Universidad · Cálculo I
Cálculo diferencial · Aproximación de Taylor
Polinomios de Taylor y aplicaciones a límites
Construcción del polinomio de Taylor Desarrollos básicos y cómo combinarlos Notación $o$ y $O$ y precisión de la aproximación Límites con Taylor Ajuste de parámetros, inversas y extremos Casos difíciles: composición, exponentes variables e inversas Resumen
Tu calculadora no sabe qué es $\sen x$: solo sabe sumar y multiplicar. Para dar $\sen 0{,}1$ sustituye la función por un polinomio que se le parece muchísimo cerca de $0$. ¿Cómo se construye ese polinomio, qué precisión tiene y por qué sirve también para deshacer indeterminaciones como $\frac{\sen x - x}{x^3}$?
Construcción del polinomio de Taylor
Idea: queremos un polinomio $P$ que, en un punto $a$, coincida con $f$ y con sus primeras $n$ derivadas. Si coinciden valor, pendiente, curvatura..., las dos gráficas se pegan cerca de $a$.
Sea $f$ derivable $n$ veces en $a$. Su polinomio de Taylor de grado $n$ centrado en $a$ es
$$P_{n,a}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.$$
Si $a=0$ se llama polinomio de Maclaurin .
¿Por qué estos coeficientes? Derivando $k$ veces $c_k(x-a)^k$ y evaluando en $a$ queda $k!\,c_k$. Igualar con $f^{(k)}(a)$ obliga a $c_k=f^{(k)}(a)/k!$.
Gráfica de la función seno y de sus polinomios de Maclaurin de grado uno y tres, que se pegan a la curva cerca del origen y se separan al alejarse.
f(x) = sen x
P₁ (tangente)
P₃ (esquema)
Escribir $f''(a)(x-a)^2$ en vez de $\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2$ da un polinomio cuya segunda derivada en $a$ es $2f''(a)$, no $f''(a)$. Y cuando el centro no es $0$, las potencias son de $(x-a)$, no de $x$.
El polinomio de Maclaurin de grado $3$ de $\sen x$ es $x-\frac{x^3}{6}$. ¿Por qué no aparece el término en $x^2$?
Ver respuesta Porque $f''(0)=-\sen 0=0$: el coeficiente de $x^2$ es cero. Por ser $\sen x$ impar, todos los coeficientes de potencias pares se anulan.
★☆☆ Sin empezar
Calcula el polinomio de Maclaurin de grado $3$ de $e^x$. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado $3$ de $e^x$.
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★☆☆ Sin empezar
Calcula el polinomio de Maclaurin de grado $3$ de $\sen x$. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado $3$ de $\sen x$.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Encuentra el polinomio de Taylor de grado $2$ de $\sqrt x$ centrado en $x=4$. La figura sitúa el centro del desarrollo sobre la función. Encuentra el polinomio de Taylor de grado $2$ de $\sqrt x$ centrado en $x=4$.
La figura sitúa el centro del desarrollo sobre la función.
2
3
4
5
6
x
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
y
y = √x
(4, 2)
Resolver
Desarrollos básicos y cómo combinarlos
Derivar una y otra vez es lento. Se memorizan unos pocos desarrollos y el resto se obtiene sustituyendo y operando.
$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dots \qquad \sen x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\dots$$
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\dots \qquad \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots$$
$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\dots \qquad \tan x = x+\frac{x^3}{3}+\dots$$
Si $f(x)=Q(x)+o(x^n)$ con $Q$ polinomio de grado $\le n$, entonces $Q$ es el polinomio de Maclaurin de grado $n$ de $f$.
¿Por qué importa? Garantiza que cualquier camino válido (sustituir, multiplicar, dividir series) da el mismo resultado que derivar.
Sustituimos $t=2x$ en $\ln(1+t)$: $2x-\dfrac{(2x)^2}{2}+\dfrac{(2x)^3}{3}=2x-2x^2+\dfrac{8x^3}{3}$.
Está definida para $1+2x>0$, es decir, en el entorno $x>-\tfrac12$ (por ejemplo $(-\tfrac12,\tfrac12)$ alrededor de $0$).
Siguiente paso (1/2) Activa JavaScript para usar este interactivo. ★★☆ Sin empezar
Calcula el polinomio de Maclaurin de grado $4$ de $e^{x^2}$ y especifica los coeficientes que se anulan. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado $4$ de $e^{x^2}$ y especifica los coeficientes que se anulan.
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Calcula el polinomio de Maclaurin de grado $3$ de $\ln(1+2x)$ e indica un entorno donde está definida. Calcula el polinomio de Maclaurin de grado $3$ de $\ln(1+2x)$ e indica un entorno donde está definida.
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Obtén el desarrollo hasta grado $4$ de $\cos x/(1+x^2)$ en cero. Obtén el desarrollo hasta grado $4$ de $\cos x/(1+x^2)$ en cero.
