Reglas de derivación, inversas e implícitas
Un dron sigue una trayectoria definida por una ecuación como $x^2+xy+y^2=3$, sin ninguna fórmula que dé $y$ en función de $x$. ¿Tiene sentido hablar de su pendiente? ¿Y cómo derivas una función como $x^x$, que no es ni potencia ni exponencial? En este apartado veremos que, con unas pocas reglas y una idea (la regla de la cadena), puedes derivar prácticamente cualquier cosa, siempre que respetes las hipótesis de cada regla.
Reglas de cálculo: suma, producto, cociente y cadena
Deriva $f(x)=(x^2+1)e^{-x}$ e indica su dominio.
Deriva $f(x)=(x^2+1)e^{-x}$ e indica su dominio.
Calcula la derivada de $f(x)=\ln(1+x^2)$ y su valor en $x=1$.
Calcula la derivada de $f(x)=\ln(1+x^2)$ y su valor en $x=1$.
Calcula la derivada de $f(x)=(x-1)/(x+1)$ y la tangente en $x=0$.
Calcula la derivada de $f(x)=(x-1)/(x+1)$ y la tangente en $x=0$.
Derivación logarítmica
Deriva $f(x)=x^x$ para $x>0$ mediante derivación logarítmica.
Deriva $f(x)=x^x$ para $x>0$ mediante derivación logarítmica.
Deriva $f(x)=(\ln x)^{\sen x}$ en el dominio real $x>1$.
Deriva $f(x)=(\ln x)^{\sen x}$ en el dominio real $x>1$.
Funciones trigonométricas inversas y simplificación
Deriva $f(x)=\sen^2x+\cos(2x)$ y simplifica.
Deriva $f(x)=\sen^2x+\cos(2x)$ y simplifica.
Deriva $f(x)=\arctan((1-x)/(1+x))$ en su dominio y explica por qué la simplificación de la derivada no amplía el dominio original.
Deriva $f(x)=\arctan((1-x)/(1+x))$ en su dominio y explica por qué la simplificación de la derivada no amplía el dominio original.
Deriva $f(x)=\arcsen(2x/(1+x^2))$ para $x\ne\pm1$, y estudia su derivabilidad en $x=\pm1$.
Deriva $f(x)=\arcsen(2x/(1+x^2))$ para $x\ne\pm1$, y estudia su derivabilidad en $x=\pm1$.
Derivada de la función inversa
Sea $f(x)=x^3+x$. Calcula la derivada de su inversa en $y=2$ sin hallar explícitamente la inversa.
Sea $f(x)=x^3+x$. Calcula la derivada de su inversa en $y=2$ sin hallar explícitamente la inversa.
Sea $f(x)=\ln x+x$ en $x>0$. Justifica que tiene inversa y calcula $(f^{-1})'(1)$ y $(f^{-1})''(1)$.
Sea $f(x)=\ln x+x$ en $x>0$. Justifica que tiene inversa y calcula $(f^{-1})'(1)$ y $(f^{-1})''(1)$.
Sea $f(x)=x+\ln x$ y $g=f^{-1}$. Calcula $g'''(1)$ sin despejar $g$.
Sea $f(x)=x+\ln x$ y $g=f^{-1}$. Calcula $g'''(1)$ sin despejar $g$.
Derivación implícita
Una ecuación $F(x,y)=0$ puede definir $y$ como función de $x$ solo localmente, sin fórmula explícita. Si suponemos que existe $y(x)$ derivable, derivamos toda la ecuación respecto de $x$ tratando $y$ como función de $x$ (cadena).
Para la elipse $x^2+4y^2=4$, halla la tangente en $(\sqrt2,1/\sqrt2)$. La figura sitúa el punto de la elipse.
Para la elipse $x^2+4y^2=4$, halla la tangente en $(\sqrt2,1/\sqrt2)$.
La figura sitúa el punto de la elipse.
La ecuación $xe^y+y=1$ define localmente $y(x)$ cerca de $(0,1)$. Calcula $y'(0)$ y $y''(0)$.
La ecuación $xe^y+y=1$ define localmente $y(x)$ cerca de $(0,1)$. Calcula $y'(0)$ y $y''(0)$.
Para $x^2+xy+y^2=3$, calcula $y'$ y $y''$ en $(1,1)$ y decide si allí existe una representación local derivable $y(x)$.
Para $x^2+xy+y^2=3$, calcula $y'$ y $y''$ en $(1,1)$ y decide si allí existe una representación local derivable $y(x)$.
Tasas relacionadas, paramétricas y derivadas de orden $n$
Una circunferencia de radio $r(t)$ tiene área $A(t)=\pi r(t)^2$. Si $r=3$ cm y $dr/dt=-2$ cm/s, calcula $dA/dt$ e interpreta el signo. La figura representa el radio en…
Una circunferencia de radio $r(t)$ tiene área $A(t)=\pi r(t)^2$. Si $r=3$ cm y $dr/dt=-2$ cm/s, calcula $dA/dt$ e interpreta el signo.
La figura representa el radio en el instante considerado.
La curva paramétrica $x(t)=t^2+1$, $y(t)=t^3-t$ se recorre con $t>0$. Calcula $dy/dx$ y $d^2y/dx^2$ en $t=1$. La figura sitúa el punto correspondiente a t=1 en la…
La curva paramétrica $x(t)=t^2+1$, $y(t)=t^3-t$ se recorre con $t>0$. Calcula $dy/dx$ y $d^2y/dx^2$ en $t=1$.
La figura sitúa el punto correspondiente a t=1 en la trayectoria.
Calcula la derivada de orden $n\ge1$ de $f(x)=xe^x$ y justifica la fórmula por inducción.
Calcula la derivada de orden $n\ge1$ de $f(x)=xe^x$ y justifica la fórmula por inducción.
Vuelve al principio: la pendiente del dron en $x^2+xy+y^2=3$ es $y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}$ siempre que $x+2y\neq0$, y $x^x$ se deriva tomando logaritmos: $x^x(\ln x+1)$.