Universidad · Cálculo I
Sucesiones y series · Series de potencias
Radio e intervalo de convergencia
Series de potencias y su dominio Cálculo del radio: cociente y raíz Los extremos del intervalo Familias con parámetros y casos límite Extremos delicados y criterios finos Resumen
Una serie de potencias es un polinomio con infinitos términos. Si sustituyes $x=0{,}1$ en $\sum x^n$, la suma se estabiliza; con $x=2$ se dispara. ¿Para qué valores de $x$ tiene sentido sumar infinitos términos, y qué forma tiene ese conjunto? Resulta que siempre es un intervalo centrado en un punto, y que basta un número, el radio, para describirlo casi entero.
Series de potencias y su dominio
Una serie de potencias centrada en $c$ es una expresión
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-c)^n,$$
donde $(a_n)$ es una sucesión de coeficientes reales y $x$ es la variable. Para cada $x$ fijo es una serie numérica; el conjunto de $x$ donde converge es su dominio de convergencia .
Siempre converge en $x=c$ (todos los términos, salvo el primero, valen $0$). La pregunta es hasta dónde se puede alejar $x$ de $c$.
Recta real con centro c, intervalo de convergencia de radio R alrededor de c, divergencia fuera y los extremos como puntos a estudiar aparte.
c
c − R
c + R
converge (absolutamente)
diverge
diverge
Para toda serie $\sum a_n(x-c)^n$ existe un único $R\in[0,+\infty]$ tal que:
si $|x-c|
si $|x-c|>R$, la serie diverge;
si $|x-c|=R$, no se puede decir nada en general.
El dominio es, por tanto, el intervalo $(c-R,c+R)$ más, quizá, uno o los dos extremos. Con $R=0$ solo converge en $c$; con $R=\infty$ converge en todo $\mathbb R$.
¿Por qué? Si la serie converge en un $x_0$, sus términos están acotados, y para $|x-c|<|x_0-c|$ se compara con una geométrica convergente. Así, el conjunto de convergencia no puede tener «huecos» alrededor del centro.
Una serie centrada en $0$, ¿puede converger exactamente en $x=0$ y en $[2,3]$?
Ver respuesta No. Si converge en $x=3$, converge absolutamente para todo $|x|<3$, en particular en $x=1$. El dominio siempre es un intervalo con centro $c$ (salvo los extremos, que son libres).
★☆☆ Sin empezar
La serie $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n$ tiene radio $R=2$. ¿Qué puede asegurarse en $x=0$, $x=4$ y $x=3$ sin conocer los coeficientes? La figura ilustra los datos y… La serie $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-1)^n$ tiene radio $R=2$. ¿Qué puede asegurarse en $x=0$, $x=4$ y $x=3$ sin conocer los coeficientes?
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
R = 2
R = 2
x
−1
0
1
2
3
4
centro
Resolver
★★☆ Sin empezar
Una expansión centrada en cero converge en $x=3$ y diverge en $x=5$. ¿Qué cotas impone esto a su radio? ¿Puede decidirse en $x=-3$? Razona. La figura ilustra los datos y… Una expansión centrada en cero converge en $x=3$ y diverge en $x=5$. ¿Qué cotas impone esto a su radio? ¿Puede decidirse en $x=-3$? Razona.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
x
−3
?
0
centro
3
converge
5
diverge
Resolver
Cálculo del radio: cociente y raíz
La idea: aplicar a $\sum|a_n||x-c|^n$ el criterio del cociente o de la raíz. La serie converge cuando el límite es $<1$, y eso despeja $|x-c|
Si existen los límites,
$$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \qquad\text{o}\qquad R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$$
con los convenios $1/0=\infty$ y $1/\infty=0$. En general (Cauchy–Hadamard) $R=1/\limsup\sqrt[n]{|a_n|}$, que siempre existe.
¿Por qué? El cociente de términos consecutivos es $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right||x-c|\to L|x-c|$, y converge si $L|x-c|<1$, es decir, $|x-c|<1/L$.
Activa JavaScript para usar este interactivo. La gráfica muestra $\sum x^n=\frac1{1-x}$ y su suma parcial: se pegan dentro de $(-1,1)$ y se separan fuera, aunque $\frac1{1-x}$ esté definida allí.