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Notación $o$ y $O$ y precisión de la aproximación
Si $f$ es $n$ veces derivable en $a$, entonces $f(x)=P_{n,a}(x)+o\big((x-a)^n\big)$ cuando $x\to a$.
Idea: el error se anula en $a$ junto con sus $n$ primeras derivadas, así que es de orden superior a $(x-a)^n$.
Esquema de órdenes de magnitud cerca de cero: las potencias de x decrecen más rápido cuanto mayor es el exponente.
x
x²
x³
cerca de 0, más exponente = más pequeño
Un móvil sigue $s(t)=\sen t$ m. Aproximación cuadrática en $t=\pi/2$: $s=1$, $s'=\cos=0$, $s''=-\sen=-1$.
$s(t)\approx 1-\dfrac{1}{2}\left(t-\frac{\pi}{2}\right)^2$.
Interpretación: el coeficiente lineal es la velocidad ($0$ m/s: está en el punto más alto) y el cuadrático es $\frac{a}{2}$ con aceleración $a=-1$ m/s², que lo frena y lo hace volver.
Siguiente paso (1/3)
Escribir $o(x^3)$ no significa que el resto valga $0$, sino que es despreciable frente a $x^3$. Además, $o(x^3)+o(x^3)=o(x^3)$ y $x\cdot o(x^3)=o(x^4)$: los restos se absorben, no se cancelan entre sí.
★☆☆ Sin empezar
Obtén el polinomio de Taylor de grado $2$ de $\ln x$ centrado en $x=1$. La figura sitúa el centro del desarrollo sobre la función. Obtén el polinomio de Taylor de grado $2$ de $\ln x$ centrado en $x=1$.
La figura sitúa el centro del desarrollo sobre la función.
0,5
1
1,5
2
x
1
0,5
0
−0,5
−1
y
(1, 0)
y = ln x
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Encuentra el Taylor de grado $3$ de $x^2\ln x$ centrado en $1$. Encuentra el Taylor de grado $3$ de $x^2\ln x$ centrado en $1$.
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La posición de un móvil es $s(t)=\sen t$ m. Construye la aproximación cuadrática alrededor de $t=\pi/2$ s e interpreta sus coeficientes de velocidad y aceleración. La… La posición de un móvil es $s(t)=\sen t$ m. Construye la aproximación cuadrática alrededor de $t=\pi/2$ s e interpreta sus coeficientes de velocidad y aceleración.
La figura representa la posición alrededor del instante indicado.
t
s
0
0,5
1,0
1,2
π/2
π
(π/2, 1)
s = sen t
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Límites con Taylor
Cuando aparece una indeterminación $\frac00$, sustituye cada función por su desarrollo: se cancelan los términos de orden bajo y manda el primero que sobrevive.
Esquema del cálculo de un límite con Taylor: se desarrolla el numerador, se cancelan los términos de grado bajo y el primero que sobrevive da el límite.
Desarrollar
el numerador
Cancelar los
grados bajos
Coeficiente
de x^m = límite
Ejemplo: sen x − x = −x³/6 + o(x³), límite −1/6
Para $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{N(x)}{x^m}$, desarrolla $N$ hasta grado $m$ (con resto $o(x^m)$). Si los términos hasta $x^{m-1}$ se cancelan, el límite es el coeficiente de $x^m$.
¿Por qué hasta $m$? Un desarrollo de menor grado deja un resto $o(x^k)$ con $k
En $\frac{\ln(1+x)-x+x^2/2-x^3/3}{x^4}$, si paras en grado 3 todo se cancela y obtienes $\frac{o(x^3)}{x^4}$, que no dice nada. Hay que subir hasta $x^4$: el numerador es $-\frac{x^4}{4}+o(x^4)$ y el límite es $-\frac14$.
★☆☆ Sin empezar
Usa un desarrollo de Taylor para calcular $\lim_{x\to0}(e^x-1-x)/x^2$. Usa un desarrollo de Taylor para calcular $\lim_{x\to0}(e^x-1-x)/x^2$.
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★☆☆ Sin empezar
Usa Taylor para calcular $\lim_{x\to0}(\sen x-x)/x^3$. Usa Taylor para calcular $\lim_{x\to0}(\sen x-x)/x^3$.
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★★☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to0}(\tan x-\sen x)/x^3$ mediante Taylor. Calcula $\lim_{x\to0}(\tan x-\sen x)/x^3$ mediante Taylor.
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Ajuste de parámetros, inversas y extremos
La unicidad permite igualar coeficientes. Es la herramienta para encontrar constantes, desarrollar inversas y clasificar puntos críticos.
Desarrollamos $\dfrac{1+ax}{1+bx}=(1+ax)(1-bx+b^2x^2-\dots)=1+(a-b)x+b(b-a)x^2+O(x^3)$.
Igualamos con $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)$: $a-b=1$ y $b(b-a)=-b=\frac12$.
Resuelve el sistema. Respuesta: $b=-\frac12$, $a=\frac12$.
