10)$ (coordenadas en pies). Si debe soltar una carga de fertilizante exactamente en la mitad de su recorrido, ¿en qué coordenadas lo hará?

Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos $P(-3, 5)$ y $Q(7, -1)$. Calcule las coordenadas del centro de la circunferencia y la medida de su radio.

Dos antenas de telefonía están situadas en las coordenadas $T_1(4.5, 8.2)$ y $T_2(-1.5, 3.4)$ en un plano topográfico a escala. Se quiere instalar un repetidor exactamente en el punto medio entre ambas. Calcule las coordenadas exactas donde debe situarse el repetidor.

Un rayo láser incide en una lente situada en el punto $L(2, 5)$. Si el punto de origen del láser es $O(-3, 1)$ y la lente actúa como punto de simetría central, calcule las coordenadas del punto $P$ donde impactará el láser tras atravesar la lente asumiendo que mantiene su trayectoria recta.

Dado el triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 5)$ y $C(2, -3)$, halle las coordenadas del punto medio del lado $BC$ y, a continuación, calcule la longitud de la mediana que parte del vértice $A$.

El punto medio del segmento $AB$ es $M(a, 3)$. Si conocemos las coordenadas de los extremos $A(-2, 5)$ y $B(6, b)$, plantee las ecuaciones correspondientes y calcule los valores de los parámetros $a$ y $b$.

En un programa de diseño por computadora, se traza un segmento desde $P_1(-4, -2)$ hasta $P_2(8, 6)$. El diseñador necesita colocar tres puntos en el segmento que lo dividan en cuatro partes exactamente iguales. Calcule las coordenadas del punto central de esos tres puntos de división.

Compruebe si el cuadrilátero de vértices $A(-1, 2)$, $B(3, 4)$, $C(4, 0)$ y $D(0, -2)$ es un paralelogramo. Para ello, calcule los puntos medios de sus dos diagonales y verifique si coinciden.

El diseño de un puente atirantado sitúa los anclajes de un cable en los puntos $A(2k, -4)$ y $B(6, k+2)$, siendo $k$ un parámetro desconocido. El punto medio del cable debe apoyarse sobre un pilar vertical situado exactamente sobre el eje de abscisas (es decir, su ordenada es $y=0$). Calcule el valor de $k$ y las coordenadas exactas del punto de apoyo.

Tres vértices consecutivos de una parcela topográfica con forma de paralelogramo son $A(-3, -1)$, $B(2, -2)$ y $C(5, 2)$. Utilizando la propiedad geométrica de que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, calcule las coordenadas del cuarto vértice $D$.

El segmento $AB$ tiene su punto medio en $M(4, 3)$. Sabiendo que el extremo $A$ se encuentra sobre el eje de abscisas (eje X) y el extremo $B$ se encuentra sobre el eje de ordenadas (eje Y), plantee las ecuaciones correspondientes y determine las coordenadas exactas de $A$ y de $B$.

Un brazo robótico mueve una pieza en línea recta desde el punto $P_1(-8, 4)$ hasta $P_2(2, -6)$, y hace una pausa en el punto medio $M_1$. Luego, mueve la pieza desde $M_1$ hasta $P_3(10, 8)$, haciendo una nueva pausa en el punto medio $M_2$ del segmento $M_1 P_3$. Calcule las coordenadas exactas de $M_2$.

Dos masas puntuales iguales se desplazan de tal forma que en un instante $t$ (en segundos) se encuentran en las posiciones $A(t, 2t-1)$ y $B(3t+2, -t+5)$. Encuentre la expresión de las coordenadas del centro de masas (punto medio $M$) en función del tiempo. ¿En qué instante $t$ el centro de masas cruza el eje de ordenadas ($x=0$)?

Se desea dividir el segmento de extremos $A(-5, 1)$ y $B(7, 9)$ en cuatro partes de igual longitud utilizando exclusivamente el cálculo de puntos medios. Detalle el proceso y calcule las coordenadas de los tres puntos que dividen dicho segmento.

Dado el triángulo de vértices $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 6)$, calcule los puntos medios de sus tres lados ($M_1$, $M_2$, $M_3$). A continuación, demuestre analíticamente calculando las distancias que el perímetro del triángulo formado por los puntos medios es exactamente la mitad del perímetro del triángulo original.

Un segmento en el plano cartesiano tiene por extremos los puntos genéricos $A(a, b)$ y $B(b, a)$, con $a \neq b$. Demuestre algebraicamente que el punto medio de dicho segmento siempre pertenece a la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante (cuya ecuación es $y = x$), independientemente de los valores numéricos que tomen $a$ y $b$.