Para $a_n=1/n!$: $\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|=n+1\to\infty$, así que $R=\infty$ (converge para todo real).
Para $a_n=n!$: $\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\dfrac1{n+1}\to0$, así que $R=0$ y solo converge en $x=0$.
Siguiente paso (1/2)
Si la serie es $\sum x^{2n}/9^n$ no puedes tomar $a_n$ como «lo que multiplica a $x^n$» sin más: faltan los impares, con $a_{2k+1}=0$, y el cociente $a_n/a_{n+1}$ no está definido. Aplica el criterio directamente a los términos $u_n(x)=x^{2n}/9^n$: $|u_{n+1}/u_n|=x^2/9<1\iff|x|<3$. Y si el centro es $c\ne0$, el radio se mide sobre $|x-c|$, no sobre $|x|$.
★☆☆ Sin empezar
Determina el radio y el intervalo de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}x^n/4^n$. Comprueba los dos extremos. Determina el radio y el intervalo de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}x^n/4^n$. Comprueba los dos extremos.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Halla el centro, el radio y el intervalo de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}(x-2)^n/3^n$. Halla el centro, el radio y el intervalo de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}(x-2)^n/3^n$.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Determina el radio de $\sum_{n=1}^{\infty}(n^2+1)x^n/5^n$ mediante el criterio del cociente y comprueba los extremos. Determina el radio de $\sum_{n=1}^{\infty}(n^2+1)x^n/5^n$ mediante el criterio del cociente y comprueba los extremos.
Resolver
Los extremos del intervalo
El criterio del cociente o de la raíz da límite $1$ justo en $|x-c|=R$: no decide. Cada extremo se convierte en una serie numérica que hay que estudiar con las herramientas del tema de series (término general, comparación con $p$-series, Leibniz, etc.).
Tres intervalos de radio 1 con distintos extremos: abierto, cerrado por un lado y cerrado por ambos.
(−1, 1) · Σ xⁿ
[−1, 1) · Σ xⁿ/n
[−1, 1] · Σ xⁿ/n²
Centro $c=2$. $\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\dfrac{(n+1)2^{n+1}}{n\,2^n}\to2$, luego $R=2$ y converge en $(0,4)$.
En $x=4$: $\sum\frac1n$ diverge. En $x=0$: $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge condicionalmente.
Escribe el intervalo de convergencia completo y di dónde la convergencia es absoluta y dónde solo condicional.
Dominio $[0,4)$. Absoluta en $(0,4)$; condicional en $x=0$.
Siguiente paso (1/4)
No existe regla que diga «los extremos entran» o «no entran»: hay que estudiar cada uno por separado, y pueden comportarse distinto. Tampoco vale decir que, como el cociente da $1$, «el criterio no funciona y por tanto diverge»: no concluye nada.
En $\sum n(x+1)^n/3^n$ el radio es $R=3$. ¿Por qué se puede afirmar sin más cálculo que ningún extremo converge?
Ver respuesta En $|x+1|=3$ queda $\sum n(\pm1)^n$, cuyo término general $\pm n$ no tiende a $0$. Cuando $a_nR^n$ no tiende a $0$ (aquí crece), ambos extremos divergen. Dominio: $(-4,2)$.
★☆☆ Sin empezar
Determina el radio y los extremos del intervalo de $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n^2$. Determina el radio y los extremos del intervalo de $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n^2$.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Estudia completamente la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$. Estudia completamente la convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n/\sqrt n$, distinguiendo convergencia absoluta y condicional. Estudia $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n/\sqrt n$, distinguiendo convergencia absoluta y condicional.
Resolver
Familias con parámetros y casos límite
Los mismos pasos funcionan si hay parámetros o potencias especiales; solo hay que ser ordenado: radio primero, extremos después.
Para $p\in\mathbb R$ el radio es $R=1$ (el factor $n^{-p}$ no cambia el límite del cociente ni de la raíz). En los extremos:
$x=c+1$: serie $\sum 1/n^p$, converge si y solo si $p>1$.
$x=c-1$: serie $\sum(-1)^n/n^p$, converge si $p>0$ (absolutamente si $p>1$, condicionalmente si $0
Por tanto el dominio es $[c-1,c+1]$ si $p>1$, $[c-1,c+1)$ si $0
Activa JavaScript para usar este interactivo.
