Ejercicios: Ecuación de segundo grado

Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado completa aplicando la fórmula general:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Encuentre las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta, extrayendo factor común:

$3x^2 - 12x = 0$

Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:

$2x^2 - 18 = 0$

Sin llegar a resolver la ecuación, determine el número de soluciones reales que tiene calculando el valor de su discriminante:

$5x^2 - 3x + 2 = 0$

Escriba una ecuación de segundo grado en la forma $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a=1$) sabiendo que sus soluciones son $x_1 = 4$ y $x_2 = -3$.

Desarrolle las expresiones, simplifique y resuelva la ecuación de segundo grado resultante:

$(x - 2)(x + 3) = 2x - 6$

Dada la ecuación $4x^2 - 5x - 9 = 0$, calcule la suma y el producto de sus raíces utilizando las relaciones de Cardano-Vieta, sin necesidad de resolver la ecuación.

Halle las raíces del polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ y utilícelas para escribir el polinomio factorizado.

Un arquitecto está diseñando un panel solar rectangular para el techo de un edificio industrial. Por restricciones de diseño, la base del panel debe medir exactamente $3$ pies más que su altura. Si el área total del panel debe ser de $28 \text{ m}^2$, plantee una ecuación de segundo grado y calcule sus dimensiones.

En un experimento de física, se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba. Su altura $h$ en pies respecto al suelo, en función del tiempo $t$ en segundos, viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determine en qué instante o instantes el cohete se encuentra exactamente a $17$ pies de altura.

Una empresa de tecnología fabrica discos duros externos. La ganancia mensual, en miles de dólares, al vender $x$ cientos de unidades se modela mediante la función cuadrática $B(x) = -2x^2 + 24x - 54$. ¿Cuántas unidades deben venderse para que la ganancia sea nula (punto de equilibrio)?

Determine el valor (o valores) del parámetro $k$ para que la ecuación $x^2 - kx + 9 = 0$ tenga una única solución real doble.

Se quiere enmarcar una fotografía de $20 \text{ cm}$ de alto por $30 \text{ cm}$ de ancho con un marco de madera de ancho uniforme $x$. Si el área total del marco (sin contar la fotografía) es de $216 \text{ cm}^2$, plantee una ecuación y halle el ancho del marco.

Resuelva la siguiente ecuación con fracciones algebraicas operando hasta reducirla a una ecuación de segundo grado:

$\frac{x+1}{x-2} + \frac{3x}{x+2} = 4$

El producto de dos números enteros impares consecutivos es $323$. Plantee una ecuación de segundo grado y resuelva para hallar cuáles son esos dos números. ¿Hay más de una pareja posible?

En la ecuación paramétrica $2x^2 + mx + 15 = 0$, se sabe que una de las soluciones es $x = 3$. Sin necesidad de usar la fórmula general, calcule el valor del parámetro $m$ y halle la otra solución.

Discuta el número de soluciones reales de la ecuación $(m-1)x^2 - 2mx + (m+2) = 0$ en función de los distintos valores que puede tomar el parámetro $m$.

Sean $x_1$ y $x_2$ las raíces de la ecuación $3x^2 - 5x + 1 = 0$. Sin calcular de forma explícita el valor de $x_1$ y $x_2$, utilice las propiedades de las raíces para hallar el valor exacto de la expresión $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.

En un triángulo rectángulo de catetos $6 \text{ cm}$ y $8 \text{ cm}$, se inscribe un rectángulo de forma que dos de sus lados estén sobre los catetos y uno de sus vértices sobre la hipotenusa. Si el área del rectángulo debe ser exactamente de $12 \text{ cm}^2$, plantee una ecuación de segundo grado y halle las dimensiones posibles del rectángulo.

Dos drones de vigilancia parten simultáneamente de una misma base. El primer dron vuela en línea recta hacia el norte a una velocidad constante de $v \text{ km/h}$, y el segundo vuela hacia el este a una velocidad de $v + 5 \text{ km/h}$. Después de $2$ horas de vuelo, la distancia en línea recta que los separa es de $50 \text{ km}$. Plantee una ecuación cuadrática y determine la velocidad de cada dron.

Demuestre algebraicamente que la ecuación de segundo grado $ax^2 + bx + c = 0$ (con $a \neq 0$) siempre tiene dos soluciones reales y distintas si los coeficientes $a$ y $c$ tienen signos opuestos (es decir, si se cumple que $a \cdot c < 0$).

Resuelva la siguiente ecuación de cuarto grado realizando un cambio de variable adecuado para transformarla en una ecuación de segundo grado:

$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$

La proporción áurea se obtiene al dividir un segmento de longitud $L$ en dos partes $x$ e $y$ (con $x > y$) de tal forma que la relación entre el segmento total y la parte mayor sea igual a la relación entre la parte mayor y la menor. Si fijamos la longitud de la parte menor como $y = 1$, plantee la ecuación de segundo grado resultante para $x$ y halle el valor exacto del número áureo $\Phi$.

Un grupo de amigos decide alquilar un velero para el fin de semana por un costo total de $\$360$, que acuerdan pagar a partes iguales. En el último momento, dos de los amigos no pueden asistir, lo que obliga al resto del grupo a pagar $\$9$ más cada uno para cubrir el costo total. Plantee una ecuación que se reduzca a segundo grado para determinar cuántos amigos conformaban el grupo original.