Universidad · Cálculo I
Sucesiones y series · Sucesiones numéricas
Límites y equivalencias de sucesiones
Definición de límite y convergencia Álgebra de límites y acotación Indeterminaciones y el número $e$ Equivalencias de sucesiones Más precisión: cancelaciones y órdenes de error Límites con exponente variable y familias paramétricas Resumen
Un algoritmo numérico produce una sucesión de aproximaciones y, en cada paso, un error $e_n$. Te interesa saber si ese error tiende a cero, con qué rapidez y cuántos pasos hacen falta para bajar de cierta tolerancia. Todo eso se responde con límites de sucesiones: primero con la definición, después con herramientas de cálculo y, por último, con equivalencias que permiten comparar velocidades.
Definición de límite y convergencia
Una sucesión $(a_n)_{n\geq1}$ converge a $L\in\mathbb R$, y se escribe $\lim_{n\to\infty}a_n=L$, si
$$\forall \varepsilon>0\ \exists N\in\mathbb N:\ n\geq N \Rightarrow |a_n-L|<\varepsilon.$$
Si no existe tal $L$, la sucesión diverge . Si para todo $M$ existe $N$ con $a_n>M$ para $n\geq N$, escribimos $a_n\to+\infty$.
La idea: fijas una tolerancia $\varepsilon$ (el error que aceptas) y debe existir un índice $N$ a partir del cual todos los términos caen en la banda $(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$. Los primeros términos pueden estar lejos; solo importa la cola.
Animación de una sucesión que se aproxima a un límite L: la banda de anchura 2ε se estrecha por fases y, con cada ε, la línea del índice N se desplaza a la derecha hasta quedar justo antes del primer punto de la cola, que ya está dentro de la banda.
L
N
banda de
anchura 2ε
Los términos pueden oscilar alrededor de $L$ o incluso valer $L$ infinitas veces. Lo único exigido es que la cola entera entre en cada banda.
Si $a_n\to L_1$ y $a_n\to L_2$, ¿qué ocurre?
Ver respuesta Que $L_1=L_2$. Si fueran distintos, con $\varepsilon=|L_1-L_2|/2$ las bandas serían disjuntas y la cola no podría estar en ambas. Por eso el límite, si existe, es único.
★☆☆ Sin empezar
Estudia la convergencia de $a_n=(-1)^n/n$, $n\geq1$. Da un índice a partir del cual $|a_n|<0,01$. La figura ilustra los datos y relaciones del problema. Estudia la convergencia de $a_n=(-1)^n/n$, $n\geq1$. Da un índice a partir del cual $|a_n|<0,01$.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
+0,1
−0,1
Banda ilustrativa
n
aₙ
1,0
0,5
−0,5
−1,0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Una discretización introduce un error $e_n=5/n^2$ metros, $n\geq1$. Halla su límite y el menor $n$ que garantiza $e_n\leq0,002$ metros. Una discretización introduce un error $e_n=5/n^2$ metros, $n\geq1$. Halla su límite y el menor $n$ que garantiza $e_n\leq0,002$ metros.
Resolver
Álgebra de límites y acotación
Si $a_n\to a$ y $b_n\to b$ (finitos), entonces $a_n\pm b_n\to a\pm b$, $a_n b_n\to ab$ y, si $b\neq0$, $a_n/b_n\to a/b$. Además, toda sucesión convergente está acotada.
¿Por qué? Si $a_n$ y $b_n$ están a distancia $\varepsilon/2$ de sus límites, su suma está a distancia menor que $\varepsilon$ por la desigualdad triangular. El producto se trata igual, usando que las sucesiones convergentes están acotadas.
Si $b_n\leq a_n\leq c_n$ desde cierto índice y $b_n,c_n\to L$, entonces $a_n\to L$. En particular, si $|a_n|\leq c_n\to0$, entonces $a_n\to0$; y si $x_n$ está acotada e $y_n\to0$, entonces $x_ny_n\to0$.
Para cocientes de polinomios en $n$ se divide numerador y denominador por la mayor potencia: el resultado depende solo de los términos de mayor grado.
Divide por $n^2$: $\dfrac{3-1/n}{2+5/n^2}$.