Si los coeficientes alternan comportamiento (por ejemplo $a_{2k}=2^{2k}$, $a_{2k+1}=3^{2k+1}$), el cociente $a_n/a_{n+1}$ oscila entre dos valores y no tiene límite. Usa la raíz con el límite superior: $\limsup\sqrt[n]{|a_n|}=3$, luego $R=1/3$. El cociente solo sirve cuando su límite existe.
¿Puedes tener tres series con radio $1$ y dominios $(-1,1)$, $[-1,1)$ y $[-1,1]$?
Ver respuesta Sí: $\sum x^n$ para $(-1,1)$ (términos no tienden a $0$ en los extremos), $\sum x^n/n$ para $[-1,1)$ y $\sum x^n/n^2$ para $[-1,1]$. El radio no determina qué ocurre en la frontera.
★★☆ Sin empezar
Determina todos los $x\in\mathbb R$ para los que converge $\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}/9^n$ y explica cómo obtener su radio como serie centrada en cero. Determina todos los $x\in\mathbb R$ para los que converge $\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n}/9^n$ y explica cómo obtener su radio como serie centrada en cero.
Resolver
★★★ Sin empezar
Clasifica el intervalo de convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}(x-1)^n/n^p$ para todo $p\in\mathbb R$. Clasifica el intervalo de convergencia de $\sum_{n=1}^{\infty}(x-1)^n/n^p$ para todo $p\in\mathbb R$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Determina el radio e intervalo de $\sum_{n=0}^{\infty}[(2^n+(-3)^n)/(n+1)]x^n$. Puedes separar las dos series dentro del intervalo común. Determina el radio e intervalo de $\sum_{n=0}^{\infty}[(2^n+(-3)^n)/(n+1)]x^n$. Puedes separar las dos series dentro del intervalo común.
Resolver
Extremos delicados y criterios finos
A veces el cociente en el extremo da $1$ y hay que afinar con equivalencias.
Esquema del procedimiento: calcular el radio, escribir el intervalo abierto, estudiar cada extremo y concluir el dominio.
1. Radio R (cociente o raíz)
2. Intervalo (c−R, c+R)
3. Extremos uno a uno
4. Dominio final
En $\sum n!x^n$ el cociente $|a_n/a_{n+1}|$ tiende a $0$ y $R=0$; en $\sum x^n/n!$ tiende a $\infty$ y $R=\infty$. Si inviertes el cociente por costumbre (usar $a_{n+1}/a_n$ sin invertir el resultado), los radios salen al revés.
Si $\sum a_nx^n$ tiene radio $R=2$, ¿cuál es el radio de $\sum a_n x^{2n}$?
Ver respuesta $\sqrt2$. La nueva serie es la original evaluada en $x^2$: converge si $|x^2|<2$, es decir, $|x|<\sqrt2$.
★☆☆ Sin empezar
Determina el radio de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!$. ¿Qué ocurre para los valores reales de $x$? Determina el radio de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}x^n/n!$. ¿Qué ocurre para los valores reales de $x$?
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Estudia el radio de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$. Estudia el radio de convergencia de $\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Para $\sum_{n=1}^{\infty}n!x^n/n^n$, halla el radio y resuelve los extremos. Puedes usar $n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$. Para $\sum_{n=1}^{\infty}n!x^n/n^n$, halla el radio y resuelve los extremos. Puedes usar $n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$.
Resolver
Vuelve al principio: el conjunto de $x$ donde tiene sentido sumar infinitos términos es siempre un intervalo centrado en $c$, de radio $R$ calculable con el cociente o la raíz, y solo los extremos exigen un estudio aparte.
Resumen
Una serie $\sum a_n(x-c)^n$ converge absolutamente si $|x-c|R$; el radio $R\in[0,\infty]$ siempre existe.
$R=\lim\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ o $R=1/\limsup\sqrt[n]{|a_n|}$; con potencias saltadas aplica el criterio a los términos completos.
El intervalo abierto es $(c-R,c+R)$: acuérdate del centro.
Los extremos se estudian uno a uno como series numéricas (término general, $p$-series, Leibniz); el radio no los decide.
Series como $\sum x^n$, $\sum x^n/n$ y $\sum x^n/n^2$ muestran que con $R=1$ el dominio puede ser $(-1,1)$, $[-1,1)$ o $[-1,1]$.
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