Ejercicios: Tabla y gráfica de una función

Dada la función lineal $f(x) = 2x - 3$:

1. a) Complete una tabla de valores para $x \in \{-2, 0, 1, 3\}$.
2. b) Grafique la función en el plano cartesiano utilizando los puntos obtenidos.

Considere la función cuadrática $f(x) = x^2 - 4$:

1. a) Calcule las imágenes para $x = -3, -2, 0, 2, 3$ y organiza los resultados en una tabla.
2. b) Dibuje la gráfica de la función e identifique las coordenadas de su vértice.

Observe la siguiente gráfica de una función $f(x)$ definida por tramos rectos:

A partir de la gráfica, determine:

1. a) El dominio y el rango de la función.
2. b) El valor de $f(-2)$ y $f(1)$.

Dada la función irracional $f(x) = \sqrt{x+2}$:

1. a) Determine analíticamente su dominio.
2. b) Complete una tabla de valores para $x \in \{-2, -1, 2, 7\}$ y utilícela para esbozar la gráfica.

Calcule analíticamente los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje X) y con el eje de ordenadas (eje Y) de la función racional $f(x) = \frac{3x+6}{x-1}$.

Dada la función valor absoluto $f(x) = |2x - 5|$:

1. a) Evalúe la función en los puntos $x = 0, 2, 2.5, 3, 5$ y construya una tabla de valores.
2. b) Grafique la función.

Identifique si la siguiente tabla de valores corresponde a una función lineal o a una función cuadrática calculando las diferencias entre valores consecutivos de $y$. A continuación, obtenga su expresión analítica $y = f(x)$.

El costo $C(t)$ en dólares de dejar un carro en un estacionamiento viene dado por la función $C(t) = 2 + 1.5t$, donde $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Haga una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t=0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Grafique la función en ese intervalo.

La temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de un horno industrial desde que se enciende viene dada por la función $T(t) = 20 + 15t$, donde $t$ se mide en minutos.

1. a) ¿Cuál es la temperatura inicial del horno?
2. b) Construya una tabla de valores para $t = 0, 5, 10, 15$.
3. c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el horno alcance los $200^\circ\text{C}$?

Dada la función definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} -x + 2 & \text{si } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

1. a) Construya una tabla de valores evaluando la función en $x = -2, 0, 0.99, 1, 2, 3$.
2. b) Grafique la función e indique si es continua en $x = 1$.

Considere la función cuadrática $f(x) = -x^2 + 6x - 5$.

1. a) Calcule analíticamente las coordenadas de su vértice y los puntos de intersección con los ejes.
2. b) Cree una tabla de valores tomando dos puntos a la izquierda del vértice y dos a la derecha.
3. c) Grafique la parábola.

El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura $T$ (en $^\circ\text{C}$) de una taza de café en función del tiempo $t$ (en minutos) desde que se sirve.

A partir de la gráfica:

1. a) Indique la temperatura inicial del café.
2. b) ¿Hacia qué valor tiende la temperatura a medida que transcurre mucho tiempo? ¿Qué significado físico tiene la asíntota horizontal?
3. c) ¿La función es creciente o decreciente? Justifique su respuesta.

Dada la función racional $f(x) = \frac{4}{x-2}$:

1. a) Determine su dominio.
2. b) Construya una tabla de valores evaluando la función en puntos cercanos a $x = 2$ por la izquierda y por la derecha ($x = 1.9, 1.99, 2.1, 2.01$).
3. c) A partir de los resultados obtenidos, ¿qué elemento gráfico presenta la función en $x = 2$?

En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias. El número de bacterias $N(t)$ en miles viene dado por la función $N(t) = 100 \cdot 2^t$, donde $t$ es el tiempo en horas.

1. a) Construya una tabla de valores para las primeras 4 horas ($t = 0, 1, 2, 3, 4$).
2. b) Grafique la función. ¿Qué tipo de crecimiento se observa?