Como $1/n\to0$ y $1/n^2\to0$, el numerador tiende a $3$ y el denominador a $2\neq0$.
Aplica el álgebra de límites y escribe el valor.
$\lim=\dfrac32$. Coincide con el cociente de los coeficientes principales, al tener numerador y denominador el mismo grado.
Siguiente paso (1/4)
Sucesión oscilante atrapada entre las curvas positiva y negativa de uno partido por raíz de n, ambas tendiendo a cero.
1/√n
−1/√n
$\sin n$ no converge; escribir «$\lim \sin n\cdot\frac1{\sqrt n}=(\lim\sin n)\cdot0$» no es válido, porque el primer factor no tiene límite. Lo correcto es acotar, no multiplicar límites.
Observa $a_n$ para $n$ par y para $n$ impar.
Ver respuesta No. Para $n$ par, $a_n=3$; para $n$ impar, $a_n=1$. Dos subsucesiones con límites distintos impiden que exista un único límite.
★☆☆ Sin empezar
Para $n\geq1$, calcula $\lim_{n\to\infty}(3n^2-n)/(2n^2+5)$ justificando la operación con los grados. Para $n\geq1$, calcula $\lim_{n\to\infty}(3n^2-n)/(2n^2+5)$ justificando la operación con los grados.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Determina si $a_n=2+\cos(n\pi)$ converge. Justifica mediante dos familias de índices. Determina si $a_n=2+\cos(n\pi)$ converge. Justifica mediante dos familias de índices.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Una señal tiene muestras $s_n=\sin n/\sqrt n$. Demuestra su convergencia sin suponer que $\sin n$ tenga límite. La figura ilustra los datos y relaciones del problema. Una señal tiene muestras $s_n=\sin n/\sqrt n$. Demuestra su convergencia sin suponer que $\sin n$ tenga límite.
La figura ilustra los datos y relaciones del problema.
1
0,5
0
−0,5
−1
1
2
4
6
8
10
12
14
16
18
n
y = 1/√n
y = −1/√n
sₙ = sin(n)/√n
Resolver
Indeterminaciones y el número $e$
Las formas $\infty-\infty$, $\infty/\infty$, $0\cdot\infty$, $1^\infty$ no tienen valor fijado: hay que transformar la expresión.
$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e,\qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1,\qquad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c}=1\ (c>0).$$
Si $x_n\to0$ con $x_n\neq0$: $\dfrac{\sin x_n}{x_n}\to1$. Si $a_n\to1$ y $b_n\to\infty$ con $b_n(a_n-1)\to\ell$, entonces $a_n^{b_n}\to e^{\ell}$.
¿Por qué la última? Porque $a_n^{b_n}=\exp(b_n\ln a_n)$ y $\ln a_n\approx a_n-1$ cuando $a_n\to1$.
Escribe $(1+2/n)^{3n}=\left[(1+\tfrac2n)^{n/2}\right]^{6}$ y usa $m=n/2$.
$(1+1/m)^m\to e$, luego el corchete tiende a $e$ y el resultado es $e^6$.
No es $1$ aunque la base tienda a $1$: el exponente crece y compensa. Es la forma $1^\infty$.
Siguiente paso (1/3)
Valores de la sucesión uno más uno partido por n elevado a n creciendo hacia el número e, con asíntota horizontal en e.
e ≈ 2,718
Escribir $(1+2/n)^{3n}\to1^{\infty}=1$ es falso: $1^\infty$ es indeterminada. La base se acerca a 1 pero el exponente diverge, y el efecto conjunto da $e^6$.
Acota $n^4+1$ entre $n^4$ y $2n^4$.
Ver respuesta Para $n\geq1$: $n^{4/n}\leq\sqrt[n]{n^4+1}\leq 2^{1/n}n^{4/n}$. Como $\sqrt[n]{n}\to1$, $n^{4/n}=(\sqrt[n]{n})^4\to1$ y $2^{1/n}\to1$; el sandwich da límite $1$.
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+4n}-n)$ mediante racionalización. Calcula $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+4n}-n)$ mediante racionalización.
