Tienes 60 m de valla y una pared recta: ¿qué rectángulo cercas con más superficie? Un ingeniero que diseña un depósito, una antena o una ruta se hace la misma pregunta: entre todas las opciones posibles, ¿cuál es la mejor? La derivada resuelve estos problemas siempre que sepas traducirlos a una función de una variable y comprobar que el candidato es realmente el óptimo.
Del enunciado a una función de una variable
Un problema de optimización tiene tres ingredientes: una magnitud objetivo que quieres maximizar o minimizar, una o varias restricciones que ligan las variables, y un dominio de valores admisibles. El trabajo de modelado consiste en usar la restricción para eliminar variables hasta que el objetivo dependa de una sola.
Practica★☆☆Sin empezar
Un rectángulo tiene perímetro $20$ m. Determina sus dimensiones de área máxima y justifica que el máximo es global.
Un rectángulo tiene perímetro $20$ m. Determina sus dimensiones de área máxima y justifica que el máximo es global.
Se cerca un recinto rectangular junto a una pared recta, usando $60$ m de valla para los otros tres lados. Halla las dimensiones de área máxima. La figura muestra los…
Se cerca un recinto rectangular junto a una pared recta, usando $60$ m de valla para los otros tres lados. Halla las dimensiones de área máxima.
La figura muestra los tres lados que requieren valla.
Un proyectil se lanza desde el suelo con rapidez fija $v_0$, sin rozamiento. Su alcance es $R(\theta)=v_0^2\sen(2\theta)/g$, $0<\theta<\pi/2$. Determina el ángulo óptimo.
Un proyectil se lanza desde el suelo con rapidez fija $v_0$, sin rozamiento. Su alcance es $R(\theta)=v_0^2\sen(2\theta)/g$, $0<\theta<\pi/2$. Determina el ángulo óptimo.
La intensidad luminosa sobre un punto de un plano horizontal debida a una fuente a altura $h>0$ y desplazamiento horizontal fijo $d>0$ es proporcional a…
La intensidad luminosa sobre un punto de un plano horizontal debida a una fuente a altura $h>0$ y desplazamiento horizontal fijo $d>0$ es proporcional a $h/(h^2+d^2)^{3/2}$. Optimiza la altura y demuestra que el óptimo es global.
Los problemas geométricos ligan longitudes, áreas y volúmenes. Pistas útiles: usa el volumen o el perímetro dado para eliminar una variable, y recuerda que minimizar una distancia equivale a minimizar su cuadrado (misma posición del óptimo, derivada sin raíces).
Practica★☆☆Sin empezar
Encuentra el punto de la recta $y=2x+1$ más cercano al origen.
Encuentra el punto de la recta $y=2x+1$ más cercano al origen.
De una lámina cuadrada de lado $12$ cm se cortan cuadrados de lado $x$ en las esquinas para formar una caja abierta. Maximiza el volumen. La figura muestra los recortes…
De una lámina cuadrada de lado $12$ cm se cortan cuadrados de lado $x$ en las esquinas para formar una caja abierta. Maximiza el volumen.
La figura muestra los recortes y los pliegues de la caja.
Con el mismo método se resuelven problemas en los que la restricción es una relación geométrica (Pitágoras, semejanza, inscripción). Elegir bien la variable simplifica mucho: un ángulo, una altura o una abscisa.
Practica★★☆Sin empezar
Un cilindro sin tapa debe tener volumen $V>0$. Encuentra la relación entre altura y radio que minimiza el material.
Un cilindro sin tapa debe tener volumen $V>0$. Encuentra la relación entre altura y radio que minimiza el material.
Una escalera rígida de $10$ m tiene extremos sobre un suelo y una pared perpendiculares. ¿Para qué posición es máxima el área del triángulo que delimita?
Una escalera rígida de $10$ m tiene extremos sobre un suelo y una pared perpendiculares. ¿Para qué posición es máxima el área del triángulo que delimita?
Optimización en física y economía: ley óptima y pares de medios
En física e ingeniería la función objetivo suele venir dada (potencia, coste, tiempo, intensidad) y el trabajo está en analizarla: hallar el óptimo, comprobar que es global y interpretar el resultado con unidades.
Practica★★☆Sin empezar
Una resistencia de carga $R>0$ conectada a una fuente de tensión $E>0$ y resistencia interna $r>0$ recibe potencia $P(R)=E^2R/(R+r)^2$. Halla la carga óptima.
Una resistencia de carga $R>0$ conectada a una fuente de tensión $E>0$ y resistencia interna $r>0$ recibe potencia $P(R)=E^2R/(R+r)^2$. Halla la carga óptima.
Un trayecto de $100$ km se recorre a rapidez constante $v>0$ km/h. El coste total, en euros, es $C(v)=100(0,01v^2+400/v)$. Halla la velocidad de coste mínimo sin…
Un trayecto de $100$ km se recorre a rapidez constante $v>0$ km/h. El coste total, en euros, es $C(v)=100(0,01v^2+400/v)$. Halla la velocidad de coste mínimo sin restricciones adicionales.
Cuando el enunciado trae letras ($a$, $b$, $d$, $c_1$, $c_2$, $L$), la solución es una fórmula. Además, a veces el dominio es cerrado y el óptimo puede estar en un extremo, o cambia según los valores de los parámetros.
Practica★★★Sin empezar
Una persona está a $3$ km de una costa recta y desea llegar a un punto situado $6$ km costa adelante desde la perpendicular. Rema a $3$ km/h y camina a $5$ km/h. Puede…
Una persona está a $3$ km de una costa recta y desea llegar a un punto situado $6$ km costa adelante desde la perpendicular. Rema a $3$ km/h y camina a $5$ km/h. Puede desembarcar en cualquier punto de ese tramo. Encuentra el punto que minimiza el tiempo.
La figura define el punto de desembarco y los dos tramos del viaje.
Una tubería debe conectar puntos a distancias perpendiculares $a,b>0$ de una interfaz recta, en lados opuestos, con proyecciones separadas $d>0$. El coste por metro es…
Una tubería debe conectar puntos a distancias perpendiculares $a,b>0$ de una interfaz recta, en lados opuestos, con proyecciones separadas $d>0$. El coste por metro es $c_1,c_2>0$. Si cruza la interfaz a distancia $x\in[0,d]$ de la primera proyección, demuestra unicidad del mínimo y obtiene su ecuación.
Un cable de longitud $L>0$ se divide en dos partes: una forma un círculo y otra un cuadrado. Determina la división que minimiza la suma de áreas. Compara con el supremo…
Un cable de longitud $L>0$ se divide en dos partes: una forma un círculo y otra un cuadrado. Determina la división que minimiza la suma de áreas. Compara con el supremo del área si ambas partes han de ser positivas.
Vuelve al principio: con $60$ m de valla junto a una pared, el recinto de área máxima mide $30\times15$ m ($450$ m²), y la derivada, junto con la concavidad, garantiza que no existe otro mejor.
¡A practicar! 6 ejercicios de nivel difícil en este apartado