Considere la función $f(x) = \sqrt{9-x^2}$.

1. a) Calcule analíticamente su dominio de definición.
2. b) Haga una tabla de valores para $x \in \{-3, -2, 0, 2, 3\}$.
3. c) Grafique la función e indique cuál es su rango.

Dada la función valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4|$:

1. a) Exprese la función definida por partes eliminando el valor absoluto.
2. b) Encuentre los puntos de intersección con los ejes.
3. c) Construya una tabla de valores en el intervalo $[-3, 3]$ y dibuje su gráfica.

La ganancia mensual $B(x)$, en dólares, de una fábrica de componentes electrónicos en función del número de unidades producidas $x$ se modela mediante la función $B(x) = -5x^2 + 300x - 4000$.

1. a) Encuentre los puntos de equilibrio (producción para la cual la ganancia es cero).
2. b) Genera una tabla de valores estratégica que incluya los puntos de equilibrio y el vértice.
3. c) ¿Cuántas unidades deben producirse para maximizar la ganancia y de cuánto es dicha ganancia máxima?

Una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(0, 3)$, $(1, 0)$ y $(2, -1)$.

1. a) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de $a, b$ y $c$.
2. b) Con la expresión analítica obtenida, calcule el vértice y construya una tabla de valores para graficar la parábola.

Dada la función definida por partes dependiente de un parámetro $k$:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - k & \text{si } x < 2 \\ 2x + 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

1. a) Halle el valor de $k$ para que las dos ramas de la función "conecten" en el punto $x = 2$ (es decir, para que la función sea continua).
2. b) Con el valor de $k$ hallado, construya una tabla de valores en el intervalo $[0, 4]$ y esboce la gráfica de la función.

La masa $M(t)$ en onzas de un isótopo radiactivo disminuye con el tiempo $t$ (en días) según la función exponencial $M(t) = M_0 \cdot (0.5)^{\frac{t}{T}}$, donde $M_0$ es la masa inicial y $T$ es el periodo de semidesintegración.

Sabiendo que en el instante $t=0$ había $200\text{ g}$ de sustancia y que tras $60\text{ días}$ quedan $50\text{ g}$:

1. a) Calcule el valor de los parámetros $M_0$ y $T$.
2. b) Construya una tabla de valores para $t = 0, 30, 60, 90, 120$ y esboce la gráfica.

Observa la siguiente gráfica de una función racional de la forma $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$:

A partir de la información proporcionada por la gráfica (asíntotas y puntos de intersección):

1. a) Determine el dominio y el rango de la función.
2. b) Duzca la expresión analítica de la función $f(x)$.

Dada la función logarítmica $f(x) = \log_2(x+4)$:

1. a) Determine analíticamente su dominio y la ecuación de su asíntota vertical.
2. b) Construya una tabla de valores eligiendo valores estratégicos de $x$ que den como resultado potencias exactas de base 2 para el argumento del logaritmo.
3. c) Grafique la función.

Se desea construir un corral rectangular aprovechando un muro ya existente para uno de sus lados. Se dispone de $20\text{ m}$ de cerca metálica para los otros tres lados.

1. a) Exprese el área $A(x)$ del corral en función de la longitud $x$ de uno de los lados perpendiculares al muro.
2. b) Determine el dominio de validez de la función $A(x)$ en el contexto del problema.
3. c) Construya una tabla de valores y utilícela para esbozar la gráfica y encontrar las dimensiones que maximizan el área.

En la siguiente figura se muestra la gráfica de la función exponencial $f(x) = 2^x$ y la recta $y = x$.

1. a) A partir de los puntos destacados en la curva azul de $f(x)$, construya una tabla de valores para su función inversa $f^{-1}(x)$.
2. b) Dibuje en su cuaderno la gráfica de la función inversa aprovechando la simetría respecto a la recta $y=x$.
3. c) Escriba la expresión analítica de $f^{-1}(x)$.