Resolver
★☆☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{n\to\infty}n\sin(2/n)$ indicando el límite trigonométrico empleado. Calcula $\lim_{n\to\infty}n\sin(2/n)$ indicando el límite trigonométrico empleado.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Determina el límite de $(1+2/n)^{3n}$ y explica por qué no es $1$. Determina el límite de $(1+2/n)^{3n}$ y explica por qué no es $1$.
Resolver
Equivalencias de sucesiones
Si $x_n\to0$ (con $x_n\neq0$):
$$\sin x_n\sim x_n,\quad \tan x_n\sim x_n,\quad \ln(1+x_n)\sim x_n,\quad e^{x_n}-1\sim x_n,$$
$$1-\cos x_n\sim\frac{x_n^2}{2},\quad (1+x_n)^\alpha-1\sim\alpha x_n.$$
Las equivalencias se pueden usar en productos y cocientes : si $a_n\sim a_n'$, entonces $\lim a_nc_n=\lim a_n'c_n$ (cuando existe uno de ellos).
¿Por qué? $a_nc_n=\dfrac{a_n}{a_n'}\,a_n'c_n$ y el primer factor tiende a $1$.
Gráficas de seno de x y de la recta y igual a x cerca del origen, casi superpuestas, ilustrando que seno de x es equivalente a x.
y = x
y = sen x
Con $x_n=3/n\to0$: $\ln(1+3/n)\sim3/n$.
Es un producto, luego se puede sustituir: $n\cdot\dfrac3n=3$.
Calcula del mismo modo $\lim n^2\bigl(1-\cos(1/n)\bigr)$.
$1-\cos(1/n)\sim\dfrac1{2n^2}$, así que el límite es $n^2\cdot\dfrac1{2n^2}=\dfrac12$.
Siguiente paso (1/4)
$a_n\sim b_n$ no implica $a_n-b_n\to0$ ni que $a_n-c_n\sim b_n-c_n$. Por ejemplo, $\sqrt{n^2+n}-n\to\tfrac12$, pero $\sqrt{n^2+n}\sim n$, y sustituir daría $n-n=0$, que es falso. Del mismo modo, $\sqrt{n^2+n}-n\sim\tfrac12$ (límite $\tfrac12\ne0$ del cociente), pero la diferencia $a_n-b_n$ con $b_n=\tfrac12$ tiende a $0$ por otra razón: $a_n\to\tfrac12$.
★★☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{n\to\infty}n\ln(1+3/n)$ usando una equivalencia. Calcula $\lim_{n\to\infty}n\ln(1+3/n)$ usando una equivalencia.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{n\to\infty}n^2(1-\cos(1/n))$. Calcula $\lim_{n\to\infty}n^2(1-\cos(1/n))$.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Sean $a_n=\sqrt{n^2+n}-n$ y $b_n=1/2$. ¿Son equivalentes? ¿Tiende $a_n-b_n$ a cero? Justifica ambas respuestas. Sean $a_n=\sqrt{n^2+n}-n$ y $b_n=1/2$. ¿Son equivalentes? ¿Tiende $a_n-b_n$ a cero? Justifica ambas respuestas.
Resolver
Más precisión: cancelaciones y órdenes de error
Cuando los términos principales se cancelan, necesitas el siguiente orden del desarrollo. Con $x\to0$:
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+o(x^2),\quad \sin x=x-\frac{x^3}6+o(x^3),\quad \sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+o(x^2).$$
Aquí $o(x^k)$ es algo que, dividido por $x^k$, tiende a $0$. Estos desarrollos son el primer paso de los polinomios de Taylor, que verás más adelante.
Comparación de las curvas uno partido por n y logaritmo de n partido por n: la segunda decae más despacio.
ln n / n
1/n
Para comparar velocidades se estudia el cociente: $\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{1/n}{\ln n/n}=\dfrac1{\ln n}\to0$. Ambas tienden a $0$, pero $1/n$ lo hace más rápido que $\ln n/n$ (es de orden menor).
$1/n$ y $\ln n/n$ convergen ambas a $0$, pero no son equivalentes: su cociente no tiende a $1$ sino a $0$. Para decidir cuántos pasos hace falta para una tolerancia, importa el orden, no solo el límite.
Para $\lim n^2(1-\cos(1/n)-\tfrac1{2n^2})\cdot n^2$ habría que ir más lejos, pero ¿por qué en $n^2(1-\cos(1/n))$ basta el término de grado 2?
