Diferenciales, error y método de Newton
Mides el radio de una esfera con un error de una centésima de milímetro y necesitas saber cuánto se contagia ese error al volumen. O quieres $\sqrt{4{,}04}$ sin calculadora. O una ecuación como $\cos x = x$ no se puede despejar. Las tres situaciones se resuelven con la misma idea: cerca de un punto, una función derivable se parece mucho a su recta tangente. ¿Cuánto se parece, y cómo se explota esa idea para calcular?
Linealización y diferencial
¿Por qué funciona? Derivable significa $f(a+h)-f(a)-f'(a)h = o(h)$: el error de la aproximación tiende a $0$ más rápido que $h$. Por eso la tangente es la mejor aproximación afín local.
Usa la linealización de $\sqrt x$ en $x=4$ para aproximar $\sqrt{4,04}$.
Usa la linealización de $\sqrt x$ en $x=4$ para aproximar $\sqrt{4,04}$.
Calcula la linealización de $e^x$ en $0$ y úsala para aproximar $e^{-0,02}$. Indica si subestima o sobreestima.
Calcula la linealización de $e^x$ en $0$ y úsala para aproximar $e^{-0,02}$. Indica si subestima o sobreestima.
Propagación del error
Una magnitud medida $x$ con error absoluto máximo $|\Delta x|\le \varepsilon$ se usa para calcular $y=f(x)$. El error de $y$ se estima con el diferencial.
¿Por qué? Es dividir $dy=f'(x)dx$ entre $y$ y multiplicar y dividir por $x$. Para el área $A=\pi r^2$, un $1\%$ de error en $r$ da aproximadamente un $2\%$ en $A$; para el volumen de una esfera, un $3\%$.
Estima mediante diferenciales el cambio de volumen de una esfera cuyo radio pasa de $10$ a $10,01$ cm. La figura representa el incremento radial con el espesor exagerado…
Estima mediante diferenciales el cambio de volumen de una esfera cuyo radio pasa de $10$ a $10,01$ cm.
La figura representa el incremento radial con el espesor exagerado para hacerlo visible.
Un radio medido es $5$ cm con error absoluto máximo $0,02$ cm. Estima el error relativo del área circular respecto al área nominal mediante diferenciales y compáralo con…
Un radio medido es $5$ cm con error absoluto máximo $0,02$ cm. Estima el error relativo del área circular respecto al área nominal mediante diferenciales y compáralo con la cota exacta máxima, usando también el área nominal como denominador.
La resistencia equivalente de dos resistencias iguales de valor nominal $R$ en paralelo es $R/2$. Si ambas cambian conjuntamente en $\Delta R$, estima el cambio de la…
La resistencia equivalente de dos resistencias iguales de valor nominal $R$ en paralelo es $R/2$. Si ambas cambian conjuntamente en $\Delta R$, estima el cambio de la equivalente y explica por qué aquí la estimación es exacta.
Cotas del error de linealización
Idea: el error es cuadrático en $h$. Reducir $h$ a la décima parte reduce el error a la centésima. Además, el signo de $f''$ dice si $L$ subestima ($f''\ge0$) o sobreestima ($f''\le0$).
Para aproximar $\ln(1,1)$ con la linealización en $1$, calcula el valor obtenido y una cota del error usando $|f''|$ entre $1$ y $1,1$.
Para aproximar $\ln(1,1)$ con la linealización en $1$, calcula el valor obtenido y una cota del error usando $|f''|$ entre $1$ y $1,1$.
Se busca la raíz de $\cos x-x$ en $[0,1]$. Demuestra unicidad y obtén una cota a posteriori del error de cualquier aproximación $z\in[0,1]$ en función del residuo…
Se busca la raíz de $\cos x-x$ en $[0,1]$. Demuestra unicidad y obtén una cota a posteriori del error de cualquier aproximación $z\in[0,1]$ en función del residuo $|\cos z-z|$.
La figura relaciona la ecuación con la separación vertical entre ambas curvas.
El método de Newton
Si no sabes resolver $f(x)=0$, sustituye $f$ por su tangente en una estimación $x_n$ y resuelve la ecuación lineal: la raíz de la tangente será la nueva estimación.
Escribe la iteración de Newton para resolver $x^2=5$ y realiza un paso desde $x_0=2$. La figura sitúa el punto inicial del método de Newton.
Escribe la iteración de Newton para resolver $x^2=5$ y realiza un paso desde $x_0=2$.
La figura sitúa el punto inicial del método de Newton.
Aplica dos pasos de Newton a $f(x)=x^3-2$ desde $x_0=1$ y conserva las fracciones exactas.
Aplica dos pasos de Newton a $f(x)=x^3-2$ desde $x_0=1$ y conserva las fracciones exactas.
Explica por qué Newton no puede empezar en $x_0=0$ para $f(x)=x^3-1$, aunque la raíz sea simple. Propón un punto inicial válido y calcula un paso.
Explica por qué Newton no puede empezar en $x_0=0$ para $f(x)=x^3-1$, aunque la raíz sea simple. Propón un punto inicial válido y calcula un paso.
Para $f(x)=x^3-2x+2$, muestra qué sucede con Newton iniciado en $x_0=0$. ¿Garantiza una raíz simple la convergencia desde cualquier punto?
Para $f(x)=x^3-2x+2$, muestra qué sucede con Newton iniciado en $x_0=0$. ¿Garantiza una raíz simple la convergencia desde cualquier punto?
Rapidez y convergencia de Newton
Por qué: $x_{n+1}-r$ se obtiene de $f(r)=0$ desarrollando en $x_n$ con resto de Lagrange; el error del paso es el error de linealización, que es cuadrático.
Para $f(x)=x^2-2$, expresa el error $e_{n+1}=x_{n+1}-\sqrt2$ de Newton en función de $e_n$ y $x_n>0$.
Para $f(x)=x^2-2$, expresa el error $e_{n+1}=x_{n+1}-\sqrt2$ de Newton en función de $e_n$ y $x_n>0$.
Demuestra que Newton para $x^2-a=0$, con $a>0$ y $x_0>0$, converge a $\sqrt a$, incluso si $x_0<\sqrt a$.
Demuestra que Newton para $x^2-a=0$, con $a>0$ y $x_0>0$, converge a $\sqrt a$, incluso si $x_0<\sqrt a$.
Newton aplicado a $f(x)=(x-1)^3$ parte de $x_0\ne1$. Obtén una fórmula explícita para $x_n$ y compara la rapidez con la de una raíz simple.
Newton aplicado a $f(x)=(x-1)^3$ parte de $x_0\ne1$. Obtén una fórmula explícita para $x_n$ y compara la rapidez con la de una raíz simple.
Vuelve al principio: la tangente permite estimar valores y propagar errores con un error cuadrático controlable, y, iterada, resuelve ecuaciones como $\cos x=x$ con convergencia muy rápida, siempre que partas cerca de una raíz simple.