Integrales impropias y convergencia
Un condensador se descarga con corriente $I(t)=e^{-2t}$ y quieres saber la carga total que habrá circulado «hasta el final». La región bajo la curva se extiende sin fin hacia la derecha, pero parece que se estrecha lo bastante rápido como para tener área finita. En cambio, con $1/x$ el integrando también tiende a cero y el área se escapa al infinito. ¿Qué diferencia hay entre ambos casos y cómo se decide sin calcular siempre una primitiva?
Integrales impropias como límites
La integral de Riemann exige un intervalo $[a,b]$ acotado y una función acotada. Cuando falla alguna de las dos condiciones, se integra en un trozo donde sí funciona y se pasa al límite.
Define mediante un límite y calcula $\int_1^\infty dx/x^2$.
Define mediante un límite y calcula $\int_1^\infty dx/x^2$.
Calcula $\int_0^\infty e^{-2x}\,dx$ mediante un límite.
Calcula $\int_0^\infty e^{-2x}\,dx$ mediante un límite.
Decide si $\int_1^\infty dx/(1+x^2)$ converge y, si lo hace, calcula su valor.
Decide si $\int_1^\infty dx/(1+x^2)$ converge y, si lo hace, calcula su valor.
La familia de referencia $x^{-p}$
Casi todos los criterios se apoyan en comparar con potencias, así que conviene conocerlas de memoria.
Calcula $\int_0^1dx/\sqrt x$ como integral impropia. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\int_0^1dx/\sqrt x$ como integral impropia.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Clasifica, según $p\in\mathbb R$, la convergencia de $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ y da su valor cuando existe.
Clasifica, según $p\in\mathbb R$, la convergencia de $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ y da su valor cuando existe.
Clasifica, según $p\in\mathbb R$, la convergencia de $\int_0^1x^{-p}\,dx$ y da su valor cuando existe.
Clasifica, según $p\in\mathbb R$, la convergencia de $\int_0^1x^{-p}\,dx$ y da su valor cuando existe.
Singularidades interiores y varias impropiedades
Si la integral es impropia en un punto interior $c$, o en ambos extremos, se parte en trozos con una sola impropiedad cada uno.
Estudia la convergencia de $\int_0^1dx/x^2$.
Estudia la convergencia de $\int_0^1dx/x^2$.
Estudia $\int_{-1}^1 dx/x$. Compárala con $\lim_{\varepsilon\to0^+}(\int_{-1}^{-\varepsilon}dx/x+\int_{\varepsilon}^1dx/x)$ y explica la diferencia. La figura ilustra…
Estudia $\int_{-1}^1 dx/x$. Compárala con $\lim_{\varepsilon\to0^+}(\int_{-1}^{-\varepsilon}dx/x+\int_{\varepsilon}^1dx/x)$ y explica la diferencia.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\int_0^\infty dx/(\sqrt x(1+x))$, justificando las dos singularidades impropias.
Calcula $\int_0^\infty dx/(\sqrt x(1+x))$, justificando las dos singularidades impropias.
Criterios de comparación
Muchas integrales no tienen primitiva elemental. Pero para decidir si convergen basta compararlas con otra conocida.
Estudia por comparación $\int_1^\infty dx/\sqrt{x^4+1}$. No se pide una primitiva ni valor exacto.
Estudia por comparación $\int_1^\infty dx/\sqrt{x^4+1}$. No se pide una primitiva ni valor exacto.
Estudia por comparación por límite $\int_1^\infty(2x+1)/(x^2+3)\,dx$.
Estudia por comparación por límite $\int_1^\infty(2x+1)/(x^2+3)\,dx$.
Clasifica según $a\in\mathbb R$ la convergencia de $\int_0^\infty x^a/(1+x^2)\,dx$. No se pide su valor.
Clasifica según $a\in\mathbb R$ la convergencia de $\int_0^\infty x^a/(1+x^2)\,dx$. No se pide su valor.
Convergencia absoluta y condicional
Si $f$ cambia de signo, el criterio de comparación no se aplica directamente.
Calcula $\int_0^\infty xe^{-x}\,dx$ y justifica que desaparece el término de frontera. La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Calcula $\int_0^\infty xe^{-x}\,dx$ y justifica que desaparece el término de frontera.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
Demuestra que $\int_1^\infty\sin x/x\,dx$ converge por integración por partes, sin calcular su valor.
Demuestra que $\int_1^\infty\sin x/x\,dx$ converge por integración por partes, sin calcular su valor.
Demuestra que $\int_1^\infty|\sin x|/x\,dx$ diverge y concluye el tipo de convergencia de la integral sin valor absoluto. Puedes usar los intervalos…
Demuestra que $\int_1^\infty|\sin x|/x\,dx$ diverge y concluye el tipo de convergencia de la integral sin valor absoluto. Puedes usar los intervalos $[k\pi+\pi/6,k\pi+5\pi/6]$ para $k\ge1$.
Familias logarítmicas y tabla de decisión
Cuando el integrando lleva $\ln x$ el umbral $p=1$ sigue mandando, pero aparece en el exponente del logaritmo.
Calcula $\int_0^1\ln x\,dx$ y justifica el límite del término $x\ln x$.
Calcula $\int_0^1\ln x\,dx$ y justifica el límite del término $x\ln x$.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\int_e^\infty dx/(x(\ln x)^p)$ y calcula su valor en esos casos.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\int_e^\infty dx/(x(\ln x)^p)$ y calcula su valor en esos casos.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\int_0^{e^{-1}}dx/(x|\ln x|^p)$ y calcula su valor.
Determina para qué $p\in\mathbb R$ converge $\int_0^{e^{-1}}dx/(x|\ln x|^p)$ y calcula su valor.
Vuelve al principio: $\int_0^\infty e^{-2t}dt=\tfrac12$ converge porque la exponencial decae más rápido que cualquier potencia, mientras que $\int_1^\infty dt/t$ diverge porque $1/t$ decae justo en el umbral $p=1$.