Ver respuesta Porque $1-\cos x=\tfrac{x^2}{2}+O(x^4)$, y al multiplicar por $n^2=x^{-2}$ el resto $O(x^2)\to0$. La regla práctica: conserva términos hasta el orden que la amplificación posterior deje de anular.
★★☆ Sin empezar
Compara las velocidades de decaimiento de $a_n=1/n$ y $b_n=\ln n/n$, para $n\geq2$: calcula ambos límites y el cociente $a_n/b_n$. Compara las velocidades de decaimiento de $a_n=1/n$ y $b_n=\ln n/n$, para $n\geq2$: calcula ambos límites y el cociente $a_n/b_n$.
Resolver
★★☆ Sin empezar
Calcula $\lim_{n\to\infty}n(\sqrt{1+1/n}-1)$ y encuentra una cota superior de su error respecto al límite. Calcula $\lim_{n\to\infty}n(\sqrt{1+1/n}-1)$ y encuentra una cota superior de su error respecto al límite.
Resolver
★★★ Sin empezar
Calcula $\lim_{n\to\infty}n^2(\ln(1+1/n)-1/n)$ y explica por qué sustituir solo $\ln(1+1/n)\sim1/n$ no basta. Calcula $\lim_{n\to\infty}n^2(\ln(1+1/n)-1/n)$ y explica por qué sustituir solo $\ln(1+1/n)\sim1/n$ no basta.
Resolver
Límites con exponente variable y familias paramétricas
Cuando aparece $u_n^{v_n}$, toma logaritmos: $u_n^{v_n}=\exp(v_n\ln u_n)$, calcula el límite del exponente y, por continuidad de $\exp$, pasa al resultado. Si hay un parámetro, estudia por casos según dónde se anule el coeficiente.
Recta de valores del parámetro p con tres regiones: límite cero para p menor que 2, límite un medio para p igual a 2 y divergencia para p mayor que 2.
p < 2: límite 0
p = 2: límite 1/2
p > 2: +∞
No puedes sustituir $n\to\infty$ en una parte de la expresión y dejar el resto: el límite de $v_n\ln u_n$ debe calcularse como un todo, porque es una indeterminación $\infty\cdot0$.
★★★ Sin empezar
Calcula $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^{n^2}e^{-n}$ tomando logaritmos antes de pasar al límite. Calcula $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^{n^2}e^{-n}$ tomando logaritmos antes de pasar al límite.
Resolver
★★★ Sin empezar
Para $p>0$, estudia según $p$ el límite de $n^p(\sqrt{1+1/n^2}-1)$. Para $p>0$, estudia según $p$ el límite de $n^p(\sqrt{1+1/n^2}-1)$.
Resolver
★★★ Sin empezar
Un algoritmo presenta error $e_n=\ln(1+1/n)-1/(n+1)$. Prueba que es positivo y halla una equivalencia que describa su orden. Un algoritmo presenta error $e_n=\ln(1+1/n)-1/(n+1)$. Prueba que es positivo y halla una equivalencia que describa su orden.
Resolver
Vuelve al principio: un error $e_n$ del algoritmo se valora con su límite (¿tiende a $0$?) y con su equivalencia (¿a qué ritmo?). Una cota como $e_n\sim\tfrac{c}{n^2}$ permite despejar el $n$ necesario para una tolerancia dada.
Resumen
$a_n\to L$ significa que, para todo $\varepsilon>0$, la cola desde cierto $N$ queda en $(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$; el límite es único y las convergentes están acotadas.
Álgebra de límites y sandwich resuelven la mayoría de casos; no apliques el álgebra con factores sin límite (como $\sin n$): acota.
Indeterminaciones: racionaliza, divide por la mayor potencia, y para $1^\infty$ usa $e$ o logaritmos.
$a_n\sim b_n$ si $a_n/b_n\to1$; úsala en productos y cocientes, nunca en sumas o restas con cancelación.
Si los términos principales se cancelan, desarrolla un orden más: $\ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}2+o(x^2)$, $\sqrt{1+x}=1+\tfrac x2-\tfrac{x^2}8+o(x^2)$.
Comparar velocidades: estudia el cociente de las sucesiones.
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