Siguiente paso (1/3)
Gráfica de una función con un mínimo local plano en el origen, que se comporta como x elevado a cuatro.
mínimo en x = 0
f ≈ x⁴/2
Para clasificar un punto crítico mira el primer término no nulo del desarrollo: si es de grado par, hay extremo (mínimo si el coeficiente es positivo); si es de grado impar, no hay extremo. Parar en el grado 2 cuando $f''(0)=0$ no decide nada.
★★☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to0}[\ln(1+x)-\sen x+x^2/2]/x^3$ con desarrollos. Calcula $\lim_{x\to0}[\ln(1+x)-\sen x+x^2/2]/x^3$ con desarrollos.
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★★☆ Sin empezar
Determina $a,b$ para que $e^x-(1+ax)/(1+bx)=O(x^3)$ cuando $x\to0$. Determina $a,b$ para que $e^x-(1+ax)/(1+bx)=O(x^3)$ cuando $x\to0$.
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★★★ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to0}[\ln(1+x)-x+x^2/2-x^3/3]/x^4$ y especifica el orden mínimo de Taylor necesario. Calcula $\lim_{x\to0}[\ln(1+x)-x+x^2/2-x^3/3]/x^4$ y especifica el orden mínimo de Taylor necesario.
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Casos difíciles: composición, exponentes variables e inversas
Cuando la función es compuesta, conviene desarrollar de dentro hacia fuera, controlando el orden en cada capa.
Esquema de composición de desarrollos de dentro hacia fuera: se desarrolla la función interior, se sustituye en la exterior y se trunca al grado necesario.
1. Interior:
t = sen x
2. Sustituir
en e^t
3. Truncar al
grado pedido
Cada capa se lleva hasta el mismo orden final
En $e^{\sen x}$, el desarrollo de $\sen x$ debe llevarse hasta el mismo grado que el que necesites al final. Al sustituir en $e^t$, el término $t^2$ aporta $x^2$ y también $x^4$, pero $t^3$ ya aporta desde $x^3$: no los ignores.
¿Por qué escribir $(1+x)^{1/x}=e^{\ln(1+x)/x}$ ayuda a calcular el límite?
Ver respuesta Porque convierte un exponente variable en una exponencial de una expresión cuyo desarrollo conocemos ($\ln(1+x)/x$), de modo que se puede aplicar Taylor capa a capa.
★★★ Sin empezar
Determina $a,b,c$ para que $\sen x-ax-bx^3-cx^5=o(x^5)$ y calcula el límite de esa diferencia dividida entre $x^7$. Determina $a,b,c$ para que $\sen x-ax-bx^3-cx^5=o(x^5)$ y calcula el límite de esa diferencia dividida entre $x^7$.
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★★★ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to0}(e^{\sen x}-e^x)/x^3$. Calcula $\lim_{x\to0}(e^{\sen x}-e^x)/x^3$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Encuentra el desarrollo de la inversa local de $f(x)=x+x^3$ alrededor de cero hasta grado $5$, justificando la existencia de la inversa. Encuentra el desarrollo de la inversa local de $f(x)=x+x^3$ alrededor de cero hasta grado $5$, justificando la existencia de la inversa.
Resolver
Vuelve al principio: tu calculadora calcula $\sen 0{,}1$ con $x-\frac{x^3}{6}+\dots$, y los mismos desarrollos revelan que $\frac{\sen x-x}{x^3}\to-\frac16$.
Resumen
$P_{n,a}(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$: coincide con $f$ y sus $n$ primeras derivadas en $a$, y $f=P_{n,a}+o((x-a)^n)$.
Se memorizan $e^x$, $\sen x$, $\cos x$, $\ln(1+x)$, $\frac1{1+x}$ y el resto se obtiene por sustitución, producto o cociente, truncando al grado correcto.
Por unicidad, cualquier expresión $Q(x)+o(x^n)$ con $Q$ polinomio de grado $\le n$ es el polinomio de Taylor.
En límites $\frac{N(x)}{x^m}$, desarrolla hasta grado $m$: el límite es el coeficiente de $x^m$ si los anteriores se cancelan.
Igualando coeficientes se hallan parámetros, inversas locales y el carácter de puntos críticos (primer término no nulo).
★★★ Sin empezar
Estudia mediante Taylor si $x=0$ es extremo de $f(x)=e^{x^2}-1-x^2$ y determina el límite $f(x)/x^4$ en cero. Estudia mediante Taylor si $x=0$ es extremo de $f(x)=e^{x^2}-1-x^2$ y determina el límite $f(x)/x^4$ en cero.
Resolver
★★★ Sin empezar
Calcula $\lim_{x\to0}\bigl[(1+x)^{1/x}-e\bigr]/x$, con $x>-1$ y $x\ne0$. Calcula $\lim_{x\to0}\bigl[(1+x)^{1/x}-e\bigr]/x$, con $x>-1$ y $x\ne0$.
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